पारस्परिक वितरण

Reciprocal

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	$0<a<b,a,b\in \mathbb {R}$
Support	$[a,b]$
PDF	${\frac {1}{x\ln {\frac {b}{a}}}}$
CDF	${\frac {\ln {\frac {x}{a}}}{\ln {\frac {b}{a}}}}$
Mean	${\frac {b-a}{\ln {\frac {b}{a}}}}$
Median	${\sqrt {ab}}$
Variance	${\frac {b^{2}-a^{2}}{2\ln {\frac {b}{a}}}}-\left({\frac {b-a}{\ln {\frac {b}{a}}}}\right)^{2}$

प्रायिकता और सांख्यिकी में, पारस्परिक वितरण, जिसे लॉग-एकसमान वितरण के रूप में भी जाना जाता है, एक सतत प्रायिकता वितरण है। वितरण के समर्थन के अंतर्गत, चर के गुणक व्युत्क्रम के आनुपातिक होने के कारण, इसकी प्रायिकता घनत्व फलन द्वारा विशेषता है।

पारस्परिक वितरण एक व्युत्क्रम वितरण का एक उदाहरण है, और एक पारस्परिक वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर के व्युत्क्रम (प्रतिलोम) में एक पारस्परिक वितरण होता है।

परिभाषा

पारस्परिक वितरण का प्रायिकता घनत्व फलन (पीडीएफ) है

$f(x;a,b)={\frac {1}{x[\log _{e}(b)-\log _{e}(a)]}}\quad {\text{ for }}a\leq x\leq b{\text{ and }}a>0.$

यहाँ, $a$ और $b$ वितरण के प्राचल (पैरामीटर) हैं, जो समर्थन की निचली और ऊपरी सीमाएँ हैं, और $\log _{e}$ प्राकृतिक लॉग फलन है (आधार e के लघुगणक) है। संचयी वितरण फलन है

$F(x;a,b)={\frac {\log _{e}(x)-\log _{e}(a)}{\log _{e}(b)-\log _{e}(a)}}\quad {\text{ for }}a\leq x\leq b.$

विशेषता

लॉग-एकसमान और एकसमान वितरण के मध्य संबंध

पारस्परिक वितरण से यादृच्छिक विचलन का आयतचित्र और लॉग-आयतचित्र

यदि X का लघुगणक समान रूप से वितरित है, तो एक सकारात्मक यादृच्छिक चर X लॉग-समान रूप से वितरित है,

$\ln(X)\sim {\mathcal {U}}(\ln(a),\ln(b)).$

लघुगणकीय या चरघातांकी फलन के आधार पर ध्यान दिए बिना यह संबंध सत्य है। यदि$\log _{a}(Y)$ एकसमान वितरित है, तो $\log _{b}(Y)$भी समान रूप से वितरित है, किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं $a,b\neq 1$ के लिए। इसी तरह अगर $e^{X}$ लॉग-एकसमान वितरित है, तो $a^{X}$, जहां $0<a\neq 1$ है।

अनुप्रयोग

संख्यात्मक विश्लेषण में पारस्परिक वितरण का बहुत महत्व है, क्योंकि एक कंप्यूटर के अंकगणितीय संचालन एक सीमित वितरण के रूप में प्रारंभिक स्वैच्छिक वितरण के साथ प्रारंभ को पारस्परिक वितरण में बदल देते हैं।