वॉन न्यूमैन बीजगणित

"operator ring" redirects here. Not to be confused with ring operator or operator assistance.

गणित में, एक वॉन न्यूमैन बीजगणित या W** - बीजगणित हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर परिबद्ध रैखिक संचालिका का *सी * - बीजगणित है जो कमजोर ऑपरेटर टोपोलॉजी में बंद सेट है और इसमें पहचान ऑपरेटर शामिल है। यह एक विशेष प्रकार का C*-बीजगणित है।

वॉन न्यूमैन बीजगणित मूल रूप से जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा पेश किए गए थे, जो ऑपरेटर सिद्धांतों, समूह प्रतिनिधित्व, एर्गोडिक सिद्धांत और क्वांटम यांत्रिकी के अपने अध्ययन से प्रेरित थे। उनके वॉन न्यूमैन डबल कम्यूटेंट प्रमेय से पता चलता है कि गणितीय विश्लेषण परिभाषा समरूपता के बीजगणित के रूप में विशुद्ध रूप से अमूर्त बीजगणित परिभाषा के बराबर है।

वॉन न्यूमैन बीजगणित के दो बुनियादी उदाहरण इस प्रकार हैं:

• अंगूठी $L^{\infty }(\mathbb {R} )$ वास्तविक रेखा पर अनिवार्य रूप से परिबद्ध औसत दर्जे का कार्य एक क्रमविनिमेय वॉन न्यूमैन बीजगणित है, जिसके तत्व हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर बिंदुवार गुणन द्वारा गुणन संचालकों के रूप में कार्य करते हैं। $L^{2}(\mathbb {R} )$ वर्ग-अभिन्न कार्यों की।
• बीजगणित ${\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ हिल्बर्ट स्पेस पर सभी बाध्य ऑपरेटरों की ${\mathcal {H}}$ एक वॉन न्यूमैन बीजगणित है, गैर-कम्यूटेटिव अगर हिल्बर्ट अंतरिक्ष में कम से कम आयाम है $2$.

वॉन न्यूमैन बीजगणित का सर्वप्रथम अध्ययन किसके द्वारा किया गया था? von Neumann (1930) 1929 में; उन्होंने और फ्रांसिस जोसेफ मरे ने 1930 और 1940 के दशक में लिखे गए पत्रों की एक श्रृंखला में, ऑपरेटरों के छल्ले के मूल नाम के तहत मूल सिद्धांत विकसित किया (F.J. Murray & J. von Neumann 1936, 1937, 1943; J. von Neumann 1938, 1940, 1943, 1949), के संग्रहित कार्यों में पुनर्मुद्रित von Neumann (1961).

के ऑनलाइन नोट्स में वॉन न्यूमैन अलजेब्रा के परिचयात्मक खाते दिए गए हैं Jones (2003) और Wassermann (1991) और पुस्तकें द्वारा Dixmier (1981), Schwartz (1967), Blackadar (2005) और Sakai (1971). तीन खंड काम करते हैं Takesaki (1979) सिद्धांत का एक विश्वकोषीय खाता देता है। द्वारा पुस्तक Connes (1994) अधिक उन्नत विषयों पर चर्चा करता है।

परिभाषाएँ

वॉन न्यूमैन बीजगणित को परिभाषित करने के तीन सामान्य तरीके हैं।

पहला और सबसे आम तरीका उन्हें कमजोर ऑपरेटर टोपोलॉजी के रूप में परिभाषित करना है - पहचान वाले बाध्य ऑपरेटरों (हिल्बर्ट स्पेस पर) के बीजगणित। इस परिभाषा में कमजोर (ऑपरेटर) टोपोलॉजी को मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी, अल्ट्रास्ट्रॉन्ग टोपोलॉजी या अल्ट्रा कमजोर टोपोलॉजी ऑपरेटर टोपोलॉजी सहित कई अन्य ऑपरेटर टोपोलॉजी द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। बाउंडेड ऑपरेटरों के *-एलजेब्रा जो मानक टोपोलॉजी में बंद हैं, C*-एलजेब्रा हैं, इसलिए विशेष रूप से कोई भी वॉन न्यूमैन बीजगणित एक C*-बीजगणित है।

दूसरी परिभाषा यह है कि एक वॉन न्यूमैन बीजगणित सेमिग्रुप के तहत बंद किए गए परिबद्ध ऑपरेटरों का एक सबलजेब्रा है, जो इनवोल्यूशन (* -ऑपरेशन) के साथ बंद है और इसके डबल वे विनिमय करते हैं के बराबर है, या समतुल्य रूप से * के तहत बंद कुछ सबलजेब्रा का कम्यूटेंट है। वॉन न्यूमैन डबल कम्यूटेंट प्रमेय (von Neumann 1930) का कहना है कि पहली दो परिभाषाएँ समकक्ष हैं।

पहली दो परिभाषाएँ एक वॉन न्यूमैन बीजगणित का ठोस रूप से वर्णन करती हैं, जो कुछ दिए गए हिल्बर्ट स्पेस पर काम करने वाले ऑपरेटरों के एक सेट के रूप में हैं। Sakai (1971) ने दिखाया कि वॉन न्यूमैन बीजगणित को अमूर्त रूप से सी * - बीजगणित के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें एक पूर्ववर्ती है; दूसरे शब्दों में, वॉन न्यूमैन बीजगणित, जिसे बनच स्थान माना जाता है, कुछ अन्य बनच स्थान का दोहरा है जिसे पूर्ववर्ती कहा जाता है। वॉन न्यूमैन बीजगणित का पूर्ववर्ती वास्तव में समरूपता तक अद्वितीय है। कुछ लेखक हिल्बर्ट अंतरिक्ष क्रिया के साथ बीजगणित के लिए वॉन न्यूमैन बीजगणित का उपयोग करते हैं, और अमूर्त अवधारणा के लिए W*-बीजगणित, इसलिए एक वॉन न्यूमैन बीजगणित एक हिल्बर्ट स्थान के साथ एक W*-बीजगणित है और पर एक उपयुक्त वफादार एकात्मक कार्रवाई है। हिल्बर्ट अंतरिक्ष। वॉन न्यूमैन बीजगणित की ठोस और अमूर्त परिभाषाएँ C * - बीजगणित की ठोस और अमूर्त परिभाषाओं के समान हैं, जिन्हें हिल्बर्ट स्पेस पर ऑपरेटरों के मानक-बंद * - बीजगणित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, या Banach * -algebras के रूप में ऐसा कि ||aa*||=||a|| ||ए*||.

शब्दावली

वॉन न्यूमैन बीजगणित सिद्धांत में कुछ शब्दावली भ्रमित करने वाली हो सकती हैं, और विषय के बाहर अक्सर शब्दों के अलग-अलग अर्थ होते हैं।

• एक कारक एक वॉन न्यूमैन बीजगणित है जिसमें तुच्छ केंद्र होता है, यानी एक ऐसा केंद्र जिसमें केवल स्केलर ऑपरेटर होते हैं।
• एक परिमित वॉन न्यूमैन बीजगणित वह है जो प्रत्यक्ष अभिन्न है # परिमित कारकों के वॉन न्यूमैन बीजगणित का प्रत्यक्ष अभिन्न अंग (जिसका अर्थ है वॉन न्यूमैन बीजगणित में एक वफादार सामान्य ट्रेसियल स्थिति τ: M →ℂ है, देखें http://perso.ens- lyon.fr/gaboriau/evenements/IHP-trimester/IHP-CIRM/Notes=Cyril=finite-vonNeumann.pdf)। इसी तरह, उचित रूप से अनंत वॉन न्यूमैन बीजगणित उचित रूप से अनंत कारकों का प्रत्यक्ष अभिन्न अंग हैं।
• एक वॉन न्यूमैन बीजगणित जो एक वियोज्य हिल्बर्ट स्थान पर कार्य करता है, वियोज्य कहलाता है। ध्यान दें कि इस तरह के बीजगणित मानक टोपोलॉजी में शायद ही कभी वियोज्य स्थान होते हैं।
• वॉन न्यूमैन बीजगणित एक हिल्बर्ट स्पेस पर बाउंडेड ऑपरेटरों के एक सेट द्वारा उत्पन्न होता है, जो उन सभी ऑपरेटरों को शामिल करने वाला सबसे छोटा वॉन न्यूमैन बीजगणित है।
• दो हिल्बर्ट स्पेस पर अभिनय करने वाले दो वॉन न्यूमैन बीजगणित के टेंसर उत्पाद को उनके बीजगणितीय टेंसर उत्पाद द्वारा उत्पन्न वॉन न्यूमैन बीजगणित के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसे हिल्बर्ट स्पेस के हिल्बर्ट स्पेस टेंसर उत्पाद पर ऑपरेटर के रूप में माना जाता है।

वॉन न्यूमैन बीजगणित पर टोपोलॉजी के बारे में (गणित) भूलकर, हम इसे एक (इकाई) स्टार-बीजगणित | * - बीजगणित, या सिर्फ एक अंगूठी मान सकते हैं। वॉन न्यूमैन बीजगणित अर्ध-वंशानुगत वलय हैं: एक प्रक्षेपी मॉड्यूल का प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न सबमॉड्यूल स्वयं प्रक्षेपी होता है। बेयर *-रिंग्स और AW*तारा-बीजगणित सहित वॉन न्यूमैन अल्जेब्रस के अंतर्निहित रिंगों को स्वयंसिद्ध करने के कई प्रयास किए गए हैं। एक परिमित वॉन न्यूमैन बीजगणित के संबद्ध ऑपरेटरों का *-बीजगणित एक वॉन न्यूमैन नियमित रिंग है। (वॉन न्यूमैन बीजगणित स्वयं सामान्य रूप से वॉन न्यूमैन नियमित नहीं है।)

न्यूमन बीजगणित के क्रमविनिमेय

Main article: Abelian von Neumann algebra

क्रमविनिमेय वॉन न्यूमैन बीजगणित और माप स्थान के बीच का संबंध क्रमविनिमेय C*-अल्जेब्रा और स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान के बीच के समान है। न्यूमैन बीजगणित का प्रत्येक क्रमविनिमेय एलपी स्थान | एल के लिए आइसोमोर्फिक है^∞(X) कुछ माप स्थान (X, μ) के लिए और इसके विपरीत, प्रत्येक σ-परिमित माप स्थान X के लिए, *-बीजगणित L^∞(X) एक वॉन न्यूमैन बीजगणित है।

इस समानता के कारण, वॉन न्यूमैन बीजगणित के सिद्धांत को गैर-अनुक्रमिक माप सिद्धांत कहा जाता है, जबकि सी*-एलजेब्रा के सिद्धांत को कभी-कभी गैर-अनुक्रमिक टोपोलॉजी कहा जाता है। (Connes 1994).

प्रक्षेपण

एक वॉन न्यूमैन बीजगणित में संचालक E जिसके लिए E = EE = E* 'अनुमान' कहलाते हैं; वे वास्तव में संकारक हैं जो कुछ बंद उप-स्थान पर एच का एक ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण देते हैं। हिल्बर्ट अंतरिक्ष एच के एक उप-स्थान को वॉन न्यूमैन बीजगणित एम से 'संबंधित' कहा जाता है यदि यह एम में कुछ प्रक्षेपण की छवि है। यह एम के अनुमानों और एम से संबंधित उप-स्थानों के बीच 1: 1 पत्राचार स्थापित करता है। अनौपचारिक रूप से ये बंद उप-स्थान हैं जिन्हें एम के तत्वों का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, या एम के बारे में जानता है।

यह दिखाया जा सकता है कि एम में किसी भी ऑपरेटर की छवि को बंद करना और एम में किसी भी ऑपरेटर की कर्नेल एम से संबंधित है। साथ ही, एम से संबंधित किसी उप-स्थान के एम के ऑपरेटर के तहत छवि को बंद करना भी एम से संबंधित है। (ये परिणाम ध्रुवीय अपघटन का परिणाम हैं)।

अनुमानों की तुलना सिद्धांत

अनुमानों के मूल सिद्धांत द्वारा काम किया गया था Murray & von Neumann (1936). एम से संबंधित दो उप-स्थानों को ('मरे-वॉन न्यूमैन') 'समतुल्य' कहा जाता है, यदि आंशिक आइसोमेट्री मानचित्रण पहले आइसोमोर्फिक रूप से दूसरे पर होता है जो वॉन न्यूमैन बीजगणित का एक तत्व है (अनौपचारिक रूप से, यदि एम जानता है कि उप-स्थान हैं आइसोमॉर्फिक)। यह E को F के समतुल्य होने के लिए परिभाषित करके अनुमानों पर एक प्राकृतिक तुल्यता संबंध को प्रेरित करता है यदि संबंधित उप-स्थान समतुल्य हैं, या दूसरे शब्दों में यदि H का आंशिक आइसोमेट्री है जो E की छवि को F की छवि के लिए आइसोमेट्रिक रूप से मैप करता है और एक है वॉन न्यूमैन बीजगणित का तत्व। इसे बताने का एक और तरीका यह है कि E, F के समतुल्य है यदि E=uu* और F=u*u कुछ आंशिक आइसोमेट्री u के लिए M में।

तुल्यता संबंध ~ इस प्रकार परिभाषित निम्नलिखित अर्थों में योज्य है: मान लीजिए ई₁ ~ एफ₁ और ई₂ ~ एफ₂. यदि ई₁ ⊥ और₂ और एफ₁ ⊥ एफ₂, फिर ई₁ + ई₂ ~ एफ₁ + एफ₂. यदि किसी को ~ की परिभाषा में एकात्मक तुल्यता की आवश्यकता होती है, यानी यदि हम कहते हैं कि E, F के समतुल्य है, यदि u*Eu = F कुछ एकात्मक u के लिए है, तो आम तौर पर योगात्मकता मान्य नहीं होगी। संचालक बीजगणित के लिए श्रोडर-बर्नस्टीन प्रमेय मरे-वॉन न्यूमैन समकक्षता के लिए पर्याप्त स्थिति प्रदान करता है।

एम से संबंधित उप-स्थानों को आंशिक रूप से शामिल करने का आदेश दिया गया है, और यह अनुमानों के आंशिक आदेश ≤ को प्रेरित करता है। अनुमानों के आंशिक क्रम ≤ द्वारा प्रेरित अनुमानों के समतुल्य वर्गों के सेट पर एक प्राकृतिक आंशिक आदेश भी है। यदि M एक कारक है, तो ≤ अनुमानों के समतुल्य वर्गों पर कुल आदेश है, जो नीचे दिए गए अंशों पर अनुभाग में वर्णित है।

एक प्रक्षेपण (या एम से संबंधित उप-अंतरिक्ष) ई को 'सीमित प्रक्षेपण' कहा जाता है यदि कोई प्रक्षेपण एफ <ई (मतलब एफ ≤ ई और एफ ≠ ई) नहीं है जो ई के बराबर है। उदाहरण के लिए, सभी परिमित-आयामी अनुमान (या उप-स्थान) सीमित हैं (चूंकि हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच आइसोमेट्रीज़ आयाम को छोड़ देते हैं), लेकिन अनंत-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर पहचान ऑपरेटर उस पर सभी बाध्य ऑपरेटरों के वॉन न्यूमैन बीजगणित में सीमित नहीं है, क्योंकि यह आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक है स्वयं के उचित उपसमुच्चय के लिए। हालाँकि अनंत आयामी उप-स्थानों का परिमित होना संभव है।

ऑर्थोगोनल अनुमान एल में संकेतक कार्यों के गैर-अनुरूप हैं^∞(आर)। ल^∞(आर) ||·|| है_∞संकेतक कार्यों द्वारा उत्पन्न उप-स्थान का बंद होना। इसी तरह, एक वॉन न्यूमैन बीजगणित इसके अनुमानों से उत्पन्न होता है; यह स्वयं-संलग्न संकारक#स्पेक्ट्रल प्रमेय|स्व-संलग्न संकारकों के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय का परिणाम है।

परिमित कारक के प्रक्षेपण एक सतत ज्यामिति बनाते हैं।

कारक

एक वॉन न्यूमैन बीजगणित एन जिसके केंद्र (बीजगणित) में केवल पहचान ऑपरेटर के गुणक होते हैं, एक 'कारक' कहलाता है। Von Neumann (1949) ने दिखाया कि एक वियोज्य हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर प्रत्येक वॉन न्यूमैन बीजगणित कारकों के प्रत्यक्ष अभिन्न अंग के लिए आइसोमोर्फिक है। यह अपघटन अनिवार्य रूप से अद्वितीय है। इस प्रकार, वियोज्य हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर वॉन न्यूमैन बीजगणित के समरूपता वर्गों को वर्गीकृत करने की समस्या को कारकों के समरूपता वर्गों को वर्गीकृत करने के लिए कम किया जा सकता है।

Murray & von Neumann (1936) ने दिखाया कि नीचे वर्णित प्रत्येक कारक में 3 प्रकारों में से एक है। प्रकार वर्गीकरण को वॉन न्यूमैन बीजगणित तक बढ़ाया जा सकता है जो कारक नहीं हैं, और एक वॉन न्यूमैन बीजगणित प्रकार X का है यदि इसे प्रकार X कारकों के प्रत्यक्ष अभिन्न अंग के रूप में विघटित किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, प्रत्येक क्रमविनिमेय वॉन न्यूमैन बीजगणित का प्रकार I है₁. प्रत्येक वॉन न्यूमैन बीजगणित को प्रकार I, II और III के वॉन न्यूमैन बीजगणित के योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है।

कारकों को वर्गों में विभाजित करने के कई अन्य तरीके हैं जो कभी-कभी उपयोग किए जाते हैं:

• एक कारक को असतत (या कभी-कभी वश में) कहा जाता है यदि उसका प्रकार I है, और निरंतर (या कभी-कभी जंगली) यदि उसका प्रकार II या III है।
• एक कारक को अर्ध-परिमित कहा जाता है यदि उसका प्रकार I या II है, और विशुद्ध रूप से अनंत है यदि उसका प्रकार III है।
• एक कारक को परिमित कहा जाता है यदि प्रक्षेपण 1 परिमित है और ठीक से अन्यथा अनंत है। प्रकार I और II के कारक या तो परिमित या ठीक से अनंत हो सकते हैं, लेकिन प्रकार III के कारक हमेशा उचित रूप से अनंत होते हैं।

टाइप I कारक

एक कारक को प्रकार I कहा जाता है यदि न्यूनतम प्रक्षेपण 'ई ≠ 0 है, यानी एक प्रक्षेपण 'ई' ऐसा है कि 0 <'एफ' के साथ कोई अन्य प्रक्षेपण 'एफ' नहीं है '<'ई। प्रकार I का कोई भी कारक कुछ हिल्बर्ट स्थान पर 'सभी' परिबद्ध ऑपरेटरों के वॉन न्यूमैन बीजगणित के लिए समरूप है; चूंकि प्रत्येक कार्डिनल संख्या के लिए एक हिल्बर्ट स्थान है, प्रकार I के कारकों के आइसोमोर्फिज्म वर्ग पूरी तरह से बुनियादी संख्या ों के अनुरूप हैं। चूंकि कई लेखक वॉन न्यूमैन बीजगणित को केवल वियोज्य हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर मानते हैं, यह परिमित आयाम n के हिल्बर्ट स्थान पर बंधे हुए ऑपरेटरों को टाइप I का एक कारक कहने के लिए प्रथागत है।_n, और अलग-अलग अनंत-आयामी हिल्बर्ट स्पेस पर बंधे हुए ऑपरेटर, टाइप I का एक कारक_∞.

टाइप II कारक

एक कारक को द्वितीय प्रकार का कहा जाता है यदि न्यूनतम अनुमान नहीं हैं लेकिन गैर-शून्य वॉन न्यूमैन बीजगणित#अनुमानों की तुलना सिद्धांत हैं। इसका तात्पर्य है कि प्रत्येक प्रक्षेपण ई को इस अर्थ में "आधा" किया जा सकता है कि दो प्रक्षेपण एफ और जी हैं जो वॉन न्यूमैन बीजगणित हैं#अनुमानों की तुलना सिद्धांत|मरे-वॉन न्यूमैन समकक्ष और ई = एफ + जी को संतुष्ट करें। यदि किसी प्रकार II कारक में पहचान संकारक परिमित है, तो कारक को प्रकार II का कहा जाता है₁; अन्यथा, इसे टाइप II का कहा जाता है_∞. टाइप II के सबसे अच्छे समझे जाने वाले कारक हैं हाइपरफिनिट टाइप II-1 फैक्टर | हाइपरफिनिट टाइप II₁ कारक और अतिपरमित प्रकार II-इन्फिनिटी कारक | अतिपरमित प्रकार II_∞ कारक, द्वारा पाया गया Murray & von Neumann (1936). ये प्रकार II के अद्वितीय अतिपरिमित कारक हैं₁ और द्वितीय_∞; इस प्रकार के अन्य कारकों की एक बेशुमार संख्या है जो गहन अध्ययन का विषय हैं। Murray & von Neumann (1937) ने मौलिक परिणाम सिद्ध किया कि प्रकार II का कारक₁ एक अद्वितीय परिमित ट्रेसियल अवस्था है, और अनुमानों के निशान का सेट [0,1] है।

प्रकार II का एक कारक_∞ एक अर्धसूत्रीय निशान है, जो आकार बदलने के लिए अद्वितीय है, और अनुमानों के निशान का सेट [0,∞] है। वास्तविक संख्याओं का सेट λ जैसे कि λ के एक कारक द्वारा ट्रेस को दोबारा बदलने वाला एक ऑटोमोर्फिज्म है, जिसे टाइप II का मौलिक समूह कहा जाता है_∞ कारक।

प्रकार II के कारक का टेन्सर उत्पाद₁ और एक अनंत प्रकार I कारक का प्रकार II है_∞, और इसके विपरीत प्रकार II का कोई कारक_∞ इस प्रकार बनाया जा सकता है। एक प्रकार II का मौलिक समूह₁ कारक को I के अनंत (वियोज्य) कारक के साथ अपने टेन्सर उत्पाद के मौलिक समूह के रूप में परिभाषित किया गया है। कई वर्षों तक यह एक प्रकार II कारक खोजने के लिए एक खुली समस्या थी जिसका मौलिक समूह सकारात्मक वास्तविकताओं का समूह नहीं था, लेकिन एलेन कोन्स ने तब दिखाया कि कज़दान की संपत्ति (टी) के साथ एक गणनीय असतत समूह के वॉन न्यूमैन समूह बीजगणित (दोहरी जगह में तुच्छ प्रतिनिधित्व अलग है), जैसे कि एसएल (3, जेड), एक गणनीय मौलिक समूह है। इसके बाद, सोरिन पोपा ने दिखाया कि मौलिक समूह कुछ समूहों के लिए तुच्छ हो सकता है, जिसमें Z का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद भी शामिल है² SL(2,Z) द्वारा।

प्रकार II का एक उदाहरण₁ कारक एक गणनीय अनंत असतत समूह का वॉन न्यूमैन समूह बीजगणित है, जैसे कि प्रत्येक गैर-तुच्छ संयुग्मन वर्ग अनंत है। McDuff (1969) गैर-आइसोमोर्फिक वॉन न्यूमैन समूह बीजगणित वाले ऐसे समूहों का एक बेशुमार परिवार मिला, इस प्रकार बेशुमार रूप से कई अलग-अलग प्रकार II के अस्तित्व को दर्शाता है₁ कारक।

टाइप III कारक

अंत में, टाइप III कारक ऐसे कारक हैं जिनमें कोई भी गैर-परिमित परिमित प्रक्षेपण नहीं होता है। उनके पहले पेपर में Murray & von Neumann (1936) वे अस्तित्व में थे या नहीं, यह तय करने में असमर्थ थे; पहले उदाहरण बाद में द्वारा पाए गए von Neumann (1940). चूंकि पहचान ऑपरेटर उन कारकों में हमेशा अनंत होता है, इसलिए उन्हें कभी-कभी टाइप III कहा जाता था_∞ अतीत में, लेकिन हाल ही में उस संकेतन को संकेतन III द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया गया है_λ, जहां λ अंतराल [0,1] में एक वास्तविक संख्या है। अधिक सटीक रूप से, यदि कॉन्स स्पेक्ट्रम (इसके मॉड्यूलर समूह का) 1 है तो कारक प्रकार III का है₀, यदि कोन्स स्पेक्ट्रम 0 < λ < 1 के लिए λ की सभी अभिन्न शक्तियाँ हैं, तो प्रकार III है_λ, और यदि कॉन्स स्पेक्ट्रम सभी धनात्मक वास्तविक हैं तो प्रकार III है₁. (कॉन्स स्पेक्ट्रम सकारात्मक वास्तविकताओं का एक बंद उपसमूह है, इसलिए ये एकमात्र संभावनाएं हैं।) प्रकार III कारकों पर एकमात्र निशान सभी गैर-शून्य सकारात्मक तत्वों पर मान ∞ लेता है, और कोई भी दो गैर-शून्य प्रक्षेपण समकक्ष हैं। एक समय में III कारकों को अट्रैक्टिव ऑब्जेक्ट माना जाता था, लेकिन टोमिटा-ताकेसाकी सिद्धांत ने एक अच्छी संरचना सिद्धांत का नेतृत्व किया है। विशेष रूप से, किसी भी प्रकार III कारक को एक प्रकार II के पार किए गए उत्पाद के रूप में विहित तरीके से लिखा जा सकता है_∞ कारक और वास्तविक संख्या।

प्रीडुअल

किसी भी वॉन न्यूमैन बीजगणित एम में एक 'पूर्ववर्ती' एम है_∗, जो एम पर सभी अल्ट्रावीकली निरंतर रैखिक कार्यात्मकताओं का बैनाच स्थान है। जैसा कि नाम से पता चलता है, एम (बैनाच स्पेस के रूप में) इसके पूर्ववर्ती का दोहरा है। प्रीडुअल इस अर्थ में अद्वितीय है कि कोई भी अन्य बैनच स्थान जिसका दोहरा M है, कैनोनिक रूप से M के लिए आइसोमोर्फिक है_∗. Sakai (1971) ने दिखाया कि C* बीजगणित के बीच वॉन न्यूमैन बीजगणित की पूर्व-दोहरी विशेषता का अस्तित्व।

ऊपर दिए गए पूर्ववर्ती की परिभाषा हिल्बर्ट स्पेस की पसंद पर निर्भर करती है, जिस पर एम कार्य करता है, क्योंकि यह अल्ट्रावीक टोपोलॉजी निर्धारित करता है। हालाँकि प्रीडुअल को हिल्बर्ट स्पेस का उपयोग किए बिना भी परिभाषित किया जा सकता है, जिस पर M कार्य करता है, इसे M पर सभी सकारात्मक 'सामान्य' रैखिक कार्यात्मकताओं द्वारा उत्पन्न स्थान के रूप में परिभाषित करके। स्वयं संलग्न संचालिकाएं; या समान रूप से अनुमानों के बढ़ते अनुक्रमों के लिए।)

प्रीडुअल एम_∗ दोहरी एम * (जिसमें एम पर सभी मानक-निरंतर रैखिक कार्यात्मक होते हैं) का एक बंद उप-स्थान है, लेकिन आम तौर पर छोटा होता है। सबूत है कि एम_∗ है (आमतौर पर) एम * के समान नहीं है गैर-रचनात्मक है और एक आवश्यक तरीके से पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करता है; एम* के स्पष्ट तत्वों को प्रदर्शित करना बहुत कठिन है जो एम में नहीं हैं_∗. उदाहरण के लिए, वॉन न्यूमैन बीजगणित एल पर विदेशी सकारात्मक रैखिक रूप^∞(Z) ultrafilter द्वारा दिए गए हैं; वे सी में विदेशी *-होमोमोर्फिज्म के अनुरूप हैं और जेड के स्टोन-सीएच कॉम्पैक्टिफिकेशन का वर्णन करते हैं।

उदाहरण:

1. द प्रीडुअल ऑफ द वॉन न्यूमैन अलजेब्रा एल^∞(R) R पर अनिवार्य रूप से बंधे हुए कार्यों का Banach स्थान L है¹(आर) समाकलनीय फलन। L का दोहरा^∞(R) L से पूरी तरह बड़ा है¹(आर) उदाहरण के लिए, एल पर एक कार्यात्मक^∞(R) जो डायराक माप δ का विस्तार करता है₀ परिबद्ध सतत फलनों के बंद उपस्थान पर C^{0</उप>_b(आर) 'एल' में एक समारोह के रूप में प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता1(आर).}
2. हिल्बर्ट स्पेस H पर बाउंडेड ऑपरेटर्स के वॉन न्यूमैन बीजगणित B(H) का प्रीडुअल, ट्रेस मानदंड के साथ सभी ट्रेस क्लास ऑपरेटरों का बैनच स्पेस है ||A ||= ट्र(|ए|). ट्रेस क्लास ऑपरेटरों का बैनाच स्पेस कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के सी * - बीजगणित का दोहरा है (जो वॉन न्यूमैन बीजगणित नहीं है)।

वज़न, अवस्थाएँ और निशान

Further information: Noncommutative measure and integration

बाट और उनके विशेष मामले राज्यों और निशानों पर विस्तार से चर्चा की गई है (Takesaki 1979).

• वॉन न्यूमैन बीजगणित पर भार ω, C*-बीजगणित#स्व-संलग्न तत्वों ('a*a के रूप वाले) से [0,∞] के समुच्चय का एक रेखीय नक्शा है।
• एक सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक ω(1) परिमित (या बल्कि रैखिकता द्वारा पूरे बीजगणित के लिए ω का विस्तार) के साथ एक वजन है।
• एक स्थिति (कार्यात्मक विश्लेषण) ω(1) = 1 के साथ एक भार है।
• ट्रेस सभी a के लिए ω(aa*) = ω(a*a) वाला वजन है।
• ट्रेसियल स्थिति ω(1) = 1 के साथ एक ट्रेस है।

किसी भी कारक में एक निशान होता है जैसे गैर-शून्य प्रक्षेपण का निशान गैर-शून्य होता है और प्रक्षेपण का निशान अनंत होता है और केवल तभी प्रक्षेपण अनंत होता है। इस तरह का निशान पुनर्विक्रय तक अद्वितीय है। उन कारकों के लिए जो वियोज्य या परिमित हैं, दो प्रक्षेपण समतुल्य हैं यदि और केवल यदि उनके पास एक ही निशान है। कारक के अनुमानों पर इस ट्रेस के संभावित मूल्यों से कारक के प्रकार को निम्नानुसार पढ़ा जा सकता है:

• टाइप I_n: 0, x, 2x, ...., nx कुछ सकारात्मक x के लिए (आमतौर पर 1/n या 1 होने के लिए सामान्यीकृत)।
• टाइप I_∞: 0, x, 2x, ....,∞ कुछ धनात्मक x के लिए (आमतौर पर 1 होने के लिए सामान्यीकृत)।
• टाइप II₁: [0,x] कुछ सकारात्मक x के लिए (आमतौर पर 1 होने के लिए सामान्यीकृत)।
• टाइप II_∞: [0,∞]।
• टाइप III: {0,∞}।

यदि एक वॉन न्यूमैन बीजगणित हिल्बर्ट स्पेस पर कार्य करता है जिसमें एक मानक 1 वेक्टर वी होता है, तो कार्यात्मक → (एवी, वी) एक सामान्य स्थिति है। सामान्य स्थिति से हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर कार्रवाई करने के लिए इस निर्माण को उलटा किया जा सकता है: यह सामान्य राज्यों के लिए जीएनएस निर्माण है।

एक कारक से अधिक मॉड्यूल

एक अमूर्त वियोज्य कारक को देखते हुए, कोई इसके मॉड्यूल के वर्गीकरण के लिए पूछ सकता है, जिसका अर्थ है अलग-अलग हिल्बर्ट रिक्त स्थान जिस पर यह कार्य करता है। उत्तर इस प्रकार दिया गया है: ऐसे प्रत्येक मॉड्यूल H को M-आयाम मंद दिया जा सकता है_M(एच) (एक जटिल सदिश स्थान के रूप में इसका आयाम नहीं) जैसे कि मॉड्यूल आइसोमॉर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनके पास समान एम-आयाम है। एम-आयाम योगात्मक है, और एक मॉड्यूल दूसरे मॉड्यूल के एक उप-स्थान के लिए आइसोमॉर्फिक है यदि और केवल अगर इसका छोटा या बराबर एम-आयाम है।

एक मॉड्यूल को 'मानक' कहा जाता है यदि इसमें एक चक्रीय पृथक्करण वेक्टर होता है। प्रत्येक कारक का एक मानक प्रतिनिधित्व होता है, जो समरूपता के लिए अद्वितीय है। मानक प्रतिनिधित्व में एक एंटीलाइनर इनवॉल्यूशन जे है जैसे कि जेएमजे = एम'। परिमित कारकों के लिए मानक मॉड्यूल जीएनएस निर्माण द्वारा अद्वितीय सामान्य ट्रेसियल स्थिति पर लागू किया जाता है और एम-आयाम को सामान्यीकृत किया जाता है ताकि मानक मॉड्यूल में एम-आयाम 1 हो, जबकि अनंत कारकों के लिए मानक मॉड्यूल एम- वाला मॉड्यूल है। आयाम ∞ के बराबर।

मॉड्यूल के संभावित एम-आयाम निम्नानुसार दिए गए हैं:

• टाइप I_n (n परिमित): M-आयाम 0/n, 1/n, 2/n, 3/n, ..., ∞ में से कोई भी हो सकता है। मानक मॉड्यूल में एम-आयाम 1 (और जटिल आयाम n².)
• टाइप I_∞ एम-आयाम 0, 1, 2, 3, ..., ∞ में से कोई भी हो सकता है। B(H) का मानक प्रतिनिधित्व H⊗H है; इसका एम-आयाम ∞ है।
• टाइप II₁: एम-डाइमेंशन [0, ∞] में कुछ भी हो सकता है। इसे सामान्यीकृत किया जाता है ताकि मानक मॉड्यूल में एम-आयाम 1 हो। एम-आयाम को मॉड्यूल एच का 'युग्मन स्थिरांक' भी कहा जाता है।
• टाइप II_∞: एम-डाइमेंशन [0, ∞] में कुछ भी हो सकता है। सामान्य तौर पर इसे सामान्य करने का कोई प्रामाणिक तरीका नहीं है; कारक में स्थिरांक द्वारा एम-आयाम को गुणा करने वाले बाहरी ऑटोमोर्फिज्म हो सकते हैं। मानक प्रतिनिधित्व एम-आयाम ∞ वाला एक है।
• प्रकार III: एम-आयाम 0 या ∞ हो सकता है। कोई भी दो गैर-शून्य मॉड्यूल आइसोमॉर्फिक हैं, और सभी गैर-शून्य मॉड्यूल मानक हैं।

Amenable वॉन न्यूमैन बीजगणित

Connes (1976) और अन्य ने साबित किया कि एक वॉन न्यूमैन बीजगणित एम पर एक वियोज्य हिल्बर्ट स्पेस एच पर निम्नलिखित शर्तें सभी 'समतुल्य' हैं:

• एम 'हाइपरफिनिट' या 'एएफडी' या 'लगभग परिमित आयामी' या 'लगभग परिमित' है: इसका मतलब है कि बीजगणित में घने संघ के साथ परिमित आयामी सबलेजेब्रस का आरोही क्रम होता है। (चेतावनी: कुछ लेखक एएफडी और परिमित अर्थ के लिए हाइपरफिनिट का उपयोग करते हैं।)
• एम 'एमेनेबल' है: इसका मतलब है कि एम के व्युत्पत्ति (सार बीजगणित) एक सामान्य दोहरी बानाच बिमॉड्यूल में मूल्यों के साथ सभी आंतरिक हैं।
• एम में श्वार्टज़ की 'संपत्ति पी' है: एच पर किसी भी बाध्य ऑपरेटर टी के लिए कमजोर ऑपरेटर तत्वों के उत्तल हल को बंद कर देता है * में एम के साथ आने वाला तत्व होता है।
• M 'अर्धविच्छेद' है: इसका अर्थ है कि M से M तक का पहचान मानचित्र परिमित रैंक के पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्रों की एक कमजोर बिंदुवार सीमा है।
• एम के पास 'प्रॉपर्टी ई' या 'हकेदा-तोमियामा एक्सटेंशन प्रॉपर्टी' है: इसका मतलब है कि एच से एम' पर बंधे ऑपरेटरों से मानक 1 का अनुमान है।
• M 'इंजेक्शन' है: किसी भी स्व-संलग्न बंद उप-स्थान से कोई भी पूरी तरह से सकारात्मक रैखिक मानचित्र जिसमें किसी भी इकाई C*-बीजगणित A से M का 1 हो, को A से M तक पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्र तक बढ़ाया जा सकता है।

उपरोक्त बीजगणित के वर्ग के लिए आम तौर पर स्वीकृत कोई शब्द नहीं है; कॉन्स ने सुझाव दिया है कि 'अमेनेबल' मानक शब्द होना चाहिए।

अनुमन्य कारकों को वर्गीकृत किया गया है: प्रत्येक प्रकार I में से एक अद्वितीय है_n, मैं_∞, द्वितीय₁, द्वितीय_∞, तृतीय_λ, 0 < λ ≤ 1 के लिए, और प्रकार III वाले₀ कुछ एर्गोडिक प्रवाह के अनुरूप। (प्रकार III के लिए₀ इसे वर्गीकरण कहना थोड़ा भ्रामक है, क्योंकि यह ज्ञात है कि संबंधित एर्गोडिक प्रवाह को वर्गीकृत करने का कोई आसान तरीका नहीं है।) प्रकार I और II वाले₁ द्वारा वर्गीकृत किया गया था Murray & von Neumann (1943), और शेष लोगों को इसके द्वारा वर्गीकृत किया गया था Connes (1976), टाइप III को छोड़कर₁ मामला जो हैगरअप द्वारा पूरा किया गया था।

एकल एर्गोडिक परिवर्तन के लिए फ्रांसिस जोसेफ मुरे और जॉन वॉन न्यूमैन के क्रॉस्ड उत्पाद | समूह-माप अंतरिक्ष निर्माण का उपयोग करके सभी उत्तरदायी कारकों का निर्माण किया जा सकता है। वास्तव में वे एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित L पर Z या Z/nZ की मुक्त एर्गोडिक क्रियाओं द्वारा पार किए गए उत्पादों के रूप में उत्पन्न होने वाले कारक हैं।^∞(एक्स). टाइप I कारक तब होते हैं जब माप स्थान X परमाणु (माप सिद्धांत) और क्रिया सकर्मक होता है। जब एक्स फैलाना या परमाणु (माप सिद्धांत) है | गैर-परमाणु, यह माप स्थान के रूप में [0,1] के लिए समानता (माप सिद्धांत) है। टाइप II कारक तब होते हैं जब X एक तुल्यता (माप सिद्धांत) परिमित स्वीकार करता है (II₁) या अनंत (द्वितीय_∞) माप, जेड की कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय। टाइप III कारक शेष मामलों में होते हैं जहां कोई अपरिवर्तनीय माप नहीं होता है, लेकिन केवल एक अर्ध-अपरिवर्तनीय उपाय होता है: इन कारकों को 'क्रेगर कारक' कहा जाता है।

== वॉन न्यूमैन बीजगणित == के टेंसर उत्पाद दो हिल्बर्ट स्पेस का हिल्बर्ट स्पेस टेंसर उत्पाद उनके बीजगणितीय टेंसर उत्पाद का पूरा होना है। कोई वॉन न्यूमैन बीजगणित (अंगूठियों के रूप में माने जाने वाले बीजगणित के बीजगणितीय टेंसर उत्पाद का पूरा होना) के टेंसर उत्पाद को परिभाषित कर सकता है, जो फिर से वॉन न्यूमैन बीजगणित है, और संबंधित हिल्बर्ट रिक्त स्थान के टेंसर उत्पाद पर कार्य करता है। दो परिमित बीजगणित का टेन्सर उत्पाद परिमित है, और एक अनंत बीजगणित और एक गैर-शून्य बीजगणित का टेन्सर उत्पाद अनंत है। दो वॉन न्यूमैन बीजगणित (I, II, या III) के टेंसर उत्पाद का प्रकार उनके प्रकार का अधिकतम है। टेंसर उत्पादों के लिए कम्यूटेशन प्रमेय बताता है कि

$(M\otimes N)^{\prime }=M^{\prime }\otimes N^{\prime },$

जहाँ M', M के क्रमपरिवर्तन को दर्शाता है।

वॉन न्यूमैन बीजगणित की अनंत संख्या का टेन्सर उत्पाद, यदि भोलेपन से किया जाता है, तो आमतौर पर एक हास्यास्पद रूप से बड़ा गैर-वियोज्य बीजगणित होता है। बजाय von Neumann (1938) ने दिखाया कि प्रत्येक को वॉन न्यूमैन बीजगणित में से प्रत्येक पर एक राज्य का चयन करना चाहिए, इसका उपयोग बीजगणितीय टेन्सर उत्पाद पर एक राज्य को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जिसका उपयोग हिल्बर्ट अंतरिक्ष और एक (उचित रूप से छोटा) वॉन न्यूमैन बीजगणित बनाने के लिए किया जा सकता है। Araki & Woods (1968) उस मामले का अध्ययन किया जहां सभी कारक परिमित मैट्रिक्स बीजगणित हैं; इन कारकों को अराकी-वुड्स कारक या ITPFI कारक कहा जाता है (ITPFI का अर्थ परिमित प्रकार I कारकों के अनंत टेंसर उत्पाद से है)। अनंत टेंसर उत्पाद का प्रकार नाटकीय रूप से भिन्न हो सकता है क्योंकि राज्य बदलते हैं; उदाहरण के लिए, प्रकार I की अनंत संख्या का अनंत टेंसर उत्पाद₂ राज्यों की पसंद के आधार पर कारक किसी भी प्रकार के हो सकते हैं। विशेष रूप से Powers (1967) को गैर-समरूपी अतिपरमित प्रकार III का एक बेशुमार परिवार मिला_λ 0 < λ < 1 के लिए गुणनखंड, I प्रकार का अनंत टेन्सर गुणनफल लेकर, घात गुणक कहलाते हैं₂ कारक, प्रत्येक द्वारा दिए गए राज्य के साथ:

$x\mapsto {\rm {Tr}}{\begin{pmatrix}{1 \over \lambda +1}&0\\0&{\lambda \over \lambda +1}\\\end{pmatrix}}x.$

सभी अतिपरिमित वॉन न्यूमैन बीजगणित प्रकार III के नहीं₀ अर्की-वुड्स कारकों के लिए आइसोमोर्फिक हैं, लेकिन अनगिनत प्रकार के III हैं₀ वह नहीं है।

बिमॉड्यूल्स और सबफैक्टर्स

एक बाइमॉड्यूल (या पत्राचार) एक हिल्बर्ट स्पेस 'एच' है जिसमें दो कम्यूटिंग वॉन न्यूमैन अल्जेब्रस की मॉड्यूल क्रियाएं होती हैं। बिमॉड्यूल में मॉड्यूल की तुलना में अधिक समृद्ध संरचना होती है। दो कारकों पर कोई भी बिमॉड्यूल हमेशा एक सबफैक्टर देता है क्योंकि कारकों में से एक हमेशा दूसरे के कम्यूटेंट में समाहित होता है। बाइमॉड्यूल्स पर एलेन कॉन्स के कारण एक सूक्ष्म सापेक्ष टेंसर उत्पाद संचालन भी होता है। वौघन जोंस द्वारा शुरू किए गए सबफैक्टर्स का सिद्धांत, इन दो प्रतीत होने वाले अलग-अलग दृष्टिकोणों को समेटता है।

एक असतत समूह Γ के वॉन न्यूमैन समूह बीजगणित एम के लिए बिमॉड्यूल्स भी महत्वपूर्ण हैं। वास्तव में, यदि V Γ का कोई एकात्मक प्रतिनिधित्व है, तो, Γ के संबंध में Γ × Γ के विकर्ण उपसमूह के रूप में, l पर संबंधित प्रेरित प्रतिनिधित्व (Γ, V) स्वाभाविक रूप से M की दो आने-जाने वाली प्रतियों के लिए एक बिमॉड्यूल है। Γ के महत्वपूर्ण प्रतिनिधित्व सिद्धांत गुणों को पूरी तरह से बिमॉड्यूल के संदर्भ में तैयार किया जा सकता है और इसलिए वॉन न्यूमैन बीजगणित के लिए ही समझ में आता है। उदाहरण के लिए, कॉन्स और जोन्स ने इस तरह से वॉन न्यूमैन बीजगणित के लिए कज़्दान की संपत्ति (टी) के एनालॉग की परिभाषा दी।

गैर-प्रतिशोधी कारक

टाइप I के वॉन न्यूमैन बीजगणित हमेशा अनुकूल होते हैं, लेकिन अन्य प्रकारों के लिए विभिन्न गैर-सुसंगत कारकों की एक बेशुमार संख्या होती है, जिन्हें वर्गीकृत करना बहुत कठिन लगता है, या यहां तक ​​कि एक दूसरे से अलग भी। फिर भी, डैन-विर्गिल वोइक्यूलस्कु ने दिखाया है कि समूह-माप अंतरिक्ष निर्माण से आने वाले गैर-सुदृढ़ कारकों का वर्ग मुक्त समूहों के समूह वॉन न्यूमैन बीजगणित से आने वाले वर्ग से अलग है। बाद में नारुताका ओज़वा ने साबित किया कि अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के समूह वॉन न्यूमैन बीजगणित प्रधान संख्या प्रकार II उत्पन्न करते हैं₁ कारक, यानी जिन्हें टाइप II के टेंसर उत्पादों के रूप में नहीं माना जा सकता है₁ कारक, वोइक्यूलस्कु के मुक्त संभावना सिद्धांत का उपयोग करके मुक्त समूह कारकों के लिए लीमिंग जीई द्वारा पहली बार सिद्ध किया गया परिणाम। पोपा का काम गैर-सहायक कारकों के मौलिक समूहों पर एक और महत्वपूर्ण प्रगति का प्रतिनिधित्व करता है। अतिपरिमित से परे कारकों का सिद्धांत वर्तमान में कई नए और आश्चर्यजनक परिणामों के साथ तेजी से विस्तार कर रहा है; इसका ज्यामितीय समूह सिद्धांत और एर्गोडिक थ्योरी में ग्रिगोरी मार्गुलिस के साथ घनिष्ठ संबंध है।

उदाहरण

• एक σ-परिमित माप स्थान पर अनिवार्य रूप से बंधे हुए कार्य एक कम्यूटेटिव (टाइप I₁) वॉन न्यूमैन बीजगणित एल पर अभिनय कर रहा है² कार्य करता है। कुछ गैर-σ-परिमित माप स्थानों के लिए, आमतौर पर पैथोलॉजिकल (गणित) माना जाता है, एल^∞(X) वॉन न्यूमैन बीजगणित नहीं है; उदाहरण के लिए, मापने योग्य सेटों का σ-बीजगणित एक बेशुमार सेट पर गणनीय-गणनीय बीजगणित हो सकता है। एक मौलिक सन्निकटन प्रमेय को कप्लान्स्की घनत्व प्रमेय द्वारा दर्शाया जा सकता है।
• किसी भी हिल्बर्ट स्पेस पर बंधे हुए ऑपरेटर एक वॉन न्यूमैन बीजगणित बनाते हैं, वास्तव में एक प्रकार I का कारक है।
• यदि हमारे पास हिल्बर्ट स्थान H पर समूह G का कोई एकात्मक प्रतिनिधित्व है, तो G के साथ आने वाले बंधे हुए ऑपरेटर एक वॉन न्यूमैन बीजगणित G′ बनाते हैं, जिनके अनुमान G. के तहत H invariant के बंद उप-स्थानों के बिल्कुल अनुरूप होते हैं। समतुल्य उप-प्रतिनिधि समकक्ष के अनुरूप होते हैं जी' में अनुमान। जी का डबल कम्यूटेंट जी भी एक वॉन न्यूमैन बीजगणित है।
• असतत समूह G का 'वॉन न्यूमैन समूह बीजगणित' H = l पर सभी परिबद्ध संकारकों का बीजगणित है²(G) सही गुणन के माध्यम से H पर G की क्रिया के साथ आगे बढ़ रहा है। कोई यह दिखा सकता है कि यह वॉन न्यूमैन बीजगणित है जो संचालकों द्वारा एक तत्व जी ∈ जी के साथ बाईं ओर से गुणन के अनुरूप उत्पन्न होता है। यह एक कारक है (प्रकार II का)₁) यदि G का प्रत्येक गैर-तुच्छ संयुग्मन वर्ग अनंत है (उदाहरण के लिए, एक गैर-अबेलियन मुक्त समूह), और प्रकार II का अतिपरिमित कारक है₁ यदि इसके अलावा G परिमित उपसमूहों का एक संघ है (उदाहरण के लिए, पूर्णांकों के सभी क्रमपरिवर्तनों का समूह जो तत्वों की एक परिमित संख्या को छोड़कर सभी को ठीक करता है)।
• दो वॉन न्यूमैन बीजगणित, या राज्यों के साथ एक गणनीय संख्या का टेन्सर उत्पाद, एक वॉन न्यूमैन बीजगणित है जैसा कि ऊपर के खंड में वर्णित है।
• एक असतत (या अधिक सामान्यतः स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट) समूह द्वारा एक वॉन न्यूमैन बीजगणित का पार उत्पाद परिभाषित किया जा सकता है, और एक वॉन न्यूमैन बीजगणित है। विशेष मामले मरे और जॉन वॉन न्यूमैन और 'क्राइगर कारक' के 'समूह-माप अंतरिक्ष निर्माण' हैं।
• मापने योग्य तुल्यता संबंध और मापने योग्य groupoid के वॉन न्यूमैन बीजगणित को परिभाषित किया जा सकता है। ये उदाहरण वॉन न्यूमैन समूह बीजगणित और समूह-माप अंतरिक्ष निर्माण को सामान्यीकृत करते हैं।

अनुप्रयोग

वॉन न्यूमैन अल्जेब्रस ने गणित के विभिन्न क्षेत्रों जैसे गाँठ सिद्धांत, सांख्यिकीय यांत्रिकी, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत, स्थानीय क्वांटम भौतिकी, मुक्त संभावना, गैर-अनुक्रमिक ज्यामिति, प्रतिनिधित्व सिद्धांत, अंतर ज्यामिति और गतिशील प्रणालियों में आवेदन पाया है।

उदाहरण के लिए, सी * - बीजगणित संभाव्यता सिद्धांत के लिए वैकल्पिक स्वयंसिद्धता प्रदान करता है। इस मामले में विधि गेलफैंड-नैमार्क-सेगल निर्माण के नाम से जाती है। यह माप और एकीकरण के दो दृष्टिकोणों के अनुरूप है, जहां किसी के पास पहले सेट के उपायों का निर्माण करने और बाद में इंटीग्रल को परिभाषित करने, या पहले इंटीग्रल का निर्माण करने और सेट के उपायों को विशिष्ट कार्यों के इंटीग्रल के रूप में परिभाषित करने का विकल्प होता है।

यह भी देखें

• AW*-algebra
• केंद्रीय वाहक
• Tomita–Takesaki theory

संदर्भ

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