ब्रिंग रेडिकल्स

वास्तविक तर्क के लिए रेडिकल लाओ का प्लॉट

बीजगणित में, वास्तविक संख्या a का रेडिकल या अल्ट्रारेडिकल लाओ, बहुपद का अद्वितीय वास्तविक मूल है

$$x^{5}+x+a.$$

एक सम्मिश्र संख्या a का लाओ रेडिकल या तो उपरोक्त बहुपद की पाँच जड़ों में से कोई है (यह इस प्रकार बहु-मूल्यवान है), या एक विशिष्ट रूट, जिसे सामान्यतः इस तरह चुना जाता है कि लाओ रेडिकल वास्तविक a के लिए वास्तविक-मूल्यवान होता है और वास्तविक रेखा के पड़ोस में एक विश्लेषणात्मक कार्य होता है। चार शाखा बिंदुओं के अस्तित्व के कारण, रेडिकल को एक ऐसे फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है जो पूरे जटिल विमान पर निरंतर है, और इसकी निरंतरता के डोमेन को चार शाखा कटौती को बाहर करना चाहिए।

जॉर्ज जेरार्ड ने दिखाया कि कुछ क्विंटिक समीकरण Nth रूट और लाओ रेडिकल्स का उपयोग करके बंद रूप अभिव्यक्ति हो सकते हैं, जिसे एरलैंड सैमुअल लाओ द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

इस लेख में, लाओ रेडिकल ऑफ ए को निरूपित किया गया है $\operatorname {BR} (a).$ वास्तविक तर्क के लिए, यह स्पर्शोन्मुख व्यवहार के साथ विषम, नीरस रूप से घटता हुआ और असीम है $\operatorname {BR} (a)\sim -a^{1/5}$ बड़े के लिए $a$.

सामान्य रूप

पांच स्वतंत्र गुणांकों के साथ अपने सबसे सामान्य रूप में सीधे समाधान प्राप्त करने के लिए क्विंटिक समीकरण जबकि मुश्किल है:

$$x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.$$

क्विंटिक को हल करने के लिए विकसित किए गए विभिन्न तरीके आम तौर पर स्वतंत्र गुणांकों की संख्या को कम करने के लिए चिरनहॉस परिवर्तन का उपयोग करके क्विंटिक को सरल बनाने का प्रयास करते हैं।

मूल पंचक रूप

क्वार्टिक और क्यूबिक शर्तों को हटाकर सामान्य क्विंटिक को प्रिंसिपल क्विंटिक फॉर्म के रूप में जाना जाता है:

$$y^{5}+c_{2}y^{2}+c_{1}y+c_{0}=0\,$$

यदि एक सामान्य पंचक और एक प्रमुख पंचक की जड़ें द्विघात Tschirnhaus परिवर्तन से संबंधित हैं

$$y_{k}=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}+\beta \,,$$

गुणांक α और β परिणामी का उपयोग करके, या शक्ति योग सममित बहुपद और न्यूटन की पहचान के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है। यह α और β में समीकरणों की एक प्रणाली की ओर जाता है जिसमें एक द्विघात और एक रेखीय समीकरण होता है, और समाधान के दो सेटों में से किसी एक का उपयोग प्रिंसिपल क्विंटिक फॉर्म के संबंधित तीन गुणांक प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। फेलिक्स क्लेन के क्विंटिक के समाधान द्वारा इस फॉर्म का उपयोग किया जाता है।

लाओ-जेरार्ड सामान्य रूप

लाओ-जेरार्ड सामान्य रूप का निर्माण करते हुए, क्विंटिक को और भी सरल बनाना और द्विघात शब्द को समाप्त करना संभव है:

$$v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0.$$

Ehrenfried Walther von Tschirnhaus के रूप में एक घन परिवर्तन के साथ फिर से शक्ति-योग सूत्रों का उपयोग करना काम नहीं करता है, क्योंकि समीकरणों की परिणामी प्रणाली का परिणाम छठे-डिग्री समीकरण में होता है। लेकिन 1796 में एरलैंड सैमुअल लाओ ने एक मुख्य पंचक की जड़ों को लाओ-जेरार्ड क्विंटिक से संबंधित करने के लिए क्वार्टिक सचिर्नहॉस परिवर्तन का उपयोग करके इसके चारों ओर एक रास्ता खोजा:

$$v_{k}=y_{k}^{4}+\alpha y_{k}^{3}+\beta y_{k}^{2}+\gamma y_{k}+\delta \,.$$

इस चौथे क्रम के परिवर्तन द्वारा प्रदान किया गया अतिरिक्त पैरामीटर अन्य मापदंडों की डिग्री को कम करने के लिए लाओ को अनुमति देता है। यह छह अज्ञात में पाँच समीकरणों की एक प्रणाली की ओर जाता है, जिसके लिए एक घन और एक द्विघात समीकरण के समाधान की आवश्यकता होती है। इस पद्धति की खोज भी जॉर्ज जेरार्ड ने 1852 में की थी। लेकिन यह संभावना है कि वह इस क्षेत्र में लाओ के पिछले काम से अनजान थे। गणित जैसे कंप्यूटर बीजगणित पैकेज का उपयोग करके पूर्ण परिवर्तन आसानी से पूरा किया जा सकता है या मेपल (सॉफ्टवेयर)। जैसा कि इन परिवर्तनों की जटिलता से उम्मीद की जा सकती है, परिणामी भाव बहुत अधिक हो सकते हैं, खासकर जब कम डिग्री समीकरणों के लिए रेडिकल में समाधान की तुलना में, प्रतीकात्मक गुणांक के साथ एक सामान्य क्विंटिक के लिए कई मेगाबाइट भंडारण लेते हैं।

एक बीजगणितीय कार्य के रूप में माना जाता है, के समाधान

$$v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0$$

दो चर शामिल हैं, डी₁ और डी₀; हालाँकि, कमी वास्तव में एक चर के बीजगणितीय कार्य के लिए है, जो रेडिकल में एक समाधान के समान है, क्योंकि हम लाओ-जेरार्ड फॉर्म को और कम कर सकते हैं। यदि हम उदाहरण के लिए सेट करते हैं

$$z={v \over {\sqrt[{4}]{-d_{1}}}}$$

फिर हम समीकरण को रूप में कम करते हैं

$$z^{5}-z+a=0\,,$$

जिसमें एक एकल चर के बीजगणितीय कार्य के रूप में z शामिल है $a$, कहाँ $a=d_{0}(-d_{1})^{-5/4}$. इस फॉर्म की आवश्यकता हरमाइट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची विधि, ग्लासर की विधि और नीचे वर्णित डिफरेंशियल रिज़ॉल्वेंट की कॉकल-हार्ले विधि द्वारा आवश्यक है।

सेट करके एक वैकल्पिक रूप प्राप्त किया जाता है $u={v \over {\sqrt[{4}]{d_{1}}}}$ ताकि $u^{5}+u+b=0\,,$ कहाँ $b=d_{0}(d_{1})^{-5/4}$. इस फॉर्म का इस्तेमाल नीचे लाओ रेडिकल को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

ब्रियोस्ची सामान्य रूप

क्विंटिक समीकरण के लिए एक और एक-पैरामीटर सामान्य रूप है, जिसे ब्रियोस्ची सामान्य रूप के रूप में जाना जाता है

$$w^{5}-10Cw^{3}+45C^{2}w-C^{2}=0,$$

जिसे तर्कसंगत Tschirnhaus रूपांतरण का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है

$$w_{k}={\frac {\lambda +\mu x_{k}}{{\frac {x_{k}^{2}}{C}}-3}}$$

एक ब्रियोस्की पंचक के लिए एक सामान्य पंचक की जड़ों से संबंधित करने के लिए। मापदंडों का मान $\lambda$ और $\mu$ रीमैन क्षेत्र पर बहुफलकीय समारोह का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, और आईकोसाहेड्रल समरूपता के एक वस्तु के विभाजन से संबंधित हैं जो टेट्राहेड्रल समरूपता की पांच वस्तुओं में हैं। यह Tschirnhaus परिवर्तन एक प्रमुख पंचक को लाओ-जेरार्ड रूप में बदलने के लिए उपयोग किए जाने वाले कठिन की तुलना में सरल है। इस सामान्य रूप का उपयोग डॉयल-मैकमुलेन पुनरावृति विधि और कीपर्ट विधि द्वारा किया जाता है।

श्रृंखला प्रतिनिधित्व

लाओ रेडिकल्स के लिए एक टेलर श्रृंखला, साथ ही सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय कार्यों के संदर्भ में एक प्रतिनिधित्व निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। समीकरण $x^{5}+x+a=0$ के रूप में पुनः लिखा जा सकता है $x^{5}+x=-a.$ व्यवस्थित करके $f(x)=x^{5}+x,$ वांछित समाधान है $x=f^{-1}(-a)=-f^{-1}(a)$ तब से $f(x)$ अजीब है।

के लिए श्रृंखला $f^{-1}$ इसके बाद टेलर श्रृंखला के लैग्रेंज उलटा प्रमेय द्वारा प्राप्त किया जा सकता है $f(x)$ (जो सरल है $x+x^{5}$), दे रहा है

$$\operatorname {BR} (a)=-f^{-1}(a)=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {5k}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}a^{4k+1}}{4k+1}}=-a+a^{5}-5a^{9}+35a^{13}-285a^{17}+\cdots ,$$

जहां पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में गुणांकों के निरपेक्ष मान अनुक्रम OEIS:A002294 बनाते हैं। श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या है $4/(5\cdot {\sqrt[{4}]{5}})\approx 0.53499.$ हाइपरज्यामितीय समारोह फॉर्म में, लाओ रेडिकल को इस रूप में लिखा जा सकता है

$$\operatorname {BR} (a)=-a\,\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};-5\left({\frac {5a}{4}}\right)^{4}\right).$$

ग्लासर की व्युत्पत्ति और डिफरेंशियल रिज़ॉल्वेंट की विधि में नीचे उत्पन्न होने वाले हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शंस के साथ तुलना करना दिलचस्प हो सकता है।

== सामान्य पंचक == का समाधान बहुपद की जड़ें

$$x^{5}+px+q$$

लाओ रेडिकल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$${\sqrt[{4}]{p}}\,\operatorname {BR} \left(p^{-{\frac {5}{4}}}q\right)$$

और इसके चार जटिल संयुग्म। हल करने योग्य बहुपद समीकरणों के संदर्भ में अब समस्या को लाओ-जेरार्ड रूप में कम कर दिया गया है, और जड़ों में बहुपद अभिव्यक्तियों को शामिल करने वाले परिवर्तनों का उपयोग केवल चौथी डिग्री तक किया जाता है, जिसका अर्थ है कि बहुपद की जड़ों को खोजने के द्वारा परिवर्तन को उलटा किया जा सकता है रेडिकल में हल करने योग्य। यह प्रक्रिया बाहरी समाधान देती है, लेकिन जब संख्यात्मक तरीकों से सही पाया जाता है, तो क्विंटिक की जड़ों को वर्गमूल, घनमूल और लाओ रेडिकल के रूप में लिखा जा सकता है, जो कि बीजगणितीय के संदर्भ में एक बीजगणितीय समाधान है। एकल चर के कार्य (मोटे तौर पर रेडिकल्स को शामिल करने के लिए परिभाषित) - सामान्य क्विंटिक का एक बीजगणितीय समाधान।

अन्य लक्षण

लाओ रैडिकल के कई अन्य लक्षण विकसित किए गए हैं, जिनमें से पहला 1858 में चार्ल्स हर्मिट द्वारा अण्डाकार ट्रांसेंडेंट (अण्डाकार समारोह और मॉड्यूलर फॉर्म#मॉड्यूलर फ़ंक्शंस फ़ंक्शंस से संबंधित) के संदर्भ में है, और बाद में अन्य गणितज्ञों द्वारा विकसित किए गए तरीके।

हर्मिट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची लक्षण वर्णन

1858 में, चार्ल्स हर्मिट अण्डाकार ट्रान्सेंडेंट के संदर्भ में सामान्य क्विंटिक समीकरण का पहला ज्ञात समाधान प्रकाशित किया, और लगभग उसी समय फ्रांसेस्को ब्रियोस्की और लियोपोल्ड क्रोनकर समकक्ष समाधानों पर आया। त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में क्यूबिक समीकरण के प्रसिद्ध समाधान को सामान्यीकृत करके हर्मिट इस समाधान पर पहुंचे और लाओ-जेरार्ड रूप में क्विंटिक का समाधान ढूंढते हैं:

$$x^{5}-x+a=0$$

जिसमें दिखाया गया है कि चिरनहॉस परिवर्तनों के माध्यम से किसी भी क्विंटिक समीकरण को कम किया जा सकता है। उन्होंने देखा कि अण्डाकार कार्यों की लाओ-जेरार्ड क्विंटिक के समाधान में खेलने के लिए एक समान भूमिका थी क्योंकि क्यूबिक के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों की थी। के लिए $K$ और $K',$ उन्हें अण्डाकार अभिन्न के रूप में लिखें # पहली तरह का पूर्ण अण्डाकार अभिन्न:

$$K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}$$

$$K'(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k'^{2}\sin ^{2}\varphi }}}$$

कहाँ

$$k^{2}+k'^{2}=1.$$

दो अण्डाकार पारलौकिक को परिभाषित करें:

$$\varphi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi i}{2\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {1+e^{2j\pi i\tau }}{1+e^{(2j-1)\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0$$

$$\psi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(1-2j)\pi i\tau }{2}},\quad \operatorname {Im} \tau >0$$

उन्हें समान रूप से अनंत श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

$$\varphi (\tau )={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{(2j^{2}+j)\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0$$

$$\psi (\tau )={\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }(-1)^{j}e^{2j^{2}\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0$$

यदि n एक अभाज्य संख्या है, तो हम दो मानों को परिभाषित कर सकते हैं $u$ और $v$ निम्नलिखित नुसार:

$$u=\varphi (n\tau )$$

और

$$v=\varphi (\tau )$$

जब n एक विषम अभाज्य संख्या है, तो पैरामीटर $u$ और $v$ डिग्री n + 1 इंच के समीकरण से जुड़े हुए हैं $u$, $\Omega _{n}(u,v)=0$, मॉड्यूलर समीकरण के रूप में जाना जाता है, जिसका n+1 मूल है $u$ द्वारा दिया गया है:

$$u=\varphi (n\tau )$$

और

$$u=\varepsilon (n)\varphi \left({\frac {\tau +16m}{n}}\right)$$

कहाँ $\varepsilon (n)$ 1 या -1 है जो इस बात पर निर्भर करता है कि 2 एक द्विघात अवशेष है या नहीं, क्रमशः, और $m\in \{0,1,\ldots ,n-1\}$. n = 5 के लिए, हमारे पास मॉड्यूलर समीकरण है:

$$\Omega _{5}(u,v)=0\iff u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0$$

छह जड़ों के साथ $u$ जैसा कि उपर दिखाया गया है।

n = 5 के साथ मॉड्यूलर समीकरण मॉड्यूलर समीकरण की छह जड़ों के निम्नलिखित कार्य द्वारा लाओ-जेरार्ड क्विंटिक से संबंधित हो सकता है (हर्माइट के सुर ला थ्योरी डेस इक्वेशन मॉड्यूलेयर्स एट ला रेज़ोल्यूशन डे ल'एक्वेशन डु सिन्क्विमे डिग्रे, पहला कारक गलत तरीके से दिया गया है $[\varphi (5\tau )+\varphi (\tau /5)]$):

$$\Phi (\tau )=\left[-\varphi (5\tau )-\varphi \left({\frac {\tau }{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +16}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +64}{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +32}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +48}{5}}\right)\right]$$

वैकल्पिक रूप से, सूत्र

$$\Phi (\tau )=2{\sqrt {10}}e^{3\pi i\tau /40}(1+e^{\pi i\tau /5}-e^{2\pi i\tau /5}+e^{3\pi i\tau /5}-8e^{\pi i\tau }-9e^{6\pi i\tau /5}+8e^{7\pi i\tau /5}-9e^{8\pi i\tau /5}+\cdots )$$

के संख्यात्मक मूल्यांकन के लिए उपयोगी है $\Phi (\tau )$. हर्मिट के अनुसार, का गुणांक $e^{n\pi i\tau /5}$ विस्तार में प्रत्येक के लिए शून्य है $n\equiv 4\,(\operatorname {mod} 5)$. पाँच मात्राएँ $\Phi (\tau )$, $\Phi (\tau +16)$, $\Phi (\tau +32)$, $\Phi (\tau +48)$, $\Phi (\tau +64)$ परिमेय गुणांक वाले क्विंटिक समीकरण की जड़ें हैं $\varphi (\tau )$:

$$\Phi ^{5}-2000\varphi ^{4}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\Phi -64{\sqrt {5^{5}}}\varphi ^{3}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\left[1+\varphi ^{8}(\tau )\right]=0$$

जिसे प्रतिस्थापन द्वारा आसानी से लाओ-जेरार्ड रूप में परिवर्तित किया जा सकता है:

$$\Phi =2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )x$$

लाओ-जेरार्ड क्विंटिक के लिए अग्रणी:

$$x^{5}-x+a=0$$

कहाँ

$$a=-{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau )]}{{\sqrt[{4}]{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}$$

(*)

हर्मिट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची विधि तब के लिए एक मूल्य खोजने के बराबर है $\tau$ जो के मान से मेल खाता है $a$, और फिर उस मान का उपयोग करना $\tau$ इसी मॉड्यूलर समीकरण की जड़ें प्राप्त करने के लिए। हम खोजने के लिए रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं $\tau$ समीकरण से (*) (अर्थात एक व्युत्क्रम फलन#सामान्यीकरण की गणना करें $a$).

फिर लाओ-जेरार्ड क्विंटिक की जड़ें इस प्रकार दी गई हैं:

$$x_{r}={\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}$$

के लिए $r=0,\ldots ,4$.

एक वैकल्पिक, अभिन्न, दृष्टिकोण निम्नलिखित है:

विचार करना $x^{5}-x+a=0$ कहाँ $a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}.$ तब

$$\tau =i{\frac {K'(k)}{K(k)}}$$

का समाधान है

$$a=s{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau )]}{{\sqrt[{4}]{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}$$

कहाँ

$$s={\begin{cases}-\operatorname {sgn} \operatorname {Im} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a=0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Re} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a\neq 0,\end{cases}}$$

$$k^{4}+A^{2}k^{3}+2k^{2}-A^{2}k+1=0,$$

(**)

$$A={\frac {a{\sqrt[{4}]{5^{5}}}}{2}}.$$

समीकरण की जड़ें (**) हैं:

$$k=\tan {\frac {\alpha }{4}},\tan {\frac {\alpha +2\pi }{4}},\tan {\frac {\pi -\alpha }{4}},\tan {\frac {3\pi -\alpha }{4}}$$

कहाँ $\sin \alpha =4/A^{2}$(ध्यान दें कि कुछ महत्वपूर्ण संदर्भ गलत तरीके से इसे देते हैं $\sin \alpha =1/(4A^{2})$). इन जड़ों में से एक को अण्डाकार मापांक के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है $k$.

फिर लाओ-जेरार्ड क्विंटिक की जड़ें इस प्रकार दी गई हैं:

$$x_{r}=-s{\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}$$

के लिए $r=0,\ldots ,4$.

यह देखा जा सकता है कि यह प्रक्रिया nवें रूट के सामान्यीकरण का उपयोग करती है, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$${\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({{\frac {1}{n}}\ln x}\right)$$

या अधिक बिंदु तक, जैसा

$${\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\exp ^{-1}x\right).$$

हर्मिट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची विधि अनिवार्य रूप से एक अण्डाकार पारलौकिक द्वारा घातांक को प्रतिस्थापित करती है, और अभिन्न ${\textstyle \int _{1}^{x}dt/t}$ (या इसका उलटा $\exp$ वास्तविक रेखा पर) एक दीर्घवृत्तीय समाकलन द्वारा (या दीर्घवृत्तीय पारलौकिक के आंशिक व्युत्क्रम द्वारा)। क्रोनेकर ने सोचा कि यह सामान्यीकरण और भी अधिक सामान्य प्रमेय का एक विशेष मामला था, जो मनमाने ढंग से उच्च डिग्री के समीकरणों पर लागू होगा। यह प्रमेय, जिसे थोमे के सूत्र के रूप में जाना जाता है, पूरी तरह से हिरोशी उमेमुरा द्वारा व्यक्त किया गया था 1984 में, जिन्होंने एक्सपोनेंशियल/एलिप्टिक ट्रांसेंडेंट के स्थान पर सील मॉड्यूलर रूप का इस्तेमाल किया और इंटीग्रल को हाइपरेलिप्टिक इंटीग्रल से बदल दिया।

ग्लासर की व्युत्पत्ति

एम एल ग्लासर के कारण यह व्युत्पत्ति प्रपत्र के किसी भी त्रिपदीय समीकरण का हल खोजने के लिए इस लेख में पहले प्रस्तुत श्रृंखला पद्धति का सामान्यीकरण करता है:

$$x^{N}-x+t=0$$

विशेष रूप से, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, Tschirnhaus परिवर्तनों के उपयोग से पंचक समीकरण को इस रूप में कम किया जा सकता है। होने देना $x=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,$, सामान्य रूप बन जाता है:

$$\zeta =e^{2\pi i}+t\phi (\zeta )$$

कहाँ

$$\phi (\zeta )=\zeta ^{\frac {N}{N-1}}$$

जोसेफ लुइस लाग्रेंज के कारण एक सूत्र में कहा गया है कि किसी भी विश्लेषणात्मक कार्य के लिए $f\,$के संदर्भ में रूपांतरित सामान्य समीकरण की जड़ के पड़ोस में $\zeta \,$, ऊपर एक अनंत श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$f(\zeta )=f(e^{2\pi i})+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {d^{n-1}}{da^{n-1}}}[f'(a)|\phi (a)|^{n}]_{a=e^{2\pi i}}$$

अगर हम जाने दें $f(\zeta )=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,$ इस सूत्र में, हम जड़ के साथ आ सकते हैं:

$$x_{k}=e^{-{\frac {2k\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{N-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(te^{\frac {2k\pi i}{N-1}})^{n}}{\Gamma (n+2)}}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {Nn}{N-1}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{N-1}}+1\right)}}$$

$$k=1,2,3,\dots ,N-1\,$$

गॉस गुणन प्रमेय के उपयोग से ऊपर की अनंत श्रृंखला को अतिज्यामितीय कार्यों की एक परिमित श्रृंखला में तोड़ा जा सकता है:

$$\psi _{n}(q)=\left({\frac {e^{\frac {2n\pi i}{N-1}}t}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}{\frac {\prod _{k=0}^{N-1}\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {1+k}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+1\right)\prod _{k=0}^{N-2}\Gamma \left({\frac {q+k+2}{N-1}}\right)}}=\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}\prod _{k=2}^{N}{\frac {\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {k-1}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q+k}{N-1}}\right)}}$$

$$x_{n}=e^{-{\frac {2n\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{n}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}},\quad n=1,2,3,\dots ,N-1$$

$$x_{N}=\sum _{m=1}^{N-1}{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{m}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2m\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}}$$

और रूप के त्रिपद की जड़ें हैं

$$ax^{N}+bx^{2}+c=0,N\equiv 1{\pmod {2}}$$

$${\begin{aligned}F_{1}(t)&=\,_{4}F_{3}\left(-{\frac {1}{20}},{\frac {3}{20}},{\frac {7}{20}},{\frac {11}{20}};{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{2}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{3}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {9}{20}},{\frac {13}{20}},{\frac {17}{20}},{\frac {21}{20}};{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{4}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {7}{10}},{\frac {9}{10}},{\frac {11}{10}},{\frac {13}{10}};{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\end{aligned}}$$