श्वार्ट्ज स्थान

गणित में, श्वार्ट्ज स्थान ${\mathcal {S}}$ के सभी कार्यों का स्थान है जिसका यौगिक तीव्रता से घट रहा है। इस स्थान की महत्वपूर्ण संपत्ति है कि फूरियर रूपांतरण इस स्थान पर ऑटोमोर्फिसम है। यह संपत्ति दोहरे स्थान में तत्वों के लिए फूरियर रूपांतरण को परिभाषित करने के लिए, द्वैत द्वारा सक्षम करती है ${\mathcal {S}}^{*}$ का ${\mathcal {S}}$ , जैसे टेम्पर्ड वितरण है। श्वार्ट्ज स्पेस को कभी-कभी श्वार्टज़ फ़ंक्शन कहा जाता है।

द्वि-आयामी गाऊसी फ़ंक्शन तीव्रता से घटते फ़ंक्शन का उदाहरण है।

श्वार्ट्ज स्थान का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ लॉरेंट श्वार्ट्ज के नाम पर रखा गया है।

परिभाषा

$\mathbb {N}$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय (गणित) हो तो, $n\in \mathbb {N}$ , के लिए $\mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}$ एन-फोल्ड कार्टेशियन उत्पाद बनाते है। जो 'तीव्रता से घटते ' $\mathbb {R} ^{n}$ कार्य स्थान है-

S\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right):=\left\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )\mid \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n},\|f\|_{\alpha ,\beta }<\infty \right\},

जहाँ

C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )

से सुचारू रूप से कार्यों का स्थान है

\mathbb {R} ^{n}

में

\mathbb {C}

, और

\|f\|_{\alpha ,\beta }:=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }(D^{\beta }f)(x)\right|.

जहाँ,

\sup

अंतिम को दर्शाता है, और हम बहु-सूचकांक संकेतन का उपयोग करते हैं।

इस परिभाषा में सामान्य भाषा का उपयोग करने से, तीव्रता से घटते हुए फ़ंक्शन को अनिवार्य रूप से $f (x)$ कार्य में माना जाता है जैसे कि- $f (x)$ , $f'(x)$ , $f''(x)$ , है I सभी प्रत्येक स्थान पर सम्मलित हैं $R$ और $x$ . के किसी भी पारस्परिक शक्ति की तुलना में $x$ $\to \pm\infty$ के रूप में शून्य पर जाएं I विशेष रूप से, $S$ ( $R$ ^$n$, $C$ ) फलन स्थान $C$ ^$\infty$( $R$ ^$n$, $C$ ) का रेखीय उपस्थान है जो $R n$ से $C$ . तक सुचारू रूप से कार्यों का स्थान है I