स्थैतिकतः अनिर्धार्य

स्थिति-विज्ञान और संरचनात्मक यांत्रिकी में, स्थिर संतुलन समीकरणों में एक संरचना स्थिर रूप से अनिश्चित होती है – बल और पल संतुलन की स्थिति – उस संरचना पर आंतरिक बलों और प्रतिक्रिया (भौतिकी) का निर्धारण करने के लिए अपर्याप्त हैं।

गणित

न्यूटन के गति के नियमों के आधार पर, द्वि-आयामी निकाय के लिए उपलब्ध संतुलन समीकरण हैं:

$\sum \mathbf {F} =0:$ शरीर पर कार्य करने वाली शक्तियों का सदिश योग शून्य के बराबर होता है। यह इसका अनुवाद करता है:

$\sum \mathbf {H} =0:$ बलों के क्षैतिज घटकों का योग शून्य के बराबर है;

$\sum \mathbf {V} =0:$ बलों के ऊर्ध्वाधर घटकों का योग शून्य के बराबर होता है;

$\sum \mathbf {M} =0:$ सभी बलों के क्षण (भौतिकी) का योग (एक मनमाना बिंदु के बारे में) शून्य के बराबर होता है।

स्थिर रूप से अनिश्चित बीम (संरचना) का मुक्त शरीर आरेख।

दाहिनी ओर बीम (संरचना) निर्माण में चार अज्ञात अभिक्रियाएँ हैं V_A, V_B, V_C, और H_A. संतुलन समीकरण हैं:

${\begin{aligned}\sum \mathbf {V} =0\quad &\implies \quad \mathbf {V} _{A}-\mathbf {F} _{v}+\mathbf {V} _{B}+\mathbf {V} _{C}=0\\\sum \mathbf {H} =0\quad &\implies \quad \mathbf {H} _{A}=0\\\sum \mathbf {M} _{A}=0\quad &\implies \quad \mathbf {F} _{v}\cdot a-\mathbf {V} _{B}\cdot (a+b)-\mathbf {V} _{C}\cdot (a+b+c)=0\end{aligned}}$

चूंकि चार अज्ञात बल हैं (या चर (गणित)) (V_A, V_B, V_C, और H_A) लेकिन केवल तीन संतुलन समीकरण, एक साथ समीकरणों की इस प्रणाली का कोई अनूठा समाधान नहीं है। इसलिए संरचना को स्थिर रूप से अनिश्चित के रूप में वर्गीकृत किया गया है।

सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित प्रणालियों को हल करने के लिए (इसके भीतर विभिन्न पल और बल प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करें), भौतिक गुणों और विरूपण (इंजीनियरिंग) में संगतता पर विचार करता है।

स्थिर रूप से निर्धारित करें

यदि समर्थन पर B हटा दिया जाता है, प्रतिक्रिया V_B नहीं हो सकता है, और सिस्टम स्थिर रूप से निर्धारित (या आइसोस्टैटिक) हो जाता है। ध्यान दें कि यहां सिस्टम पूरी तरह से विवश है। प्रणाली एक सटीक बाधा गतिज युग्मन बन जाती है। समस्या का समाधान है:

${\begin{aligned}\mathbf {H} _{A}&=\mathbf {F} _{h}\\\mathbf {V} _{C}&={\frac {\mathbf {F} _{v}\cdot a}{a+b+c}}\\\mathbf {V} _{A}&=\mathbf {F} _{v}-\mathbf {V} _{C}\end{aligned}}$

यदि, इसके अलावा, पर समर्थन A को एक रोलर सपोर्ट में बदल दिया जाता है, प्रतिक्रियाओं की संख्या घटाकर तीन (बिना) कर दी जाती है H_A), लेकिन बीम को अब क्षैतिज रूप से स्थानांतरित किया जा सकता है; प्रणाली अस्थिर या आंशिक रूप से विवश हो जाती है - एक संरचना के बजाय एक तंत्र (इंजीनियरिंग)। इस और स्थिति के बीच अंतर करने के लिए जब संतुलन के तहत एक प्रणाली परेशान हो जाती है और अस्थिर हो जाती है, तो यहां आंशिक रूप से विवश वाक्यांश का उपयोग करना बेहतर होता है। इस मामले में दोनों अज्ञात हैं V_A और V_C ऊर्ध्वाधर बल समीकरण और क्षण समीकरण को एक साथ हल करके निर्धारित किया जा सकता है। समाधान पहले प्राप्त किए गए समान परिणाम देता है। हालांकि, जब तक क्षैतिज बल समीकरण को संतुष्ट करना संभव नहीं है F_h = 0.

स्थैतिक निर्धारण

वर्णनात्मक रूप से, एक स्थिर रूप से निर्धारित संरचना को एक संरचना के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहां बाहरी भार के साथ संतुलन में आंतरिक क्रियाओं को खोजना संभव है, वे आंतरिक क्रियाएं अद्वितीय हैं। संरचना में आत्म-तनाव की कोई संभावित अवस्था नहीं है, अर्थात शून्य बाहरी भार के साथ संतुलन में आंतरिक बल संभव नहीं हैं। हालाँकि, स्थैतिक अनिश्चितता, संतुलन समीकरणों के रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली के गैर-तुच्छ (गैर-शून्य) समाधान का अस्तित्व है। यह आत्म-तनाव (बाहरी भार की अनुपस्थिति में तनाव) की संभावना को इंगित करता है जो यांत्रिक या तापीय क्रिया से प्रेरित हो सकता है।

गणितीय रूप से, इसे पूर्ण रैंक प्राप्त करने के लिए कठोरता मैट्रिक्स की आवश्यकता होती है।

भौतिक गुणों और विक्षेपण जैसी अधिक जानकारी को शामिल करके ही एक सांख्यिकीय रूप से अनिश्चित संरचना का विश्लेषण किया जा सकता है। संख्यात्मक रूप से, यह मैट्रिक्स संरचनात्मक विश्लेषण और परिमित तत्व विश्लेषण जैसी विधियों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

व्यावहारिक रूप से, एक संरचना को 'सांख्यिकीय रूप से अतिनिर्धारित' कहा जाता है, जब इसमें अधिक यांत्रिक बाधाएं शामिल होती हैं – दीवारों, कॉलम या बोल्ट की तरह – स्थिरता के लिए नितांत आवश्यक है।

यह भी देखें

• क्रिश्चियन ओटो मोहर
• लचीलापन विधि
• पल वितरण विधि
• अत्यधिक विवश तंत्र
• संरचनागत वास्तुविद्या
• विज्ञान संबंधी निर्धारण

बाहरी संबंध

• Beam calculation online (Statically indeterminate)