टैक्सीकैब ज्यामिति

टेक्सीकैब ज्यामिति बनाम यूक्लिडियन दूरी: टेक्सीकैब ज्यामिति में, लाल, पीले, नीले और हरे रंग के पथों की लंबाई 12 समान होती है। यूक्लिडियन ज्यामिति में, हरे रंग की रेखा की लंबाई होती है। $6{\sqrt {2}}\approx 8.49$ और अद्वितीय सबसे छोटा पथ है, जबकि अन्य पथों की लंबाई 12 है।

टेक्सीकैब ज्यामिति या मैनहटन ज्यामिति ऐसी ज्यामिति है। जिसकी सामान्य दूरी का कार्य या यूक्लिडियन ज्यामिति की मेट्रिक (गणित) को नए मेट्रिक से परिवर्तित किया जाता है। जिसमें दो बिंदुओं के मध्य की दूरी उनके कार्टेशियन निर्देशांक के पूर्ण अंतर का योग होता है। टेक्सीकैब मीट्रिक को सीधीरेखीय दूरी, एल¹ दूरी या $\ell _{1}$ के रूप में भी जाना जाता है। मानदंड (एलपी स्पेस देखें।), सांप (वीडियो गेम) दूरी, शहर ब्लॉक दूरी, मैनहट्टन दूरी या मैनहट्टन लंबाई। बाद वाले नाम मैनहट्टन द्वीप पर सीधी रेखीय सड़क के विन्यास को संदर्भित करते हैं, जहां दो बिंदुओं के मध्य टैक्सी यात्रा करने वाला सबसे छोटा रास्ता और सड़कों पर यात्रा करने वाली दूरी के पूर्ण मूल्यों का योग है।

18वीं शताब्दी से प्रतिगमन विश्लेषण में ज्यामिति का उपयोग किया जाता रहा है, और इसे अधिकांशतः लासो (सांख्यिकी) के रूप में संदर्भित किया जाता है। ज्यामितीय व्याख्या 19वीं शताब्दी के गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की है और यह हरमन मिन्कोव्स्की के कारण है।

में $\mathbb {R} ^{2}$, दो बिंदुओं के मध्य टैक्सीकैब की दूरी $(x_{1},y_{1})$ और $(x_{2},y_{2})$ है $\left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right|$. अर्थात्, यह दोनों निर्देशांकों में अंतरों के निरपेक्ष मूल्यों का योग है।

औपचारिक परिभाषा

टैक्सी की दूरी, $d_{\text{T}}$, दो वैक्टर के मध्य $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}){\text{ and }}\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$ निश्चित कार्तीय समन्वय प्रणाली के साथ एन-आयामी वास्तविक संख्या वेक्टर अंतरिक्ष में, समन्वय अक्षों पर बिंदुओं के मध्य रेखा खंड के अनुमानों की लंबाई का योग है। अधिक औपचारिक रूप से,

$$d_{\text{T}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\left\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \right\|_{\text{T}}=\sum _{i=1}^{n}\left|p_{i}-q_{i}\right|$$

उदाहरण के लिए, में $\mathbb {R} ^{2}$, टैक्सीकैब के मध्य की दूरी $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2})$ और $\mathbf {q} =(q_{1},q_{2})$ है $\left|p_{1}-q_{1}\right|+\left|p_{2}-q_{2}\right|.$

इतिहास

एल¹ मेट्रिक का उपयोग 1757 में रोजर जोसेफ बोस्कोविच द्वारा प्रतिगमन विश्लेषण में किया गया था। ज्यामितीय व्याख्या 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के विकास की तारीख है, विशेष रूप से हरमन मिंकोव्स्की और उनकी मिंकोव्स्की असमानता, जिनमें से यह ज्यामिति विशेष मामला है, विशेष रूप से संख्याओं की ज्यामिति में उपयोग की जाती है, (Minkowski 1910). एलपी स्पेस की औपचारिकता | एल^p रिक्त स्थान को श्रेय दिया जाता है (Riesz 1910).

गुण

टैक्सीकैब दूरी समन्वय प्रणाली के ROTATION पर निर्भर करती है, किन्तु समन्वय अक्ष या इसके अनुवाद (ज्यामिति) के बारे में इसके प्रतिबिंब (गणित) पर निर्भर नहीं करती है। टेक्सीकैब ज्यामिति सर्वांगसमता (ज्यामिति) को छोड़कर सभी हिल्बर्ट के स्वयंसिद्धों (यूक्लिडियन ज्यामिति का औपचारिककरण) को संतुष्ट करती है # सर्वांगसमता का निर्धारण | पार्श्व-कोण-पार्श्व अभिगृहीत, समान रूप से लंबी दो भुजाओं वाले दो त्रिभुज और उनके मध्य समान कोण सामान्यतः सर्वांगसम नहीं होते हैं (ज्यामिति) # त्रिभुजों की सर्वांगसमता जब तक कि उल्लेखित भुजाएँ समानांतर न हों।

बॉल्स

असतत और निरंतर टैक्सीकैब ज्यामिति में वृत्त

गेंद (गणित) निश्चित दूरी के साथ बिंदुओं का समूह है, जिसे त्रिज्या कहा जाता है, बिंदु जिसे केंद्र (ज्यामिति) कहा जाता है। एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन ज्यामिति में, गेंदें ए एन-क्षेत्र हैं। टैक्सीकैब ज्यामिति में, यूक्लिडियन ज्यामिति की तुलना में दूरी अलग मीट्रिक द्वारा निर्धारित की जाती है, और गेंद का आकार भी बदल जाता है। एन आयामों में, टैक्सीकैब गेंद एन-आयामी ऑर्थोप्लेक्स के आकार में होती है। दो आयामों में, ये वर्गाकार (ज्यामिति) होते हैं जिनकी भुजाएँ निर्देशांक अक्षों से 45° के कोण पर उन्मुख होती हैं। नीले रंग में दिखाए गए केंद्र से निश्चित दूरी के साथ सभी बिंदुओं के सेट को लाल रंग में दिखाकर दाईं ओर की छवि दिखाती है कि यह सच क्यों है। जैसे-जैसे शहर के ब्लॉक का आकार कम होता जाता है, अंक और अधिक होते जाते हैं और निरंतर टैक्सीकेब ज्यामिति में घुमाया हुआ वर्ग बन जाता है। जबकि प्रत्येक पक्ष की लंबाई होगी ${\sqrt {2}}r$ यूक्लिडियन मीट्रिक का उपयोग करते हुए, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है, टेक्सीकैब ज्यामिति में इसकी लंबाई 2r है। अत: वृत्त की परिधि 8r है। इस प्रकार, Pi| के ज्यामितीय अनुरूप का मान$\pi$इस ज्यामिति में 4 है। टेक्सीकैब ज्यामिति में यूनिट सर्कल का सूत्र है $|x|+|y|=1$ कार्तीय निर्देशांक में और

$$r={\frac {1}{\left|\sin \theta \right|+\left|\cos \theta \right|}}$$

ध्रुवीय निर्देशांक में।

त्रिज्या 1 का वृत्त (इस दूरी का उपयोग करके) इसके केंद्र का वॉन न्यूमैन पड़ोस है।

चेबीशेव दूरी के लिए त्रिज्या आर का चक्र (एलपी स्पेस | एल_∞ मेट्रिक) भी वर्ग है जिसकी भुजा लंबाई 2r समन्वय अक्षों के समानांतर है, इसलिए प्लानर चेबिशेव दूरी को रोटेशन और स्केलिंग द्वारा प्लानर टैक्सीकैब दूरी के बराबर देखा जा सकता है। चूंकि, एल के मध्य यह समानता₁ और मैं_∞ मीट्रिक उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत नहीं होती हैं.

जब भी इन मंडलियों के संग्रह में प्रत्येक जोड़ी में गैर-रिक्त चौराहा होता है, तो पूरे संग्रह के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु उपस्तिथ होता है; इसलिए, मैनहटन दूरी अंतःक्षेपी मीट्रिक स्थान बनाती है।

चाप की लंबाई

होने देना $y=f(x)$ में अवकलनीय फलन फलन हो $\mathbb {R} ^{2}$. होने देना $s$ द्वारा परिभाषित प्लानर वक्र की टैक्सीकैब चाप लंबाई हो $f$ किसी अंतराल पर $[a,b]$. फिर टैक्सी की लंबाई $i^{\text{th}}$ चाप का अतिसूक्ष्म विभाजन (संख्या सिद्धांत), $\Delta s_{i}$, द्वारा दिया गया है:

$\Delta s_{i}=\Delta x_{i}+\Delta y_{i}=\Delta x_{i}+|f(x_{i})-f(x_{i-1})|$ औसत मूल्य प्रमेय के अनुसार, कुछ बिंदु उपस्तिथ हैं $x_{i}^{*}$ मध्य में $x_{i}$ और $x_{i-1}$ऐसा है कि $f(x_{i})-f(x_{i-1})=f'(x_{i}^{*})dx_{i}$.

$\Delta s_{i}=\Delta x_{i}+|f'(x_{i}^{*})|\Delta x_{i}=\Delta x_{i}(1+|f'(x_{i}^{*})|)$

तब $s$ के प्रत्येक विभाजन के योग के रूप में दिया जाता है $s$ पर $[a,b]$ क्योंकि वे मनमाने ढंग से बड़े हो जाते हैं.

मोनोटोन बढ़ते या घटते कार्यों द्वारा परिभाषित कर्व्स की टैक्सिकैब चाप लंबाई समान होती है जब तक कि वे समान समापन बिंदु साझा करते हैं।

${\begin{aligned}s&=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}\Delta x_{i}(1+|f'(x_{i}^{*})|)\\&=\int _{a}^{b}1+|f'(x)|\,dx\end{aligned}}$

इसे टेस्ट करने के लिए रेडियस का टेक्सीकैब सर्कल लें $r$ मूल पर केन्द्रित है। प्रथम चतुर्थांश (समतल ज्यामिति) में इसका वक्र किसके द्वारा दिया गया है $f(x)=-x+r$ जिसकी लंबाई है

$s=\int _{0}^{r}1+|-1|dx=2r$ इस मान को गुणा करके $4$ शेष चतुर्भुजों के लिए खाता देता है $8r$, जो टैक्सीकैब सर्कल की परिधि से सहमत है। अब त्रिज्या के यूक्लिडियन ज्यामिति वृत्त को लें $r$ मूल पर केंद्रित है, जो द्वारा दिया गया है $f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$. प्रथम चतुर्थांश में इसकी चाप की लंबाई द्वारा दिया गया है

${\begin{aligned}s&=\int _{0}^{r}1+|x{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}|dx\\&=x+{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\bigg |}_{0}^{r}\\&=r-(-r)\\&=2r\end{aligned}}$

शेष चतुर्भुजों के लिए लेखांकन देता है $4\times 2r=8r$ दोबारा। इसलिए, टैक्सीकैब मीट्रिक स्थान में टैक्सीकैब सर्कल और यूक्लिडियन ज्यामिति सर्कल की परिधि बराबर है। दरअसल, किसी भी फंक्शन के लिए $f$ यह अंतराल पर निरंतर व्युत्पन्न के साथ मोनोटोनिक और अवकलनीय कार्य है $[a,b]$, चाप की लंबाई $f$ ऊपर $[a,b]$ है $(b-a)+\mid f(b)-f(a)\mid$.

दो टैक्सिकैब समद्विबाहु त्रिभुज। तीन कोण और दो पाद सर्वांगसम हैं, किन्तु त्रिभुज सर्वांगसम नहीं हैं। इसलिए, ASASA टेक्सीकैब ज्यामिति में सर्वांगसमता प्रमेय नहीं है।

त्रिभुज सर्वांगसमता

दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि और केवल यदि तीन संगत भुजाएँ दूरी में बराबर हों और तीन संगत कोण माप में बराबर हों। कई प्रमेय हैं जो यूक्लिडियन ज्यामिति में सर्वांगसमता (ज्यामिति) की गारंटी देते हैं, जैसे कोण-कोण-पक्ष (AAS), कोण-पार्श्व-कोण (ASA), पार्श्व-कोण-पक्ष (SAS), और पार्श्व-पक्ष-पक्ष (SSS)। ). टैक्सिकैब ज्यामिति में, तथापि, केवल SASAS त्रिभुज सर्वांगसमता की गारंटी देता है। उदाहरण के लिए, दो समद्विबाहु टैक्सीकैब त्रिभुज लें, जिनके कोण 45-90-45 मापते हैं। दोनों त्रिभुजों के दो पादों की करलंबाई 2 है, किन्तु कर्ण सर्वांगसम नहीं हैं। यह प्रति उदाहरण एएएस, एएसए और एसएएस को हटा देता है। यह AASS, AAAS और यहां तक ​​कि ASASA को भी हटा देता है। तीन सर्वांगसम कोणों और दो भुजाओं का होना टेक्सीकैब ज्यामिति में त्रिभुज सर्वांगसमता की गारंटी नहीं देता है। इसलिए, टैक्सिकैब ज्यामिति में एकमात्र त्रिभुज सर्वांगसमता प्रमेय SASAS है, जहां तीनों संगत भुजाएं सर्वांगसम होनी चाहिए और कम से कम दो संगत कोण सर्वांगसम होने चाहिए। यह परिणाम मुख्य रूप से इस तथ्य के कारण है कि रेखा खंड की लंबाई टेक्सीकैब ज्यामिति में इसके अभिविन्यास पर निर्भर करती है।

अनुप्रयोग

संकुचित संवेदन

रेखीय समीकरणों की कम निर्धारित प्रणाली को हल करने में, पैरामीटर वेक्टर के लिए नियमितीकरण (गणित) शब्द के रूप में व्यक्त किया जाता है $\ell _{1}$ वेक्टर का मानदंड (टैक्सीकैब ज्यामिति)। यह दृष्टिकोण सिग्नल रिकवरी फ्रेमवर्क में दिखाई देता है जिसे संकुचित संवेदन कहा जाता है।

आवृत्ति वितरण के अंतर

टैक्सिकैब ज्यामिति का उपयोग असतत आवृत्ति वितरण में अंतर का आकलन करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, hexamer के आरएनए स्पिलिंग पोजिशनल डिस्ट्रीब्यूशन में, जो ब्याह स्थल के पास प्रत्येक दिए गए न्यूक्लियोटाइड पर दिखाई देने वाले प्रत्येक हेक्सामर की संभावना की साजिश करते हैं, की तुलना एल1-दूरी से की जा सकती है। प्रत्येक स्थिति वितरण को वेक्टर के रूप में दर्शाया जा सकता है जहां प्रत्येक प्रविष्टि निश्चित न्यूक्लियोटाइड पर प्रारंभ होने वाले हेक्सामर की संभावना का प्रतिनिधित्व करती है। दो सदिशों के मध्य बड़ी L1-दूरी वितरण की प्रकृति में महत्वपूर्ण अंतर को इंगित करती है जबकि छोटी दूरी समान आकार के वितरण को दर्शाती है। यह दो वितरण वक्रों के मध्य के क्षेत्र को मापने के बराबर है क्योंकि प्रत्येक खंड का क्षेत्रफल उस बिंदु पर दो वक्रों की संभावना के मध्य पूर्ण अंतर है। जब सभी खंडों को साथ जोड़ा जाता है, तो यह L1-दूरी के समान माप प्रदान करता है।

यह भी देखें

• Chebyshev distance
• Fifteen puzzle
• Hamming distance
• Manhattan wiring
• Mannheim distance
• Metric
• Minkowski distance
• Normed vector space
• Orthogonal convex hull
• Random walk

बाहरी संबंध

• Krause, Eugene F. (1987). Taxicab Geometry. Dover. ISBN 978-0-486-25202-5.
• Minkowski, Hermann (1910). Geometrie der Zahlen (in Deutsch). Leipzig and Berlin: R. G. Teubner. JFM 41.0239.03. MR 0249269. Retrieved October 6, 2019.
• Riesz, Frigyes (1910). "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen". Mathematische Annalen (in Deutsch). 69 (4): 449–497. doi:10.1007/BF01457637. hdl:10338.dmlcz/128558. S2CID 120242933.
• Weisstein, Eric W. "Taxicab Metric". MathWorld.
• Malkevitch, Joe (October 1, 2007). "Taxi!". American Mathematical Society. Retrieved October 6, 2019.