संयुग्मी स्थानान्तरण

"Adjoint matrix" redirects here. For the transpose of cofactor, see Adjugate matrix.

गणित में, एक का संयुग्मी स्थानांतरण, जिसे हर्मिटियन ट्रांज़ोज़ के रूप में भी जाना जाता है $m\times n$ जटिल संख्या मैट्रिक्स (गणित) ${\boldsymbol {A}}$ एक $n\times m$ खिसकाना द्वारा प्राप्त मैट्रिक्स ${\boldsymbol {A}}$ और प्रत्येक प्रविष्टि पर जटिल संयुग्म लागू करना (जटिल संयुग्म $a+ib$ प्राणी $a-ib$, वास्तविक संख्या के लिए $a$ और $b$). इसे अक्सर के रूप में दर्शाया जाता है ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ या ${\boldsymbol {A}}^{*}$ या ${\boldsymbol {A}}'$, और आमतौर पर भौतिकी के रूप में ${\boldsymbol {A}}^{\dagger }$.

वास्तविक संख्या मेट्रिसेस के लिए, संयुग्म स्थानान्तरण केवल स्थानान्तरण है, ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}$.

परिभाषा

एक का संयुग्मी स्थानांतरण $m\times n$ आव्यूह ${\boldsymbol {A}}$ द्वारा औपचारिक रूप से परिभाषित किया गया है

$\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)_{ij}={\overline {{\boldsymbol {A}}_{ji}}}$

(Eq.1)

जहां सबस्क्रिप्ट $ij$ दर्शाता है $(i,j)$-वीं प्रविष्टि, के लिए $1\leq i\leq n$ और $1\leq j\leq m$, और ओवरबार एक अदिश जटिल संयुग्म को दर्शाता है।

इस परिभाषा को इस रूप में भी लिखा जा सकता है:${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }=\left({\overline {\boldsymbol {A}}}\right)^{\mathsf {T}}={\overline {{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}}$ कहाँ ${\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}$ स्थानान्तरण को दर्शाता है और ${\overline {\boldsymbol {A}}}$ मैट्रिक्स को जटिल संयुग्मित प्रविष्टियों के साथ दर्शाता है।

एक मैट्रिक्स के संयुग्मित संक्रमण के अन्य नाम हर्मिटियन संयुग्म, आसन्न मैट्रिक्स या ट्रांसजुगेट हैं। मैट्रिक्स का संयुग्मी स्थानांतरण ${\boldsymbol {A}}$ इनमें से किसी भी प्रतीक द्वारा निरूपित किया जा सकता है:

• ${\boldsymbol {A}}^{*}$, आमतौर पर रैखिक बीजगणित में उपयोग किया जाता है* ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$, आमतौर पर रैखिक बीजगणित में उपयोग किया जाता है
• ${\boldsymbol {A}}^{\dagger }$ (कभी-कभी ए कटार (टाइपोग्राफी) के रूप में उच्चारित), आमतौर पर क्वांटम यांत्रिकी में उपयोग किया जाता है
• ${\boldsymbol {A}}^{+}$, हालांकि यह प्रतीक आमतौर पर मूर-पेनरोज़ स्यूडोइनवर्स के लिए उपयोग किया जाता है

कुछ संदर्भों में, ${\boldsymbol {A}}^{*}$ मैट्रिक्स को केवल जटिल संयुग्मित प्रविष्टियों और कोई पारदर्शिता के साथ दर्शाता है।

उदाहरण

मान लीजिए कि हम निम्नलिखित मैट्रिक्स के संयुग्म स्थानान्तरण की गणना करना चाहते हैं ${\boldsymbol {A}}$.

${\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}$

हम पहले मैट्रिक्स को स्थानांतरित करते हैं:

${\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}$

फिर हम मैट्रिक्स की प्रत्येक प्रविष्टि को संयुग्मित करते हैं:

${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}$

मूल टिप्पणी

एक वर्ग मैट्रिक्स ${\boldsymbol {A}}$ प्रविष्टियों के साथ $a_{ij}$ कहा जाता है

• हर्मिटियन मैट्रिक्स या सेल्फ-एडजॉइंट_ऑपरेटर | सेल्फ-एडजॉइंट अगर ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$; अर्थात।, $a_{ij}={\overline {a_{ji}}}$.
• तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स या एंटीहर्मिटियन अगर ${\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$; अर्थात।, $a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}$.
• सामान्य मैट्रिक्स अगर ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$.
• एकात्मक मैट्रिक्स यदि ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{-1}$, समकक्ष ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {I}}$, समकक्ष ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {I}}$.

भले ही ${\boldsymbol {A}}$ वर्गाकार नहीं है, दो आव्यूह ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}$ और ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ दोनों हर्मिटियन हैं और वास्तव में सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स | सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स हैं।

संयुग्म स्थानान्तरण आसन्न मैट्रिक्स ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ सहायक के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, $\operatorname {adj} ({\boldsymbol {A}})$, जिसे कभी-कभी सहायक भी कहा जाता है।

मैट्रिक्स का संयुग्मी स्थानांतरण ${\boldsymbol {A}}$ वास्तविक संख्या प्रविष्टियों के साथ का स्थानान्तरण करने के लिए कम कर देता है ${\boldsymbol {A}}$, क्योंकि वास्तविक संख्या का संयुग्मी स्वयं संख्या होती है।

प्रेरणा

संयुग्म संक्रमण को यह ध्यान देकर प्रेरित किया जा सकता है कि जटिल संख्याओं को उपयोगी रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है $2\times 2$ वास्तविक मैट्रिसेस, मैट्रिक्स जोड़ और गुणन का पालन करना:

$a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.$

यही है, प्रत्येक जटिल संख्या को निरूपित करना $z$ असली द्वारा $2\times 2$ Argand आरेख पर रैखिक परिवर्तन का मैट्रिक्स (वास्तविक वेक्टर अंतरिक्ष के रूप में देखा गया $\mathbb {R} ^{2}$), जटिल से प्रभावित$z$-गुणन पर $\mathbb {C}$.

इस प्रकार, ए $m\times n$ सम्मिश्र संख्याओं के आव्यूह को a द्वारा अच्छी तरह प्रदर्शित किया जा सकता है $2m\times 2n$ वास्तविक संख्याओं का मैट्रिक्स। संयुग्म पारगमन, इसलिए, इस तरह के मैट्रिक्स को आसानी से स्थानांतरित करने के परिणाम के रूप में बहुत स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है - जब एक के रूप में फिर से देखा जाता है $n\times m$ मैट्रिक्स जटिल संख्याओं से बना है।

संयुग्म संक्रमण के गुण

• $({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }$ किसी भी दो मेट्रिसेस के लिए ${\boldsymbol {A}}$ और ${\boldsymbol {B}}$ समान आयामों का।
• $(z{\boldsymbol {A}})^{\mathrm {H} }={\overline {z}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ किसी भी जटिल संख्या के लिए $z$ और कोई भी $m\times n$ आव्यूह ${\boldsymbol {A}}$.
• $({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ किसी के लिए $m\times n$ आव्यूह ${\boldsymbol {A}}$ और कोई भी $n\times p$ आव्यूह ${\boldsymbol {B}}$. ध्यान दें कि कारकों का क्रम उलटा है।* $\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}$ किसी के लिए $m\times n$ आव्यूह ${\boldsymbol {A}}$, यानी हर्मिटियन ट्रांसपोजिशन एक इनवोल्यूशन (गणित) है।
• अगर ${\boldsymbol {A}}$ एक वर्ग मैट्रिक्स है, तो $\det \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\det \left({\boldsymbol {A}}\right)}}$ कहाँ $\operatorname {det} (A)$ के निर्धारक को दर्शाता है ${\boldsymbol {A}}$ .
• अगर ${\boldsymbol {A}}$ एक वर्ग मैट्रिक्स है, तो $\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}})}}$ कहाँ $\operatorname {tr} (A)$ के ट्रेस (मैट्रिक्स) को दर्शाता है ${\boldsymbol {A}}$.
• ${\boldsymbol {A}}$ उलटा मैट्रिक्स है अगर और केवल अगर ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ उलटा है, और उस मामले में $\left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)^{-1}=\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right)^{\mathrm {H} }$.
• के eigenvalues ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ के eigenvalues ​​​​के जटिल संयुग्म हैं ${\boldsymbol {A}}$.
• $\left\langle {\boldsymbol {A}}x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }y\right\rangle _{n}$ किसी के लिए $m\times n$ आव्यूह ${\boldsymbol {A}}$, कोई भी सदिश $x\in \mathbb {C} ^{n}$ और कोई वेक्टर $y\in \mathbb {C} ^{m}$. यहाँ, $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}$ मानक जटिल आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है $\mathbb {C} ^{m}$, और इसी तरह के लिए $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}$.

सामान्यीकरण

ऊपर दी गई अंतिम विशेषता यह दर्शाती है कि यदि कोई देखे ${\boldsymbol {A}}$ हिल्बर्ट अंतरिक्ष से एक रैखिक परिवर्तन के रूप में $\mathbb {C} ^{n}$ को $\mathbb {C} ^{m},$ फिर मैट्रिक्स ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ के हर्मिटियन सन्निकट से मेल खाता है ${\boldsymbol {A}}$. इस प्रकार हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच आसन्न ऑपरेटरों की अवधारणा को ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में मेट्रिसेस के संयुग्मित स्थानान्तरण के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

एक और सामान्यीकरण उपलब्ध है: मान लीजिए $A$ एक जटिल सदिश स्थान से एक रेखीय नक्शा है $V$ दूसरे करने के लिए, $W$, तब जटिल संयुग्म रैखिक मानचित्र के साथ-साथ एक रैखिक मानचित्र के स्थानान्तरण को परिभाषित किया जाता है, और हम इस प्रकार के संयुग्म स्थानान्तरण को ले सकते हैं $A$ के पारगमन का जटिल संयुग्म होना $A$. यह संयुग्मित दोहरे स्थान को मैप करता है $W$ के संयुग्मी द्वैत के लिए $V$.

यह भी देखें

• जटिल डॉट उत्पाद
• हर्मिटियन संलग्न
• Adjugate मैट्रिक्स

बाहरी संबंध

• "Adjoint matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]