रिज्ज़ ट्रांसफॉर्म

हार्मोनिक विश्लेषण के गणित के सिद्धांत में, रीज़ रूपांतरण हिल्बर्ट के सामान्यीकरण का एक परिवार है जो आयाम d > 1 के यूक्लिडियन अंतरिक्ष स्थान में बदलता है। वे एक प्रकार के एकवचन अभिन्न संचालिका (गणित) हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें मूल में एक विलक्षणता वाले दूसरे फ़ंक्शन के साथ एक फ़ंक्शन के कनवल्शन द्वारा। विशेष रूप से, Riesz R पर एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन ƒ का रूपांतरण करता है^d द्वारा परिभाषित किया गया है

$R_{j}f(x)=c_{d}\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\mathbf {R} ^{d}\backslash B_{\epsilon }(x)}{\frac {(x_{j}-t_{j})f(t)}{|x-t|^{d+1}}}\,dt$

(1)

जे = 1,2,..., डी के लिए। निरंतर सी_d द्वारा दिया गया एक आयामी सामान्यीकरण है

$c_{d}={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}={\frac {\Gamma [(d+1)/2]}{\pi ^{(d+1)/2}}}.$

कहाँ ω_d−1 एक n-गेंद का आयतन है|इकाई का आयतन (d − 1)-गेंद। सीमा को विभिन्न तरीकों से लिखा जाता है, अक्सर कॉची प्रिंसिपल वैल्यू के रूप में, या वितरण (गणित) # टेम्पर्ड डिस्ट्रीब्यूशन और फूरियर ट्रांसफॉर्म के साथ कनवल्शन के रूप में

$K(x)={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}\,p.v.{\frac {x_{j}}{|x|^{d+1}}}.$

संभावित सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण में हार्मोनिक क्षमता के अलग-अलग गुणों के अध्ययन में रीज़ परिवर्तन उत्पन्न होता है। विशेष रूप से, वे Calderón-Zygmund असमानता के प्रमाण में उत्पन्न होते हैं (Gilbarg & Trudinger 1983, §9.4).

गुणक गुण

रीज़ रूपांतरण एक फूरियर गुणक द्वारा दिया जाता है। दरअसल, आर का फूरियर रूपांतरण_jƒ द्वारा दिया गया है

${\mathcal {F}}(R_{j}f)(x)=-i{\frac {x_{j}}{|x|}}({\mathcal {F}}f)(x).$

इस रूप में, रिज़ ट्रांसफ़ॉर्म को हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म के सामान्यीकरण के रूप में देखा जाता है। कर्नेल एक वितरण (गणित) है जो डिग्री शून्य का सजातीय कार्य है। इस अंतिम अवलोकन का एक विशेष परिणाम यह है कि रिज़ ट्रांस्फ़ॉर्म एल से एक सीमित रैखिक ऑपरेटर को परिभाषित करता है²(आर^d) खुद के लिए। इस एकरूपता गुण को फूरियर रूपांतरण की सहायता के बिना भी अधिक प्रत्यक्ष रूप से कहा जा सकता है। यदि σ_s आर पर होमोथेटिक परिवर्तन है^d स्केलर s द्वारा, जो कि σ है_sx = sx, फिर σ_s पुलबैक (अंतर ज्यामिति) के माध्यम से कार्यों पर एक क्रिया को परिभाषित करता है:

$\sigma _{s}^{*}f=f\circ \sigma _{s}.$

रिज्ज़ यात्रा को σ से बदल देता है_s:

$\sigma _{s}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\sigma _{x}^{*}f).$

इसी तरह, रिज्ज़ यात्रा को अनुवाद के साथ बदल देता है। चलो τ_a आर पर अनुवाद हो^d सदिश a के साथ; वह है, τ_a(एक्स) = एक्स + ए। तब

$\tau _{a}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\tau _{a}^{*}f).$

अंतिम संपत्ति के लिए, रिज़ ट्रांस्फ़ॉर्म को एकल वेक्टर (ज्यामितीय) इकाई Rƒ = (R) के रूप में मानना ​​सुविधाजनक है₁ƒ,...,आर_dƒ). R में घूर्णन ρ पर विचार करें^घ. रोटेशन स्थानिक चर पर कार्य करता है, और इस प्रकार पुलबैक के माध्यम से कार्य करता है। लेकिन यह स्थानिक सदिश Rƒ पर भी कार्य कर सकता है। अंतिम परिवर्तन गुण का दावा है कि इन दो क्रियाओं के संबंध में रिज रूपांतरण समान है; वह है,

$\rho ^{*}R_{j}[(\rho ^{-1})^{*}f]=\sum _{k=1}^{d}\rho _{jk}R_{k}f.$

वास्तव में ये तीन विशेषताएँ निम्नलिखित अर्थों में रिज्ज़ रूपांतरण की विशेषता बताती हैं। माना T=(T₁,...,टी_d) एल से घिरे रैखिक ऑपरेटरों का डी-ट्यूपल बनें²(आर^d) से एल²(आर^d) ऐसा कि

• टी सभी फैलाव और अनुवाद के साथ आवागमन करता है।
• T घुमावों के संबंध में समतुल्य है।

फिर, कुछ स्थिर सी के लिए, टी = सीआर।

== लाप्लासियन == के साथ संबंध कुछ हद तक, रिज्ज़ का रूपांतरण $f$ समीकरण के समाधान का पहला आंशिक डेरिवेटिव दें

${(-\Delta )^{\frac {1}{2}}u=f},$

जहां Δ लाप्लासियन है। इस प्रकार रिज का परिवर्तन $f$ के रूप में लिखा जा सकता है:

${Rf=\nabla (-\Delta )^{-{\frac {1}{2}}}f}$

विशेष रूप से, होना भी चाहिए

$R_{i}R_{j}\Delta u=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},$

ताकि रीज़ ट्रांस्फ़ॉर्म किसी फ़ंक्शन के पूरे हेसियन मैट्रिक्स के बारे में केवल उसके लाप्लासियन के ज्ञान से जानकारी पुनर्प्राप्त करने का एक तरीका प्रदान करे।

इसे अब और सटीक बनाया गया है। लगता है कि $u$ एक श्वार्ट्ज समारोह है। फिर वास्तव में फूरियर गुणक के स्पष्ट रूप से, किसी के पास है

$R_{i}R_{j}(\Delta u)=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.$

वितरण (गणित) के अर्थ में पहचान आम तौर पर सही नहीं है। उदाहरण के लिए, अगर$u$एक वितरण है (गणित) # टेम्पर्ड वितरण ऐसा है $\Delta u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})$, तो कोई केवल यह निष्कर्ष निकाल सकता है

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=-R_{i}R_{j}\Delta u+P_{ij}(x)$

कुछ बहुपद के लिए $P_{ij}$.

यह भी देखें

• हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म
• पोइसन कर्नेल
• रिज क्षमता

संदर्भ

• Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, New York: Springer, ISBN 3-540-41160-7.
• Stein, Elias (1970), Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton University Press.
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Arcozzi, N. (1998), Riesz Transform on spheres and compact Lie groups, New York: Springer, doi:10.1007/BF02384766, ISSN 0004-2080, S2CID 119919955.