अनुप्रस्थ द्रव्यमान

अनुप्रस्थ द्रव्यमान कण भौतिकी में उपयोग के लिए परिभाषित करने के लिए एक उपयोगी मात्रा है क्योंकि यह जेड दिशा के साथ लोरेंत्ज़ बूस्ट के तहत अपरिवर्तनीय है। प्राकृतिक इकाइयों में, यह है:

$$m_{T}^{2}=m^{2}+p_{x}^{2}+p_{y}^{2}=E^{2}-p_{z}^{2}$$

• जहां जेड-दिशा बीम पाइप के साथ है और इसी तरह
• $p_{x}$ और $p_{y}$ बीम पाइप के लंबवत गति हैं और
• $m$ (अपरिवर्तनीय) द्रव्यमान है।

अनुप्रस्थ द्रव्यमान की यह परिभाषा (निर्देशित) अनुप्रस्थ ऊर्जा की परिभाषा के साथ प्रयोग की जाती है

$${\vec {E}}_{T}=E{\frac {{\vec {p}}_{T}}{|{\vec {p}}|}}={\frac {E}{\sqrt {E^{2}-m^{2}}}}{\vec {p}}_{T}$$

अनुप्रस्थ गति वेक्टर के साथ ${\vec {p}}_{T}=(p_{x},p_{y})$. यह देखना आसान है कि लुप्त द्रव्यमान के लिए ($m=0$) तीन मात्राएँ समान हैं: $E_{T}=p_{T}=m_{T}$. अनुप्रस्थ द्रव्यमान का उपयोग एक कण के चार-गति के पैरामीटरकरण में तीव्रता, अनुप्रस्थ गति और ध्रुवीय कोण के साथ किया जाता है:

$$(E,p_{x},p_{y},p_{z})=(m_{T}\cosh y,\ p_{T}\cos \phi ,\ p_{T}\sin \phi ,\ m_{T}\sinh y)$$

इन परिभाषाओं का उपयोग करना (विशेष रूप से $E_{T}$) दो कण प्रणाली के द्रव्यमान के लिए देता है:

$M_{ab}^{2}=(p_{a}+p_{b})^{2}=p_{a}^{2}+p_{b}^{2}+2p_{a}p_{b}=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+2(E_{a}E_{b}-{\vec {p}}_{a}\cdot {\vec {p}}_{b})$

$M_{ab}^{2}=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+2\left(E_{T,a}{\frac {\sqrt {p_{a,x}^{2}+p_{a,y}^{2}+p_{a,z}^{2}}}{p_{T,a}}}E_{T,b}{\frac {\sqrt {p_{b,x}^{2}+p_{b,y}^{2}+p_{b,z}^{2}}}{p_{T,b}}}-{\vec {p}}_{T,a}\cdot {\vec {p}}_{T,b}-p_{z,a}p_{z,b}\right)$

$M_{ab}^{2}=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+2\left(E_{T,a}E_{T,b}{\sqrt {1+p_{a,z}^{2}/p_{T,a}^{2}}}{\sqrt {1+p_{b,z}^{2}/p_{T,b}^{2}}}-{\vec {p}}_{T,a}\cdot {\vec {p}}_{T,b}-p_{z,a}p_{z,b}\right)$

इस प्रणाली के अनुप्रस्थ प्रक्षेपण को देखते हुए (सेटिंग द्वारा $p_{a,z}=p_{b,z}=0$) देता है:

$(M_{ab}^{2})_{T}=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+2\left(E_{T,a}E_{T,b}-{\vec {p}}_{T,a}\cdot {\vec {p}}_{T,b}\right)$

ये वे परिभाषाएँ भी हैं जिनका उपयोग सॉफ़्टवेयर पैकेज ROOT द्वारा किया जाता है, जो आमतौर पर उच्च ऊर्जा भौतिकी में उपयोग किया जाता है।

दो-कण प्रणालियों में अनुप्रस्थ द्रव्यमान

दो कणों में क्षय के मामले में हैड्रॉन कोलाइडर भौतिक विज्ञानी अनुप्रस्थ द्रव्यमान (और अनुप्रस्थ ऊर्जा) की एक और परिभाषा का उपयोग करते हैं। इसका उपयोग अक्सर तब किया जाता है जब एक कण का सीधे पता नहीं लगाया जा सकता है लेकिन अनुप्रस्थ ऊर्जा की कमी से ही संकेत मिलता है। उस स्थिति में, कुल ऊर्जा अज्ञात होती है और उपरोक्त परिभाषा का उपयोग नहीं किया जा सकता है।

$M_{T}^{2}=(E_{T,1}+E_{T,2})^{2}-({\vec {p}}_{T,1}+{\vec {p}}_{T,2})^{2}$

कहाँ $E_{T}$ प्रत्येक पुत्री की अनुप्रस्थ ऊर्जा है, एक धनात्मक मात्रा है जिसे इसके वास्तविक अपरिवर्तनीय द्रव्यमान का उपयोग करके परिभाषित किया गया है $m$ जैसा:

$E_{T}^{2}=m^{2}+({\vec {p}}_{T})^{2}$,

जो संयोग से ऊपर दिए गए एकल कण के अनुप्रस्थ द्रव्यमान की परिभाषा है। इन दो परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, एक रूप भी प्राप्त होता है:

$M_{T}^{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2\left(E_{T,1}E_{T,2}-{\vec {p}}_{T,1}\cdot {\vec {p}}_{T,2}\right)$

(लेकिन थोड़ी अलग परिभाषाओं के साथ $E_{T}$!)

जनहीन बेटियों के लिए, कहाँ $m_{1}=m_{2}=0$, हमारे पास फिर से है $E_{T}=p_{T}$, और दो कण प्रणाली का अनुप्रस्थ द्रव्यमान बन जाता है:

$M_{T}^{2}\rightarrow 2E_{T,1}E_{T,2}\left(1-\cos \phi \right)$

कहाँ $\phi$ अनुप्रस्थ तल में पुत्रियों के बीच का कोण है। का वितरण $M_{T}$ अपरिवर्तनीय द्रव्यमान पर एक अंत बिंदु है $M$ सिस्टम के साथ $M_{T}\leq M$. यह निर्धारित करने के लिए प्रयोग किया जाता है $W$ टेवाट्रॉन में द्रव्यमान।

संदर्भ

• J.D. Jackson (2008). "Kinematics" (PDF). Particle Data Group. - See sections 38.5.2 ($m_{T}$) and 38.6.1 ($M_{T}$) for definitions of transverse mass.
• J. Beringer; et al. (Particle Data Group) (2012). "Review of Particle Physics". Physical Review D. 86 (1): 010001. Bibcode:2012PhRvD..86a0001B. doi:10.1103/PhysRevD.86.010001. - See sections 43.5.2 ($m_{T}$) and 43.6.1 ($M_{T}$) for definitions of transverse mass.