अधिसंकुचन प्रतिचित्रण

छवि: निचोड़ r=1.5.svg|thumb|right|आर = 3/2 निचोड़ मानचित्रण रैखिक बीजगणित में, एक 'स्क्वीज़ मैपिंग', जिसे 'स्क्वीज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन' भी कहा जाता है, एक प्रकार का रैखिक मानचित्र है जो कार्टेशियन विमान में क्षेत्रों के यूक्लिडियन क्षेत्र को संरक्षित करता है, लेकिन यह घूर्णन (गणित) या अपरूपण मानचित्रण नहीं है।

एक निश्चित धनात्मक वास्तविक संख्या के लिए $a$ , मैपिंग

(x,y)\mapsto (ax,y/a)

पैरामीटर के साथ निचोड़ मानचित्रण है $a$ . तब से

\{(u,v)\,:\,uv=\mathrm {constant} \}

एक अतिशयोक्ति है, अगर $u = ax$ और $v = y / a$ , तब $uv = xy$ और निचोड़ मानचित्रण की छवि के बिंदु समान अतिपरवलयिक पर हैं $(x, y)$ है। इस कारण से स्क्वीज़ मैपिंग को अतिपरवलयिक घूर्णन के रूप में सोचना स्वाभाविक है, जैसा कि एमिल बोरेल ने 1914 में किया था,^[1] वृत्ताकार घुमावों के अनुरूप, जो वृत्तों को संरक्षित करते हैं।

लघुगणक और अतिपरवलयिक कोण

निचोड़ मानचित्रण लघुगणक की अवधारणा के विकास के लिए चरण निर्धारित करता है। अतिपरवलयिक से घिरे क्षेत्र को खोजने की समस्या (जैसे $xy = 1)$ चतुष्कोण (गणित) में से एक है। 1647 में ग्रेगोइरे डी सेंट-विन्सेंट और अल्फोन्स एंटोनियो डी सरसा द्वारा खोजा गया समाधान, प्राकृतिक लघुगणक समारोह, एक नई अवधारणा की आवश्यकता थी। लघुगणक में कुछ अंतर्दृष्टि अतिपरवलयिक क्षेत्रों के माध्यम से आती है जो अपने क्षेत्र को संरक्षित करते हुए निचोड़ मैपिंग द्वारा अनुमत होते हैं। अतिपरवलयिक क्षेत्र के क्षेत्र को क्षेत्र से जुड़े अतिपरवलयिक कोण के माप के रूप में लिया जाता है। अतिपरवलयिक कोण की अवधारणा कोण से अपेक्षाकृत अधिक स्वतंत्र है, लेकिन इसके साथ निश्चरता की एक संपत्ति साझा करती है: जबकि परिपत्र कोण घूर्णन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, अतिपरवलयिक कोण निचोड़ मानचित्रण के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। परिपत्र और अतिपरवलयिक कोण दोनों अपरिवर्तनीय उपाय उत्पन्न करते हैं लेकिन विभिन्न परिवर्तन समूहों के संबंध में। अतिपरवलयिक कार्य, जो अतिपरवलयिक कोण को तर्क के रूप में लेते हैं, वह भूमिका निभाते हैं जो वृत्ताकार फलन वृत्ताकार कोण तर्क के साथ निभाते हैं।^[2]

समूह सिद्धांत

स्क्वीज़ मैपिंग एक बैंगनी अतिपरवलयिक सेक्टर को समान क्षेत्र वाले दूसरे सेक्टर में ले जाती है।
यह नीले और हरे आयतों को भी निचोड़ता है।

1688 में, सार समूह सिद्धांत से बहुत पहले, यूक्लिड स्पीडेल द्वारा दिन के संदर्भ में निचोड़ मानचित्रण का वर्णन किया गया था: एक वर्ग से और एक सतही पर ओब्लोंग्स की एक अनंत कंपनी, प्रत्येक उस वर्ग के बराबर, एक वक्र कैसे उत्पन्न होता है जो होगा एक समकोण शंकु के भीतर अंकित किसी भी अतिपरवलयिक के समान गुण या स्नेह हैं।^[3]

अगर $r$ और $s$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं, उनके निचोड़ मैपिंग की फलन संरचना उनके उत्पाद की निचोड़ मैपिंग है। इसलिए, निचोड़ मैपिंग का संग्रह धनात्मक वास्तविक संख्याओं के गुणात्मक समूह के लिए एक-पैरामीटर समूह आइसोमोर्फिक बनाता है। इस समूह का एक योगात्मक दृष्टिकोण अतिपरवलयिक क्षेत्रों और उनके अतिपरवलयिक कोणों के विचार से उत्पन्न होता है।

शास्त्रीय समूहों के दृष्टिकोण से, निचोड़ मैपिंग का समूह है $SO + (1,1)$ , द्विघात रूप को संरक्षित करने वाले 2×2 वास्तविक मैट्रिक्स के अनिश्चित ऑर्थोगोनल समूह का पहचान घटक $u 2 - v 2$ . यह फॉर्म को संरक्षित करने के बराबर है $xy$ आधार के परिवर्तन के माध्यम से

x=u+v,\quad y=u-v\,,

और हाइपरबोले को संरक्षित करने के लिए ज्यामितीय रूप से मेल खाता है। अतिपरवलयिक घूर्णन के रूप में निचोड़ मैपिंग के समूह का परिप्रेक्ष्य समूह की व्याख्या करने के समान है $SO(2)$ (निश्चित ऑर्थोगोनल समूह का जुड़ा हुआ घटक) द्विघात रूप को संरक्षित करता है $x 2 + y 2$ गोलाकार घुमाव के रूप में।

ध्यान दें कि $SO +$ अंकन इस तथ्य से मेल खाता है कि प्रतिबिंब

u\mapsto -u,\quad v\mapsto -v

अनुमति नहीं है, हालांकि वे फॉर्म को संरक्षित करते हैं (के संदर्भ में $x$ और $y$ ये $x \mapsto y, y \mapsto x$ और $x \mapsto - x, y \mapsto - y)$ ; अतिरिक्त $+$ अतिपरवलयिक स्थिति में (परिपत्र स्थिति की तुलना में) पहचान घटक को निर्दिष्ट करना आवश्यक है क्योंकि समूह $O(1,1)$ है $4$ जुड़ा हुआ घटक (टोपोलॉजी) , जबकि group $O(2)$ है $2$ अवयव: $SO(1,1)$ है $2$ घटक, जबकि $SO(2)$ में केवल 1 है। तथ्य यह है कि निचोड़ क्षेत्र को संरक्षित करता है और अभिविन्यास उपसमूहों को सम्मिलित करने से मेल खाता है $SO \subset SL$ - इस स्थिति में $SO(1,1) \subset SL(2)$ - ट्रांसफॉर्म संरक्षित क्षेत्र और अभिविन्यास (एक वॉल्यूम फॉर्म) के विशेष रैखिक समूह में अतिपरवलयिक घूर्णन के उपसमूह का। मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन की भाषा में, निचोड़ परिवर्तन एसएल2(आर)#हाइपरबॉलिक तत्व एसएल2(आर)#तत्वों के वर्गीकरण में हैं।

एक ज्यामितीय परिवर्तन को अनुरूप कहा जाता है जब यह कोणों को संरक्षित करता है। अतिपरवलयिक कोण को y = 1/x के अंतर्गत क्षेत्र का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। चूंकि स्क्वीज़ मैपिंग रूपांतरित क्षेत्रों के क्षेत्रों को संरक्षित करती है जैसे अतिपरवलयिक सेक्टर्स, सेक्टरों के कोण माप को संरक्षित किया जाता है। इस प्रकार अतिपरवलयिक कोण को संरक्षित करने के अर्थ में निचोड़ मैपिंग 'अनुरूप' हैं।

अनुप्रयोग

यहाँ कुछ अनुप्रयोगों को ऐतिहासिक संदर्भों के साथ संक्षेपित किया गया है।

आपेक्षिक स्पेसटाइम

यूक्लिडियन ओर्थोगोनालिटी को बाएं आरेख में घुमाकर संरक्षित किया जाता है; अतिपरवलयिक (बी) के संबंध में अतिपरवलयिक ऑर्थोगोनलिटी को सही आरेख में निचोड़ मैपिंग द्वारा संरक्षित किया जाता है

स्पेसटाइम ज्यामिति पारंपरिक रूप से निम्नानुसार विकसित होती है: स्पेसटाइम में यहां और अभी के लिए (0,0) चुनें। इस केंद्रीय घटना के माध्यम से बाएँ और दाएँ प्रकाश दीप्तिमान अंतरिक्ष-समय में दो पंक्तियों को ट्रैक करता है, ऐसी रेखाएँ जिनका उपयोग (0,0) से दूर की घटनाओं को निर्देशांक देने के लिए किया जा सकता है। कम वेग के प्रक्षेपवक्र मूल समयरेखा (0,t) के करीब ट्रैक करते हैं। इस तरह के किसी भी वेग को लोरेंत्ज़ बूस्ट नामक निचोड़ मानचित्रण के अंतर्गत शून्य वेग के रूप में देखा जा सकता है। यह अंतर्दृष्टि स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स संख्या गुणन और विभाजित-जटिल संख्या # विकर्ण आधार के अध्ययन से प्राप्त होती है जो प्रकाश रेखाओं की जोड़ी से मेल खाती है।

औपचारिक रूप से, एक निचोड़ अतिपरवलयिक मीट्रिक को xy के रूप में व्यक्त करता है; एक अलग समन्वय प्रणाली में। सापेक्षता के सिद्धांत में यह आवेदन 1912 में विल्सन और लुईस द्वारा नोट किया गया था,^[4] वर्नर ग्रीब द्वारा,^[5] और लुइस कॉफ़मैन द्वारा।^[6] इसके अतिरिक्त, गुस्ताव हर्ग्लोट्ज़ (1909/10) द्वारा लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के निचोड़ मानचित्रण रूप का उपयोग किया गया था।^[7] बोर्न कठोरता पर चर्चा करते हुए, और वोल्फगैंग रिंडलर द्वारा सापेक्षता पर अपनी पाठ्यपुस्तक में लोकप्रिय किया गया था, जिन्होंने इसे अपनी विशिष्ट संपत्ति के प्रदर्शन में इस्तेमाल किया था।^[8] निचोड़ परिवर्तन शब्द का उपयोग इस संदर्भ में लोरेंत्ज़ समूह को ऑप्टिक्स में जोन्स कैलकुलस से जोड़ने वाले एक लेख में किया गया था।^[9]

कॉर्नर फ्लो

द्रव गतिकी में एक असंपीड्य प्रवाह के मौलिक गतियों में से एक में एक अचल दीवार के ऊपर चलने वाले प्रवाह का द्विभाजन सिद्धांत सम्मिलित होता है। अक्ष y = 0 द्वारा दीवार का प्रतिनिधित्व करना और पैरामीटर r = exp (t) लेना जहां t समय है, फिर एक प्रारंभिक द्रव अवस्था पर लागू पैरामीटर r के साथ निचोड़ मानचित्रण द्विभाजन के साथ एक प्रवाह उत्पन्न करता है और अक्ष x के दाएं और बाएं होता है = 0. समय को पीछे की ओर चलाने पर वही गणितीय मॉडल 'द्रव अभिसरण' देता है। दरअसल, किसी भी अतिपरवलयिक क्षेत्र का क्षेत्र निचोड़ने के अंतर्गत अपरिवर्तनीय (गणित) है।

अतिपरवलयिक स्ट्रीमलाइन्स, स्ट्रीकलाइन्स और पाथलाइन्स के साथ प्रवाह के दूसरे दृष्टिकोण के लिए, देखें Potential flow § Power laws with n = 2.

1989 में ओटिनो^[10] के रूप में रैखिक isochoric द्वि-आयामी प्रवाह का वर्णन किया

v_{1}=Gx_{2}\quad v_{2}=KGx_{1}

जहां K अंतराल [−1, 1] में स्थित है। धाराएँ वक्रों का अनुसरण करती हैं

x_{2}^{2}-Kx_{1}^{2}=\mathrm {constant}

इसलिए ऋणात्मक K एक दीर्घवृत्त और धनात्मक K से अतिपरवलयिक से मेल खाता है, जिसमें K = 1 के अनुरूप निचोड़ मानचित्रण का आयताकार मामला है।

स्टॉकर और होसोई^[11] कोने के प्रवाह के लिए उनके दृष्टिकोण का वर्णन इस प्रकार है:

हम हाइपरबॉलिक निर्देशांक के उपयोग के आधार पर कोने जैसी ज्यामिति के लिए एक वैकल्पिक फॉर्मूलेशन का सुझाव देते हैं, जो पठार सीमा और संलग्न तरल धागे में प्रवाह के निर्धारण की दिशा में पर्याप्त विश्लेषणात्मक प्रगति की अनुमति देता है। हम प्रवाह के एक क्षेत्र पर विचार करते हैं जो π/2 का कोण बनाता है और समरूपता विमानों द्वारा बाईं और नीचे की ओर सीमांकित होता है।

स्टॉकर और होसोई फिर मोफेट को याद करते हैं^[12] एक बड़ी दूरी पर मनमाना गड़बड़ी से प्रेरित कठोर सीमाओं के बीच एक कोने में प्रवाह पर विचार। स्टॉकर और होसोई के अनुसार,

एक वर्गाकार कोने में एक मुक्त तरल पदार्थ के लिए, मोफेट (एंटीसिमेट्रिक) स्ट्रीम फलन ... [इंगित करता है] कि अतिपरवलयिक निर्देशांक वास्तव में इन प्रवाहों का वर्णन करने के लिए प्राकृतिक विकल्प हैं।

पारलौकिक के लिए पुल

स्क्वीज़ मैपिंग की क्षेत्र-संरक्षण संपत्ति में पारलौकिक कार्यों के प्राकृतिक लघुगणक और इसके व्युत्क्रम घातीय कार्य की नींव स्थापित करने में एक अनुप्रयोग है:

परिभाषा: सेक्टर(ए,बी) (ए, 1/ए) और (बी, 1/बी') को केंद्रीय किरणों से प्राप्त अतिपरवलयिक क्षेत्र है। ')।

लेम्मा: यदि बीसी = विज्ञापन, तो एक निचोड़ मानचित्रण है जो सेक्टर(ए,बी) को सेक्टर(सी,डी) में ले जाता है।

प्रमाण: पैरामीटर r = c/a लें ताकि (u,v) = (rx, y/r' ') लेता है (a, 1/a) से (c, 1/c) और (b, 1/b) से (डी, 1/डी)।

प्रमेय (सेंट विंसेंट के ग्रेगरी 1647) यदि बीसी = विज्ञापन, तो अतिपरवलय xy = 1 के स्पर्शोन्मुख के चतुर्भुज में a और के बीच समान क्षेत्र हैं b की तुलना c और d से की गई है।

उपपत्ति: क्षेत्रफल के त्रिभुजों को जोड़ने और घटाने का तर्क 1⁄2, एक त्रिकोण {(0,0), (0,1), (1,1)}, दिखाता है कि अतिपरवलयिक सेक्टर का क्षेत्रफल स्पर्शोन्मुख क्षेत्र के बराबर है। प्रमेय तब लेम्मा से आता है।

प्रमेय (अल्फोन्स एंटोनियो डी सरसा 1649) अंकगणितीय प्रगति में स्पर्शोन्मुख वृद्धि के विरुद्ध मापा गया क्षेत्र, ज्यामितीय अनुक्रम में अनंतस्पर्शी वृद्धि पर अनुमान। इस प्रकार क्षेत्र स्पर्शोन्मुख सूचकांक के लघुगणक का निर्माण करते हैं।

उदाहरण के लिए, एक मानक स्थिति कोण के लिए जो (1, 1) से (x, 1/x) तक चलता है, कोई पूछ सकता है कि अतिपरवलयिक कोण एक के बराबर कब होता है? उत्तर अनुभवातीत संख्या x = e (गणितीय स्थिरांक) है।

आर = ई के साथ एक निचोड़ इकाई कोण को (e, 1/e) और (ee, 1/ee) के बीच एक में ले जाता है जो घटाता है एक क्षेत्र एक क्षेत्र का भी। ज्यामितीय प्रगति

ई, इ², और³, ..., और^एन, ...

क्षेत्रों के प्रत्येक योग के साथ प्राप्त स्पर्शोन्मुख सूचकांक से मेल खाती है

1,2,3, ..., एन,...

जो एक प्रोटो-टिपिकल अंकगणितीय प्रगति A + nd है जहाँ A = 0 और d = 1 है।

झूठ बदलना

निरंतर वक्रता की सतहों पर पियरे ओसियन बोनट (1867) की जांच के बाद, सोफस झूठ (1879) ने एक ज्ञात सतह से नई छद्मगोलीय सतहों को प्राप्त करने का एक तरीका खोजा। ऐसी सतहें साइन-गॉर्डन समीकरण को संतुष्ट करती हैं:

{\frac {d^{2}\Theta }{ds\ d\sigma }}=K\sin \Theta ,

कहाँ $(s,\sigma )$ दो प्रमुख स्पर्शरेखा वक्रों के स्पर्शोन्मुख निर्देशांक हैं और $\Theta$ उनका संबंधित कोण। झूठ ने दिखाया कि अगर $\Theta =f(s,\sigma )$ साइन-गॉर्डन समीकरण का एक समाधान है, तो निम्नलिखित निचोड़ मानचित्रण (अब लाई ट्रांस्फ़ॉर्म के रूप में जाना जाता है^[13] उस समीकरण के अन्य समाधान इंगित करता है:^[14]

\Theta =f\left(ms,\ {\frac {\sigma }{m}}\right).

ले (1883) ने स्यूडोस्फेरिकल सतहों के दो अन्य परिवर्तनों के साथ इसके संबंध को देखा:^[15] बैकलंड ट्रांसफॉर्म (1883 में अल्बर्ट विक्टर बैकलंड द्वारा पेश किया गया) को बिआंची ट्रांसफॉर्म (1879 में लुइगी बियांची द्वारा पेश किया गया) के साथ लाइ ट्रांसफॉर्म के संयोजन के रूप में देखा जा सकता है। गैस्टन डार्बौक्स (1894) द्वारा,^[16] लुइगी बियांची (1894),^[17] या लूथर फाहलर आइजनहार्ट (1909)।^[18] यह ज्ञात है कि लाइट-शंकु निर्देशांक के संदर्भ में लाइ ट्रांसफॉर्म (या निचोड़ मैपिंग) लोरेंत्ज़ बूस्ट के अनुरूप है, जैसा कि टर्नग और उहलेनबेक (2000) द्वारा बताया गया है:^[13]

सोफस ली ने देखा कि SGE [साइनस-गॉर्डन समीकरण] लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। स्पर्शोन्मुख निर्देशांक में, जो प्रकाश शंकु निर्देशांक के अनुरूप है, एक लोरेंत्ज़ परिवर्तन है

(x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)

.

इसे निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

{\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}\\\hline {\begin{aligned}ct'&=ct\gamma -x\beta \gamma &&=ct\cosh \eta -x\sinh \eta \\x'&=-ct\beta \gamma +x\gamma &&=-ct\sinh \eta +x\cosh \eta \end{aligned}}\\\hline u=ct+x,\ v=ct-x,\ k={\sqrt {\tfrac {1+\beta }{1-\beta }}}=e^{\eta }\\u'={\frac {u}{k}},\ v'=kv\\\hline u'v'=uv\end{matrix}}

जहां k बॉन्डी k-कैलकुलस में डॉपलर कारक से मेल खाता है | बॉन्डी k-कैलकुलस, η तेज़ी है।

यह भी देखें

अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह
आइसोकोरिक प्रक्रिया

संदर्भ

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[1] Émile Borel (1914) Introduction Geometrique à quelques Théories Physiques, page 29, Gauthier-Villars, link from Cornell University Historical Math Monographs

[2] Mellen W. Haskell (1895) On the introduction of the notion of hyperbolic functions Bulletin of the American Mathematical Society 1(6):155–9,particularly equation 12, page 159

[3] Euclid Speidell (1688) Logarithmotechnia: the making of numbers called logarithms from Google Books

[4] Edwin Bidwell Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "The space-time manifold of relativity. The non-Euclidean geometry of mechanics and electromagnetics", Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387–507, footnote p. 401

[5] W. H. Greub (1967) Linear Algebra, Springer-Verlag. See pages 272 to 274

[6] Louis Kauffman (1985) "Transformations in Special Relativity", International Journal of Theoretical Physics 24:223–36

[7] Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [Wikisource translation: On bodies that are to be designated as "rigid" from the standpoint of the relativity principle], Annalen der Physik, 336 (2): 408, Bibcode:1910AnP...336..393H, doi:10.1002/andp.19103360208

[8] Wolfgang Rindler, Essential Relativity, equation 29.5 on page 45 of the 1969 edition, or equation 2.17 on page 37 of the 1977 edition, or equation 2.16 on page 52 of the 2001 edition

[9] Daesoo Han, Young Suh Kim & Marilyn E. Noz (1997) "Jones-matrix formalism as a representation of the Lorentz group", Journal of the Optical Society of America A14(9):2290–8

[10] J. M. Ottino (1989) The Kinematics of Mixing: stretching, chaos, transport, page 29, Cambridge University Press

[11] Roman Stocker & A.E. Hosoi (2004) "Corner flow in free liquid films", Journal of Engineering Mathematics 50:267–88

[12] H.K. Moffatt (1964) "Viscous and resistive eddies near a sharp corner", Journal of Fluid Mechanics 18:1–18

[terng-13] 13.0 ^13.1 Terng, C. L., & Uhlenbeck, K. (2000). "सोलिटोन की ज्यामिति" (PDF). Notices of the AMS. 47 (1): 17–25.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[14] Lie, S. (1881) [1879]. "Selbstanzeige: Über Flächen, deren Krümmungsradien durch eine Relation verknüpft sind". Fortschritte der Mathematik. 11: 529–531. Reprinted in Lie's collected papers, Vol. 3, pp. 392–393.

[15] Lie, S. (1884) [1883]. "Untersuchungen über Differentialgleichungen IV". Christ. Forh.. Reprinted in Lie's collected papers, Vol. 3, pp. 556–560.

[16] Darboux, G. (1894). Leçons sur la théorie générale des surfaces. Troisième partie. Paris: Gauthier-Villars. pp. 381–382.

[17] Bianchi, L. (1894). विभेदक ज्यामिति पाठ. Pisa: Enrico Spoerri. pp. 433–434.

[18] Eisenhart, L. P. (1909). घटता और सतहों के विभेदक ज्यामिति पर एक ग्रंथ. Boston: Ginn and Company. pp. 289–290.

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