क्यू-पोछाम्मेर सिंबल

साहचर्य के गणितीय क्षेत्र में, क्यू-पोचममेर चिह्न, जिसे क्यू-शिफ्टेड फैक्टोरियल भी कहा जाता है, उत्पाद होता है

$$(a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}),$$

जहाँ $(a;q)_{0}=1.$यह पोचममेर चिह्न का क्यू-एनालॉग|क्यू-एनालॉग है $(x)_{n}=x(x+1)\dots (x+n-1)$, इस अर्थ में कि

$$\lim _{q\to 1}{\frac {(q^{x};q)_{n}}{(1-q)^{n}}}=(x)_{n}.$$

क्यू-पोचममेर चिह्न क्यू-एनालॉग्स के निर्माण में एक प्रमुख बिल्डिंग ब्लॉक है; उदाहरण के लिए, बुनियादी हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के सिद्धांत में, यह वह भूमिका निभाता है जो साधारण पोचममेर चिह्न सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के सिद्धांत में निभाता है।

साधारण पोचहैमर चिह्न के विपरीत, क्यू-पोचममेर चिह्न को एक अनंत उत्पाद में विस्तारित किया जा सकता है:

$$(a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).$$

यह यूनिट डिस्क के अंदर q के लिए एक विश्लेषणात्मक कार्य है, और इसे q में एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला के रूप में भी माना जा सकता है। विशेष मामला

$$\phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})$$

यूलर के कार्य के रूप में जाना जाता है, और संयोजक, संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर रूप के सिद्धांत में महत्वपूर्ण है।

पहचान

अंतिम उत्पाद अनंत उत्पाद के शब्दों में व्यक्त किया जा सकता है::

$$(a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},$$

जो नकारात्मक पूर्णांक n के लिए परिभाषा को विस्तारित करता है। इस प्रकार, गैर-ऋणात्मक n के लिए, निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं:

$$(a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}$$

और

$$(a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.$$

वैकल्पिक रूप से,

$$\prod _{k=n}^{\infty }(1-aq^{k})=(aq^{n};q)_{\infty }={\frac {(a;q)_{\infty }}{(a;q)_{n}}},$$

जो विभाजन कार्यों के कुछ जनरेटिंग कार्यों के लिए उपयोगी होता है।

क्यू-पोचममेर चिह्न कई क्यू-श्रृंखला पहचानों का विषय है, विशेष रूप से अनंत श्रृंखला विस्तार

$$(x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}$$

और

$${\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}},$$

जो दोनों क्यू-बाइनोमियल सिद्धांत के विशेष मामले हैं

$${\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.$$

फ्रेडरिक कारपेलेविच ने निम्नलिखित पहचान का पता लगाया (सबूत के लिए ओलशनत्स्की and रोगोव (1995) देखें ):

$${\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.$$

मिश्रित व्याख्या

क्यू-पोचममेर चिह्न विभाजनों के ज्ञातिकरणीय संख्यात्मक संगणना से गहराता संबंध रखता है।

$$(a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}$$

$q^{m}a^{n}$ के समकोण में अध्यक्षता के द्वारा, यह m के बहुत से अंशों में विभाजनों की संख्या है? चूँकि विभाजनों के संयुक्तिकरण द्वारा, यह m के n से अधिक नहीं होने वाले अंशों में विभाजनों की संख्या के बराबर होता है, जेनरेटिंग सीरीज की पहचान के द्वारा हम इस तोते को प्राप्त करते हैं

$$(a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}$$

जैसा कि उपरोक्त खंड में है।

हमारे पास वह गुणांक भी है $q^{m}a^{n}$ में

$$(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})$$

यह m के n या n-1 अलग-अलग अंशों में विभाजनों की संख्या है।

इस तरह के एक विभाजन से n − 1 अंशों के साथ एक त्रिकोणीय विभाजन को हटाकर, हम अधिकांश n अंशों वाले एक अनिश्चित विभाजन के साथ छोड़ दिया जाता है। यह n या n − 1 अलग-अलग हिस्सों में विभाजन के सेट और n − 1 अंशों वाले त्रिकोणीय विभाजन वाले जोड़े के सेट और अधिकांश n अंशों वाले विभाजन के बीच एक वजन-संरक्षण आक्षेप देता है। जनरेटिंग सीरीज़ की पहचान करके, यह पहचान की ओर ले जाता है

$$(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}$$

उपरोक्त खंड में भी वर्णित है।फलन का व्युत्क्रम $(q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty }$ उसी तरह से, विभाजन फ़ंक्शन(संख्या सिद्धांत) $p(n)$ के लिए जनरेटिंग कार्य के रूप में उत्पन्न होता है, , जिसे नीचे दिए गए दूसरे दो q-श्रृंखला विस्तारों द्वारा भी विस्तारित किया गया है:

$${\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.$$

q-बाइनोमियल उद्धरण खुद एक थोड़ी और विस्तृत संख्यात्मक तर्क के द्वारा उठाया जा सकता है जो एक इसी प्रकार का स्वाद रखता है (अगले उपखण्ड में दिए गए विस्तारों को देखें)।

इसी तरह,

$$(q;q)_{\infty }=1-\sum _{n\geq 0}q^{n+1}(q;q)_{n}=\sum _{n\geq 0}q^{\frac {n(n+1)}{2}}{\frac {(-1)^{n}}{(q;q)_{n}}}.$$

एकाधिक तर्क सम्मेलन

चूंकि q-पोचहैमर चिह्नों से संबंधित पहचान में अक्सर कई चिह्नों के उत्पाद शामिल होते हैं, मानक सम्मेलन एक उत्पाद को कई तर्कों के एकल चिह्न के रूप में लिखना है:

$$(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.$$

क्यू-श्रृंखला

एक क्यू-श्रृंखला एक श्रृंखला (गणित) है जिसमें गुणांक क्यू के कार्य होते हैं, आमतौर पर अभिव्यक्ति $(a;q)_{n}$. प्रारंभिक परिणाम यूलर, गॉस और कॉची के कारण हैं। व्यवस्थित अध्ययन एडवर्ड हेन (1843) के साथ शुरू होता है।

अन्य क्यू-फ़ंक्शंस से संबंध

n का q-एनालॉग, जिसे n का 'q-ब्रैकेट' या 'q-संख्या' भी कहा जाता है, को परिभाषित किया गया है

$$[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$$

इससे कारख़ाने का के क्यू-एनालॉग को 'क्यू-फैक्टोरियल' के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$$[n]!_{q}=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}.$$

इसे कई समकक्ष तरीकों से फिर से लिखा जा सकता है, जिसमें शामिल हैं ${\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}$, $1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1})$, और ${\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.$ ये संख्याएँ इस अर्थ में अनुरूप हैं

 
$$\lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}=n,$$

और इसलिए भी

$$\lim _{q\rightarrow 1}[n]!_{q}=n!.$$

सीमा मूल्य n! एक एन-तत्व सेट एस के क्रमपरिवर्तन की गणना करता है। समान रूप से, यह नेस्टेड सेट के अनुक्रमों की संख्या की गणना करता है $E_{1}\subset E_{2}\subset \cdots \subset E_{n}=S$ ऐसा है कि $E_{i}$ बिल्कुल i तत्व शामिल हैं। तुलनात्मक रूप से, जब q एक प्रमुख शक्ति है और V q तत्वों वाले क्षेत्र पर एक n-आयामी सदिश स्थान है, तो q-एनालॉग $[n]!_{q}$ वी में पूर्ण झंडों की संख्या है, अर्थात यह अनुक्रमों की संख्या है $V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V$ उप-स्थानों की जैसे कि $V_{i}$ आयाम i है। पूर्ववर्ती विचारों से पता चलता है कि एक नेस्टेड सेट के अनुक्रम को एक तत्व के साथ अनुमानित क्षेत्र पर ध्वज के रूप में माना जा सकता है।

ऋणात्मक पूर्णांक q-कोष्ठकों के गुणनफल को q-फैक्टोरियल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$\prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]!_{q}}{q^{n(n+1)/2}}}$$

क्यू-फैक्टोरियल्स से, कोई क्यू-बिनोमियल गुणांक परिभाषित करने के लिए आगे बढ़ सकता है, जिसे गौसियन द्विपद गुणांक के रूप में भी जाना जाता है, जैसा कि

$${\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[n-k]!_{q}[k]!_{q}}},$$

जहाँ यह देखना आसान है कि इन गुणांकों का त्रिभुज इस अर्थ में सममित है ${\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}$ सभी के लिए $0\leq m\leq n$.

कोई इसकी जांच कर सकता है

$${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}$$

कोई भी पिछले पुनरावृत्ति संबंधों से यह भी देख सकता है कि अगले संस्करण $q$इन गुणांकों के संदर्भ में द्विपद प्रमेय का विस्तार इस प्रकार है:

$${\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}$$

आगे q-बहुपद गुणांकों को परिभाषित किया जा सकता है

$${\begin{bmatrix}n\\k_{1},\ldots ,k_{m}\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[k_{1}]!_{q}\cdots [k_{m}]!_{q}}},$$

जहां तर्क $k_{1},\ldots ,k_{m}$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं जो संतुष्ट करते हैं $\sum _{i=1}^{m}k_{i}=n$. उपरोक्त गुणांक झंडे की संख्या की गणना करता है $V_{1}\subset \dots \subset V_{m}$ क्यू तत्वों के साथ क्षेत्र पर एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष में उप-स्थानों की संख्या $\dim V_{i}=\sum _{j=1}^{i}k_{j}$.

सीमा $q\to 1$ सामान्य बहुराष्ट्रीय गुणांक देता है ${n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}$, जो शब्दों को अलग-अलग चिह्नों में गिनता है $\{s_{1},\dots ,s_{m}\}$ ऐसा है कि प्रत्येक $s_{i}$ दिखाई पड़ना $k_{i}$ बार।

एक व्यक्ति गामा फलन का क्यू-एनालॉग भी प्राप्त करता है, जिसे 'क्यू-गामा फलन' कहा जाता है, और इसे इस रूप में परिभाषित किया जाता है

$$\Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}$$

यह सामान्य गामा कार्य में परिवर्तित हो जाता है क्योंकि क्यू यूनिट डिस्क के अंदर से 1 तक पहुंचता है। ध्यान दें कि

$$\Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)$$

किसी भी एक्स और के लिए

$$\Gamma _{q}(n+1)=[n]!_{q}$$

एन के गैर-नकारात्मक पूर्णांक मानों के लिए। वैकल्पिक रूप से, इसे वास्तविक संख्या प्रणाली में क्यू-फैक्टोरियल कार्य के विस्तार के रूप में लिया जा सकता है।

यह भी देखें

• बुनियादी हाइपरज्यामितीय श्रृंखला
• अण्डाकार गामा समारोह
• थीटा समारोह
• लैम्बर्ट श्रृंखला
• पंचकोणीय संख्या प्रमेय
• क्यू-व्युत्पन्न|क्यू-व्युत्पन्न
• क्यू-थीटा कार्य | क्यू-थीटा कार्य
• q-वंडरमोंडे की पहचान|q-वंडरमोंडे की पहचान
• रोजर्स-रामानुजन पहचान
• रोजर्स-रामानुजन ने अंश जारी रखा

संदर्भ

• George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
• Roelof Koekoek and Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, section 0.2.
• Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
• M.A. Olshanetsky and V.B.K. Rogov (1995), The Modified q-Bessel Functions and the q-Bessel-Macdonald Functions, arXiv:q-alg/9509013.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "q-Analog". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "q-Bracket". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "q-Factorial". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "q-Series". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "q-Binomial Coefficient". MathWorld.