औसत वक्रता

गणित में, माध्य वक्रता $H$ सतह का (गणित) $S$ वक्रता का एक बाहरी माप है जो विभेदक ज्यामिति से आता है और जो स्थानीय रूप से यूक्लिडियन अंतरिक्ष जैसे कुछ परिवेशी स्थान में एक एम्बेडिंग सतह की वक्रता का वर्णन करता है।

अवधारणा का उपयोग सोफी जर्मेन ने लोच सिद्धांत पर अपने काम में किया था। जीन बैप्टिस्ट मैरी मेसनियर ने न्यूनतम सतहों के अपने अध्ययन में 1776 में इसका उपयोग किया था। न्यूनतम सतहों के विश्लेषण में यह महत्वपूर्ण है, जिसका औसत वक्रता शून्य है, और तरल पदार्थ (जैसे साबुन फिल्मों) के बीच भौतिक अंतरापृष्ठ के विश्लेषण में, उदाहरण के लिए, युवा-लाप्लास समीकरण द्वारा स्थिर प्रवाह में निरंतर माध्य वक्रता है .

परिभाषा

मान लीजिए $p$ त्रिविमीय यूक्लिडियन अंतरिक्ष R³के अंदर सतह $S$ पर एक बिंदु है| $p$ के माध्यम से $S$ के लिए सामान्य रेखा वाले प्रत्येक विमान $S$ वक्र में $S$ को काटता है । इकाई सामान्य के विकल्प को ठीक करने से उस वक्र को एक हस्ताक्षरित वक्रता मिलती है। जैसे विमान को एक कोण $\theta$ से घुमाया जाता है (सदैव सामान्य रेखा युक्त) कि वक्रता भिन्न हो सकती है। मैक्सिमा और मिनिमा वक्रता $\kappa _{1}$ और मैक्सिमा और मिनिमा वक्रता $\kappa _{2}$ को $S$ की मुख्य वक्रता के रूप में जाना जाता है

$p\in S$ पर माध्य वक्रता तब सभी कोणों $\theta$ पर चिन्हित वक्रता का औसत है

$H={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\kappa (\theta )\;d\theta$.

यूलर के प्रमेय को प्रयुक्त करने से यह मुख्य वक्रता के औसत के सामान्य है (स्पिवक 1999, खंड 3, अध्याय 2):

$H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2}).$

अधिक सामान्यतः (स्पिवक 1999, खंड 4, अध्याय 7), ऊनविम पृष्ठ के लिए $T$ औसत वक्रता के रूप में दिया गया है

$H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}.$

अधिक संक्षेप में, औसत वक्रता एन (या समकक्ष, आकार ऑपरेटर) द्वारा विभाजित दूसरे मौलिक रूप का निशान है।

इसके अतिरिक्त, औसत वक्रता $H$ सहपरिवर्ती व्युत्पन्न के संदर्भ में लिखा जा सकता है $\nabla$ जैसा

$H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X,$

गॉस-वेनगार्टन संबंधों का उपयोग करते हुए, जहाँ $X(x)$ एक सुचारू रूप से एम्बेडेड हाइपरसफेस है, ${\vec {n}}$ एक इकाई सामान्य वेक्टर, और $g_{ij}$ मीट्रिक टेंसर।

एक सतह एक न्यूनतम सतह है अगर और केवल अगर औसत वक्रता शून्य है। इसके अतिरिक्त , एक सतह जो सतह $S$ के औसत वक्रता के तहत विकसित होती है, को ऊष्मा समीकरण का पालन करने के लिए कहा जाता है। ऊष्मा-प्रकार के समीकरण को औसत वक्रता प्रवाह समीकरण कहा जाता है।

गोला बिना किसी सीमा या विलक्षणता के निरंतर सकारात्मक माध्य वक्रता की एकमात्र एम्बेडेड सतह है। किंतु, परिणाम सही नहीं है जब स्थिति एम्बेडेड सतह को विसर्जित सतह से अशक्त कर दिया जाता है।

3डी अंतरिक्ष में सतहें

3डी अंतरिक्ष में परिभाषित सतह के लिए, औसत वक्रता सतह के सामान्य इकाई सतह से संबंधित है:

$2H=-\nabla \cdot {\hat {n}}$

जहां सामान्य चुना वक्रता के चिह्न को प्रभावित करता है। वक्रता का संकेत सामान्य की पसंद पर निर्भर करता है: यदि सतह सामान्य की ओर झुकती है तो वक्रता सकारात्मक होती है। उपरोक्त सूत्र 3डी अंतरिक्ष में सतहों के लिए किसी भी तरह से परिभाषित है, जब तक इकाई सामान्य के विचलन की गणना की जा सकती है। माध्य वक्रता की गणना भी की जा सकती है

$2H={\text{Trace}}((\mathrm {II} )(\mathrm {I} ^{-1}))$

जहाँ I और II क्रमशः पहले और दूसरे द्विघात रूप मैट्रिसेस को दर्शाते हैं।

अगर $S(x,y)$ सतह का एक पैरामीट्रिजेशन है और $u,v$ पैरामीटर स्पेस में दो रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर हैं तो माध्य वक्रता को पहले मौलिक रूप और दूसरे मौलिक रूपों के रूप में लिखा जा सकता है

$${\frac {lG-2mF+nE}{2(EG-F^{2})}}$$

जहाँ $E=\mathrm {I} (u,u)$, $F=\mathrm {I} (u,v)$, $G=\mathrm {I} (v,v)$, $l=\mathrm {II} (u,u)$, $m=\mathrm {II} (u,v)$, $n=\mathrm {II} (v,v)$.

सतह के विशेष स्थिति के लिए दो निर्देशांकों के कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है, उदा। $z=S(x,y)$, और ऊपर की ओर संकेत करते हुए सामान्य (दोगुना) औसत वक्रता अभिव्यक्ति है

${\begin{aligned}2H&=-\nabla \cdot \left({\frac {\nabla (z-S)}{|\nabla (z-S)|}}\right)\\&=\nabla \cdot \left({\frac {\nabla S-\nabla z}{\sqrt {1+|\nabla S|^{2}}}}\right)\\&={\frac {\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}.\end{aligned}}$

विशेष रूप से एक बिंदु पर जहां $\nabla S=0$, औसत वक्रता $S$ के हेस्सियन आव्यूह का आधा निशान है .

यदि सतह को अतिरिक्त रूप से $z=S(r)$ अक्षीय के साथ जाना जाता है,

$2H={\frac {\frac {\partial ^{2}S}{\partial r^{2}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}+{\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{1/2}}},$

जहाँ ${\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r}}$ के व्युत्पन्न से आता है ${\textstyle z=S(r)=S\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$.

माध्य वक्रता का निहित रूप

एक समीकरण $F(x,y,z)=0$ द्वारा निर्दिष्ट सतह का औसत वक्रता ग्रेडिएंट का उपयोग करके गणना की जा सकती है $\nabla F=\left({\frac {\partial F}{\partial x}},{\frac {\partial F}{\partial y}},{\frac {\partial F}{\partial z}}\right)$ और हेसियन आव्यूह

$\textstyle {\mbox{Hess}}(F)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}\end{pmatrix}}.$

औसत वक्रता द्वारा दिया गया है:

$H={\frac {\nabla F\ {\mbox{Hess}}(F)\ \nabla F^{\mathsf {T}}-|\nabla F|^{2}\,{\text{Trace}}({\mbox{Hess}}(F))}{2|\nabla F|^{3}}}$

एक अन्य रूप सामान्य इकाई के विचलन के रूप में है। एक इकाई सामान्य ${\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}$ द्वारा दिया जाता है और माध्य वक्रता $H=-{\frac {1}{2}}\nabla \cdot \left({\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}\right).$है

द्रव यांत्रिकी में औसत वक्रता

दो के कारकों से बचने के लिए कभी-कभी द्रव यांत्रिकी में एक वैकल्पिक परिभाषा का उपयोग किया जाता है:

$H_{f}=(\kappa _{1}+\kappa _{2})\,$.

इसका परिणाम यंग-लैपलेस समीकरण के अनुसार एक समतोल गोलाकार बूंद के अंदर सतह तनाव के समय $H_{f}$ के दबाव में होता है ; दो वक्रताएँ छोटी बूंद की त्रिज्या के व्युत्क्रम के सामान्य होती हैं

$\kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}\,$.

न्यूनतम सतह

कोस्टा की न्यूनतम सतह का प्रतिपादन।

Main article: न्यूनतम सतह

एक न्यूनतम सतह एक ऐसी सतह होती है जिसके सभी बिंदुओं पर शून्य औसत वक्रता होती है। क्लासिक उदाहरणों में कैटेनॉइड, घुमावदार और एननेपर सतह सम्मिलित हैं। वर्तमान की खोजों में कोस्टा की न्यूनतम सतह और जाइरोइड सम्मिलित हैं।

सीएमसी सतहों

Main article: लगातार-माध्य-वक्रता सतह

एक न्यूनतम सतह के विचार का विस्तार निरंतर माध्य वक्रता की सतहें हैं। अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान में इकाई स्थिर औसत वक्रता की सतहों को ब्रायंट सतह कहा जाता है।

यह भी देखें

• गॉसियन वक्रता
• औसत वक्रता प्रवाह
• व्युत्क्रम माध्य वक्रता प्रवाह
• क्षेत्र सूत्र की पहली भिन्नता
• तनी हुई ग्रिड विधि

संदर्भ

• Spivak, Michael (1999), A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4) (3rd ed.), Publish or Perish Press, ISBN 978-0-914098-72-0, (Volume 3), (Volume 4).
• P.Grinfeld (2014). Introduction to Tensor Analysis and the Calculus of Moving Surfaces. Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.