अनुप्रस्थ द्रव्यमान

अनुप्रस्थ द्रव्यमान कण भौतिकी में उपयोग के लिए परिभाषित करने के लिए एक उपयोगी राशि है क्योंकि यह z दिशा के साथ लोरेंत्ज़ अभिवर्धन के अंर्तगत अपरिवर्तनीय है। प्राकृतिक इकाइयों में, यह है:

$$m_{T}^{2}=m^{2}+p_{x}^{2}+p_{y}^{2}=E^{2}-p_{z}^{2}$$

• जहां z-दिशा किरण नलिका के साथ है और इसी तरह
• $p_{x}$ और $p_{y}$ किरण नलिका के लंबवत संवेग हैं और
• $m$ (अपरिवर्तनीय) द्रव्यमान है।

अनुप्रस्थ द्रव्यमान की यह परिभाषा (निर्देशित) अनुप्रस्थ ऊर्जा की परिभाषा के साथ प्रयोग की जाती है

$${\vec {E}}_{T}=E{\frac {{\vec {p}}_{T}}{|{\vec {p}}|}}={\frac {E}{\sqrt {E^{2}-m^{2}}}}{\vec {p}}_{T}$$

अनुप्रस्थ संवेग सदिश ${\vec {p}}_{T}=(p_{x},p_{y})$ के साथ यह देखना आसान है कि लुप्त द्रव्यमान के लिए ($m=0$) तीन राशियाँ $E_{T}=p_{T}=m_{T}$ समान हैं, अनुप्रस्थ द्रव्यमान का उपयोग एक कण के चार-संवेग के पैरामीटरकरण में तीव्रता, अनुप्रस्थ गति और ध्रुवीय कोण के साथ किया जाता है:

$$(E,p_{x},p_{y},p_{z})=(m_{T}\cosh y,\ p_{T}\cos \phi ,\ p_{T}\sin \phi ,\ m_{T}\sinh y)$$

इन परिभाषाओं का उपयोग करना (विशेष रूप से $E_{T}$) दो कण प्रणाली के द्रव्यमान के लिए देता है:

$M_{ab}^{2}=(p_{a}+p_{b})^{2}=p_{a}^{2}+p_{b}^{2}+2p_{a}p_{b}=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+2(E_{a}E_{b}-{\vec {p}}_{a}\cdot {\vec {p}}_{b})$

$M_{ab}^{2}=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+2\left(E_{T,a}{\frac {\sqrt {p_{a,x}^{2}+p_{a,y}^{2}+p_{a,z}^{2}}}{p_{T,a}}}E_{T,b}{\frac {\sqrt {p_{b,x}^{2}+p_{b,y}^{2}+p_{b,z}^{2}}}{p_{T,b}}}-{\vec {p}}_{T,a}\cdot {\vec {p}}_{T,b}-p_{z,a}p_{z,b}\right)$

$M_{ab}^{2}=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+2\left(E_{T,a}E_{T,b}{\sqrt {1+p_{a,z}^{2}/p_{T,a}^{2}}}{\sqrt {1+p_{b,z}^{2}/p_{T,b}^{2}}}-{\vec {p}}_{T,a}\cdot {\vec {p}}_{T,b}-p_{z,a}p_{z,b}\right)$

इस प्रणाली के अनुप्रस्थ प्रक्षेपण को देखते हुए ( समायोजन $p_{a,z}=p_{b,z}=0$ द्वारा) देता है:

$(M_{ab}^{2})_{T}=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+2\left(E_{T,a}E_{T,b}-{\vec {p}}_{T,a}\cdot {\vec {p}}_{T,b}\right)$

ये वे परिभाषाएँ भी हैं जिनका उपयोग सॉफ्टवेयर पैकेज रूट द्वारा किया जाता है, जो सामान्य रूप से उच्च ऊर्जा भौतिकी में उपयोग किया जाता है।

दो-कण प्रणालियों में अनुप्रस्थ द्रव्यमान

दो कणों में क्षय की स्थिति में हैड्रॉन (महदणु) कोलाइडर भौतिक विज्ञानी अनुप्रस्थ द्रव्यमान (और अनुप्रस्थ ऊर्जा) की एक अन्य परिभाषा का उपयोग करते हैं। इसका उपयोग प्रायः तब किया जाता है जब एक कण का प्रत्यक्ष रूप से पता नहीं लगाया जा सकता है लेकिन अनुप्रस्थ ऊर्जा की कमी से ही संकेत मिलता है। उस स्थिति में, कुल ऊर्जा अज्ञात होती है और उपरोक्त परिभाषा का उपयोग नहीं किया जा सकता है।

$M_{T}^{2}=(E_{T,1}+E_{T,2})^{2}-({\vec {p}}_{T,1}+{\vec {p}}_{T,2})^{2}$

जहां $E_{T}$ प्रत्येक विघटनज की अनुप्रस्थ ऊर्जा है, और धनात्मक राशि है जिसे इसके वास्तविक अपरिवर्तनीय द्रव्यमान $m$ का उपयोग करके परिभाषित किया गया है जैसे कि:

$E_{T}^{2}=m^{2}+({\vec {p}}_{T})^{2}$,

जो संयोग से ऊपर दिए गए एकल कण के अनुप्रस्थ द्रव्यमान की परिभाषा है। इन दो परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, एक अभिरूप भी प्राप्त होता है:

$M_{T}^{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2\left(E_{T,1}E_{T,2}-{\vec {p}}_{T,1}\cdot {\vec {p}}_{T,2}\right)$

(लेकिन $E_{T}$! के लिए अल्प भिन्न परिभाषाओं के साथ)

द्रव्यमानहीन विघटज के लिए, जहां $m_{1}=m_{2}=0$,हमारे पास पुनः $E_{T}=p_{T}$ है, और दो कण प्रणाली का अनुप्रस्थ द्रव्यमान बन जाता है:

$M_{T}^{2}\rightarrow 2E_{T,1}E_{T,2}\left(1-\cos \phi \right)$

जहां $\phi$ अनुप्रस्थ तल में विघटज के बीच का कोण है। $M_{T}$ के वितरण का $M_{T}\leq M$ के साथ प्रणाली के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान $M$ पर एक अंतिम-बिंदु है। इसका उपयोग टेवाट्रॉन में $W$ द्रव्यमान को निर्धारित करने के लिए किया गया है।।

संदर्भ

• J.D. Jackson (2008). "Kinematics" (PDF). Particle Data Group. - See sections 38.5.2 ($m_{T}$) and 38.6.1 ($M_{T}$) for definitions of transverse mass.
• J. Beringer; et al. (Particle Data Group) (2012). "Review of Particle Physics". Physical Review D. 86 (1): 010001. Bibcode:2012PhRvD..86a0001B. doi:10.1103/PhysRevD.86.010001. - See sections 43.5.2 ($m_{T}$) and 43.6.1 ($M_{T}$) for definitions of transverse mass.