ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय

अंतर टोपोलॉजी में, फ्रांस के गणितज्ञ रेने थॉम के बाद ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय, जिसे थॉम ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, एक प्रमुख परिणाम है जो चिकने नक्शों के चिकने परिवार के अनुप्रस्थ प्रतिच्छेदन गुणों का वर्णन करता है। यह कहता है कि ट्रांसवर्सलिटी (गणित) एक सामान्य संपत्ति है: कोई भी चिकना नक्शा $f\colon X\rightarrow Y$, एक मनमाना छोटी राशि द्वारा एक मानचित्र में विकृत किया जा सकता है जो किसी दिए गए सबमनीफोल्ड के अनुप्रस्थ है $Z\subseteq Y$. थॉम स्पेस | पोंट्रीगिन-थॉम निर्माण के साथ, यह सह-बोर्डवाद सिद्धांत का तकनीकी दिल है, और सर्जरी सिद्धांत के लिए शुरुआती बिंदु है। ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय का परिमित-आयामी संस्करण भी एक संपत्ति की सामान्यता स्थापित करने के लिए एक बहुत ही उपयोगी उपकरण है जो वास्तविक मापदंडों की एक सीमित संख्या पर निर्भर है और जो गैर-रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय के अनंत-आयामी संस्करण का उपयोग करके इसे एक अनंत-आयामी पैरामीट्रिजेशन तक बढ़ाया जा सकता है।

परिमित-आयामी संस्करण

पिछली परिभाषाएँ

होने देना $f\colon X\rightarrow Y$ चिकने मैनिफोल्ड के बीच एक चिकना नक्शा बनें, और जाने दें $Z$ का सबमेनफोल्ड हो $Y$. हम कहते हैं $f$ के अनुप्रस्थ है $Z$, इस रूप में घोषित किया गया $f\pitchfork Z$, यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए $x\in f^{-1}\left(Z\right)$ हमारे पास वह है

$\operatorname {im} \left(df_{x}\right)+T_{f\left(x\right)}Z=T_{f\left(x\right)}Y$.

ट्रांसवर्सलिटी के बारे में एक महत्वपूर्ण परिणाम बताता है कि यदि एक सुगम मानचित्र $f$ के अनुप्रस्थ है $Z$, तब $f^{-1}\left(Z\right)$ का एक नियमित सबमेनिफोल्ड है $X$.

अगर $X$ एक कई गुना # कई गुना_साथ_सीमा है, तो हम मानचित्र के प्रतिबंध को परिभाषित कर सकते हैं $f$ सीमा तक, जैसा $\partial f\colon \partial X\rightarrow Y$. वो नक्शा $\partial f$ सहज है, और यह हमें पिछले परिणाम का विस्तार करने की अनुमति देता है: यदि दोनों $f\pitchfork Z$ और $\partial f\pitchfork Z$, तब $f^{-1}\left(Z\right)$ का एक नियमित सबमेनिफोल्ड है $X$ सीमा के साथ, और

$\partial f^{-1}\left(Z\right)=f^{-1}\left(Z\right)\cap \partial X$.

पैरामीट्रिक ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय

मानचित्र पर विचार करें $F\colon X\times S\rightarrow Y$ और परिभाषित करें $f_{s}\left(x\right)=F\left(x,s\right)$. यह मैपिंग का एक परिवार उत्पन्न करता है $f_{s}\colon X\rightarrow Y$. हमें आवश्यकता है कि परिवार मानकर सुचारू रूप से भिन्न हो $S$ एक (चिकनी) कई गुना होना और $F$ चिकना होना।

पैरामीट्रिक ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय का कथन है:

लगता है कि $F\colon X\times S\rightarrow Y$ कई गुना का एक चिकना नक्शा है, जहाँ केवल $X$ सीमा है, और चलो $Z$ का कोई सबमेनफोल्ड हो $Y$ बिना सीमा के। अगर दोनों $F$ और $\partial F$ के अनुप्रस्थ हैं $Z$, तो लगभग हर के लिए $s\in S$, दोनों $f_{s}$ और $\partial f_{s}$ के अनुप्रस्थ हैं $Z$.

अधिक सामान्य ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय

उपरोक्त पैरामीट्रिक ट्रांसवर्सेलिटी प्रमेय कई प्राथमिक अनुप्रयोगों के लिए पर्याप्त है (गिलेमिन और पोलैक द्वारा पुस्तक देखें)।

अधिक शक्तिशाली कथन हैं (सामूहिक रूप से ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय के रूप में जाने जाते हैं) जो पैरामीट्रिक ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय को लागू करते हैं और अधिक उन्नत अनुप्रयोगों के लिए आवश्यक हैं।

अनौपचारिक रूप से, ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय कहता है कि मैपिंग का सेट जो किसी दिए गए सबमनीफोल्ड के लिए अनुप्रस्थ है, एक घना खुला है (या, कुछ मामलों में, केवल एक घना $G_{\delta }$) मैपिंग के सेट का सबसेट। इस तरह के एक बयान को सटीक बनाने के लिए, मैपिंग के विचाराधीन स्थान को परिभाषित करना आवश्यक है, और इसमें टोपोलॉजी क्या है। कई संभावनाएं हैं; हिर्श की पुस्तक देखें।

आमतौर पर थॉम्स ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय द्वारा जो समझा जाता है वह जेट (गणित) ट्रांसवर्सलिटी के बारे में एक अधिक शक्तिशाली कथन है। हिर्श और गोलूबिट्स्की और गुइलेमिन की पुस्तकें देखें। मूल संदर्भ थॉम, बोल है। समाज। चटाई। मेक्सिकाना (2) 1 (1956), पीपी। 59-71।

जॉन माथेर (गणितज्ञ) ने 1970 के दशक में जेट_(गणित)#मल्टीजेट ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय नामक एक और भी सामान्य परिणाम को सिद्ध किया। गोलूबित्सकी और गुइलेमिन की पुस्तक देखें।

अनंत-आयामी संस्करण

ट्रांसवर्सलिटी प्रमेय का अनंत-आयामी संस्करण इस बात को ध्यान में रखता है कि मैनिफोल्ड्स को बनच स्पेस में मॉडल किया जा सकता है।

औपचारिक बयान

कल्पना करना $F:X\times S\to Y$ एक है $C^{k}$ का नक्शा $C^{\infty }$-बनाच कई गुना। मान लीजिए:

(मैं) $X,S$ और $Y$ खाली नहीं हैं, मेट्रिजेबल हैं $C^{\infty }$-बानाच एक क्षेत्र में चार्ट रिक्त स्थान के साथ कई गुना $\mathbb {K} .$

(द्वितीय) $C^{k}$वें>-नक्शा $F:X\times S\to Y$ साथ $k\geq 1$ है $y$ एक नियमित मूल्य के रूप में।

(iii) प्रत्येक पैरामीटर के लिए $s\in S$, वो नक्शा $f_{s}(x)=F(x,s)$ एक फ्रेडहोम ऑपरेटर है, जहाँ $\operatorname {ind} Df_{s}(x)<k$ हरएक के लिए $x\in f_{s}^{-1}(\{y\}).$

(iv) अभिसरण $s_{n}\to s$ पर $S$ जैसा $n\to \infty$ और $F(x_{n},s_{n})=y$ सभी के लिए $n$ एक अभिसरण अनुक्रम के अस्तित्व का तात्पर्य है $x_{n}\to x$ जैसा $n\to \infty$ साथ $x\in X.$

अगर (i)-(iv) होल्ड करें, तो एक खुला, सघन उपसमुच्चय मौजूद है $S_{0}\subset S$ ऐसा है कि $y$ का नियमित मान है $f_{s}$ प्रत्येक पैरामीटर के लिए $s\in S_{0}.$ अब, एक तत्व को ठीक करें $s\in S_{0}.$ यदि कोई संख्या मौजूद है $n\geq 0$ साथ $\operatorname {ind} Df_{s}(x)=n$ सभी समाधान के लिए $x\in X$ का $f_{s}(x)=y$, फिर समाधान सेट $f_{s}^{-1}(\{y\})$ एक के होते हैं $n$आयामी $C^{k}$-बनाच कई गुना या समाधान सेट खाली है।

ध्यान दें कि अगर $\operatorname {ind} Df_{s}(x)=0$ के सभी समाधान के लिए $f_{s}(x)=y,$ तो वहाँ एक खुला सघन उपसमुच्चय मौजूद है $S_{0}$ का $S$ जैसे कि प्रत्येक निश्चित पैरामीटर के लिए अधिक से अधिक सूक्ष्म रूप से कई समाधान हैं $s\in S_{0}.$ इसके अलावा, ये सभी समाधान नियमित हैं।

संदर्भ

• Arnold, Vladimir I. (1988). Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations. Springer. ISBN 0-387-96649-8.
• Golubitsky, Martin; Guillemin, Victor (1974). Stable Mappings and Their Singularities. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90073-X.
• Guillemin, Victor; Pollack, Alan (1974). Differential Topology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-212605-2.
• Hirsch, Morris W. (1976). Differential Topology. Springer. ISBN 0-387-90148-5.
• Thom, René (1954). "Quelques propriétés globales des variétés differentiables". Commentarii Mathematici Helvetici. 28 (1): 17–86. doi:10.1007/BF02566923.
• Thom, René (1956). "Un lemme sur les applications différentiables". Bol. Soc. Mat. Mexicana. 2 (1): 59–71.
• Zeidler, Eberhard (1997). Nonlinear Functional Analysis and Its Applications: Part 4: Applications to Mathematical Physics. Springer. ISBN 0-387-96499-1.