कप उत्पाद

गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय टोपोलॉजी में, कप उत्पाद डिग्री p और q के दो चक्रों को जोड़ने की एक विधि है, जिससे डिग्री p + q का एक समग्र चक्र बनता है। यह कोहोलॉजी में एक सहयोगी (और वितरण) ग्रेडेड कम्यूटेटिव उत्पाद संचालन को परिभाषित करता है, एक अंतरिक्ष एक्स के कोहोलॉजी को ग्रेडेड रिंग एच में बदल देता है।^∗(X), कोहोलॉजी रिंग कहा जाता है। कप उत्पाद जेम्स वैडेल अलेक्जेंडर II|जे के काम में पेश किया गया था। 1935-1938 तक डब्ल्यू अलेक्जेंडर, एडुअर्ड चेक और हस्लर व्हिटनी, और 1944 में सैमुअल एलेनबर्ग द्वारा पूर्ण सामान्यता में।

परिभाषा

एकवचन कोहोलॉजी में, कप उत्पाद एक निर्माण है जो वर्गीकृत अंगूठी कोहोलॉजी रिंग एच पर एक उत्पाद देता है।^∗(X) एक टोपोलॉजिकल स्पेस X का।

निर्माण कोचेन (बीजीय टोपोलॉजी) के उत्पाद से शुरू होता है: यदि $\alpha ^{p}$ एक पी-कोचेन है और

$\beta ^{q}$ एक क्यू-कोचैन है, तो

$(\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})(\sigma )=\alpha ^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot \beta ^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})$

जहां σ एक एकवचन समरूपता (p + q) संकेतन है और $\iota _{S},S\subset \{0,1,...,p+q\}$ S द्वारा फैलाए गए सिम्प्लेक्स का विहित एम्बेडिंग है $(p+q)$-सिम्प्लेक्स जिसका वर्टिकल द्वारा अनुक्रमित किया जाता है $\{0,...,p+q\}$.

अनौपचारिक रूप से, $\sigma \circ \iota _{0,1,...,p}$ पी-वें 'फ्रंट फेस' है और $\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}$ क्रमशः σ का q-वाँ 'पिछला फलक' है।

कोचेन के कप उत्पाद की सीमा $\alpha ^{p}$ और $\beta ^{q}$ द्वारा दिया गया है

$\delta (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})=\delta {\alpha ^{p}}\smile \beta ^{q}+(-1)^{p}(\alpha ^{p}\smile \delta {\beta ^{q}}).$

दो कोसायकल का कप उत्पाद फिर से एक कोसायकल है, और एक कोसायकल के साथ एक कोबाउंड्री का उत्पाद (किसी भी क्रम में) एक कोबाउंड्री है। कप उत्पाद संचालन कोहोलॉजी पर बिलिनियर ऑपरेशन को प्रेरित करता है,

$H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).$

गुण

कोहोलॉजी में कप उत्पाद संचालन पहचान को संतुष्ट करता है

$\alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})$

ताकि संबंधित गुणन supercommutative | ग्रेडेड-कम्यूटेटिव हो।

कप उत्पाद क्रियात्मक है, निम्नलिखित अर्थों में: यदि

$f\colon X\to Y$

एक सतत कार्य है, और

$f^{*}\colon H^{*}(Y)\to H^{*}(X)$

कोहोलॉजी में प्रेरित समरूपता है, तब

$f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),$

एच में सभी वर्गों α, β के लिए ^*(वाई). दूसरे शब्दों में, एफ ^* एक (ग्रेडेड) रिंग समरूपता है।

व्याख्या

कप उत्पाद को देखना संभव है $\smile \colon H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X)$ जैसा कि निम्नलिखित रचना से प्रेरित है: <ब्लॉककोट>$\displaystyle C^{\bullet }(X)\times C^{\bullet }(X)\to C^{\bullet }(X\times X){\overset {\Delta ^{*}}{\to }}C^{\bullet }(X)$की श्रृंखला परिसरों के संदर्भ में $X$ और $X\times X$, जहां पहला नक्शा कुनेथ सूत्र है | कुनेथ नक्शा और दूसरा विकर्ण फ़ैक्टर द्वारा प्रेरित नक्शा है $\Delta \colon X\to X\times X$.

यह रचना कोहोलॉजी के संदर्भ में एक अच्छी तरह से परिभाषित मानचित्र देने के लिए भागफल से गुजरती है, यह कप उत्पाद है। यह दृष्टिकोण समरूपता के लिए एक कप उत्पाद के अस्तित्व की व्याख्या करता है, लेकिन समरूपता के लिए नहीं: $\Delta \colon X\to X\times X$ नक्शा प्रेरित करता है $\Delta ^{*}\colon H^{\bullet }(X\times X)\to H^{\bullet }(X)$ लेकिन एक नक्शा भी प्रेरित करेगा $\Delta _{*}\colon H_{\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X\times X)$, जो हमें किसी उत्पाद को परिभाषित करने की अनुमति देने के लिए गलत तरीके से जाता है। हालांकि यह कैप उत्पाद को परिभाषित करने में उपयोगी है।

कप उत्पाद की इस प्रस्तुति से द्विरेखीयता आती है, अर्थात $(u_{1}+u_{2})\smile v=u_{1}\smile v+u_{2}\smile v$ और $u\smile (v_{1}+v_{2})=u\smile v_{1}+u\smile v_{2}.$

उदाहरण

कप उत्पादों का उपयोग समान कोहोलॉजी समूहों के साथ रिक्त स्थान के वेजेज से मैनिफोल्ड्स को अलग करने के लिए किया जा सकता है। अंतरिक्ष $X:=S^{2}\vee S^{1}\vee S^{1}$ टोरस टी के समान कोहोलॉजी समूह हैं, लेकिन एक अलग कप उत्पाद के साथ। X के मामले में कॉपी से जुड़े cochain का गुणन $S^{1}$ पतित है, जबकि पहले कोहोलॉजी समूह में टी गुणा में टोरस को 2-सेल आरेख के रूप में विघटित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, इस प्रकार उत्पाद 'जेड' के बराबर होता है (आमतौर पर एम जहां यह आधार मॉड्यूल है)।

अन्य परिभाषाएँ

कप उत्पाद और अंतर रूप

डॉ कहलमज गर्भाशय में, विभेदक रूपों के कप उत्पाद कील उत्पाद से प्रेरित होते हैं। दूसरे शब्दों में, कील उत्पाद दो बंद और सटीक अंतर रूप विभेदक रूप दो मूल डी राम वर्गों के कप उत्पाद के डे राम वर्ग से संबंधित हैं।

कप उत्पाद और ज्यामितीय चौराहे

लिंकिंग नंबर को लिंक के पूरक पर गैर-लुप्त होने वाले कप उत्पाद के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। इन दो जुड़े मंडलियों का पूरक $\mathbb {R} ^{3}$ विरूपण एक टोरस और 2-गोले के एक पच्चर योग में वापस आ जाता है, जिसमें डिग्री 1 में एक गैर-लुप्त होने वाला कप उत्पाद होता है।

ओरिएंटेड मैनिफोल्ड्स के लिए, एक ज्यामितीय अनुमान है कि कप उत्पाद चौराहों के लिए दोहरी है।

वास्तव में, चलो $M$ आयाम का एक उन्मुख चिकनी कई गुना हो $n$. यदि दो सबमेनिफोल्ड $A,B$ कोडिमेंशन का $i$ और $j$ ट्रांसवर्सलिटी (गणित) को प्रतिच्छेद करें, फिर उनका प्रतिच्छेदन $A\cap B$ फिर से कोडिमेंशन का एक सबमेनफोल्ड है $i+j$. समावेशन के तहत इन मैनिफोल्ड्स के मौलिक समरूपता वर्गों की छवियों को लेकर, समरूपता पर एक बिलिनियर उत्पाद प्राप्त कर सकते हैं। यह उत्पाद Poincare द्वैत है | Poincare दोहरा कप उत्पाद के लिए, इस अर्थ में कि Poincare युग्मों को ले रहा है $[A]^{*},[B]^{*}\in H^{i},H^{j}$ तो निम्नलिखित समानता है:

$[A]^{*}\smile [B]^{*}=[A\cap B]^{*}\in H^{i+j}(X,\mathbb {Z} )$.

इसी तरह, लिंकिंग संख्या को चौराहों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, आयामों को 1 से स्थानांतरित किया जा सकता है, या वैकल्पिक रूप से लिंक के पूरक पर गैर-लुप्त होने वाले कप उत्पाद के संदर्भ में।

मैसी उत्पाद

मैसी उत्पाद कप उत्पाद का सामान्यीकरण करते हैं, जिससे किसी को उच्च ऑर्डर लिंकिंग संख्या, मिल्नोर इनवेरिएंट्स को परिभाषित करने की अनुमति मिलती है।

Main article: Massey product

कप उत्पाद एक बाइनरी (2-एरी) ऑपरेशन है; एक त्रिगुट (3-एरी) और उच्च क्रम संचालन को परिभाषित कर सकता है जिसे मैसी उत्पाद कहा जाता है, जो कप उत्पाद को सामान्य करता है। यह एक उच्च क्रम कोहोलॉजी ऑपरेशन है, जो केवल आंशिक रूप से परिभाषित है (केवल कुछ त्रिगुणों के लिए परिभाषित)।

यह भी देखें

• एकवचन समरूपता
• होमोलॉजी सिद्धांत
• कैप उत्पाद
• मैसी उत्पाद
• टोरेली समूह

संदर्भ

• James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (hardcover) ISBN 0-201-62728-0 (paperback)
• Glen E. Bredon, "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993) ISBN 0-387-97926-3
• Allen Hatcher, "Algebraic Topology", Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0