अपरिवर्तनीय मापन

गणित में, अपरिवर्तनीय मापक एक मापक है जो किसी फलन द्वारा परिरक्षित होता है। फलन एक ज्यामितीय रूपांतरण हो सकता है। उदाहरण के लिए, घूर्णन के अंतर्गत कोण अपरिवर्तनीय है, निष्पीडन मानचित्रण के अंतर्गत अतिपरवलयिक कोण अपरिवर्तनीय है, और अपरूपण मानचित्रण के अंतर्गत ढलानों का अंतर अपरिवर्तनीय है।

एर्गोडिक सिद्धांत गतिशील प्रणालियों में अपरिवर्तनीय मापकों का अध्ययन है। क्रायलोव-बोगोलीबॉव प्रमेय विचाराधीन फलन और समष्टि पर कुछ प्रतिबंध के अंतर्गत अपरिवर्तनीय मापकों के अस्तित्व को सिद्ध करता है।

परिभाषा

अनुमान $(X,\Sigma )$ एक मापने योग्य समष्टि हो और $f:X\to X$ को $X$ से स्वयं के लिए एक मापने योग्य फलन होने दें। $(X,\Sigma )$ पर एक माप $\mu$ को $f$ के अंतर्गत अपरिवर्तनीय कहा जाता है, यदि प्रत्येक मापकने योग्य समुच्चय $A$ के लिए $\Sigma$ में,

$$\mu \left(f^{-1}(A)\right)=\mu (A).$$

पुशफॉरवर्ड मापक के संदर्भ में, यह बताता है कि $f_{*}(\mu )=\mu$

$X$ पर मापकों का संग्रह (सामान्यतः प्रायिकता मापक) जो $f$ के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं, कभी-कभी $M_{f}(X)$ को निरूपित किया जाता है। ऊर्जापंथी मापकों) का संग्रह, $E_{f}(X),$ $M_{f}(X)$ का उपसमुच्चय है। इसके अलावा, दो अपरिवर्तनीय मापकों का कोई भी अवमुखसंयोजन भी अपरिवर्तनीय है, इसलिए $M_{f}(X)$ एक अवमुख समुच्चय है; $E_{f}(X)$ में $M_{f}(X)$ के चरम बिंदु सम्मिलित है। एक गतिशील प्रणाली $(X,T,\varphi )$ के प्रकरण में, जहाँ $(X,\Sigma )$ पहले की तरह मापने योग्य समष्टि है, $T$ एक एकाभ है और $\varphi :T\times X\to X$ प्रवाह मानचित्र है, एक माप $\mu$ है $(X,\Sigma )$ को एक अपरिवर्तनीय माप कहा जाता है यदि यह प्रत्येक मानचित्र $\varphi _{t}:X\to X$ के लिए एक अपरिवर्तनीय मापक है। स्पष्ट रूप से, $\mu$ अपरिवर्तनीय है अगर और केवल अगर

$$\mu \left(\varphi _{t}^{-1}(A)\right)=\mu (A)\qquad {\text{ for all }}t\in T,A\in \Sigma .$$

दूसरे प्रकार से रखें, $\mu$ यादृच्छिक चर $\left(Z_{t}\right)_{t\geq 0}$ (संभवतः एक मार्कोव श्रृंखला या एक प्रसंभाव्य अंतर समीकरण का समाधान) के अनुक्रम के लिए एक अपरिवर्तनीय मापक है, अगर, जब भी प्रारंभिक स्थिति $Z_{0}$को $\mu$के अनुसार वितरित किया जाता है, तो $Z_{t}$ किसी भी बाद के समय $t$ के लिए होता है।

जब गतिकीय प्रणाली को स्थानान्तरण प्रचालक द्वारा वर्णित किया जा सकता है, तो अपरिवर्तनीय मापक प्रचालक का एक अभिलक्षणिक सदिश होता है, जो $1$ के अभिलक्षणिक मान के अनुरूप होता है, यह फ्रोबेनियस-पेरोन प्रमेय द्वारा दिया गया सबसे बड़ा अभिलक्षणिक मान है।

उदाहरण

स्क्वीज़ मैपिंग हाइपरबोलिक कोण को अपरिवर्तित छोड़ देता है क्योंकि यह अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र (बैंगनी) को उसी क्षेत्र में से एक में ले जाता है। नीले और हरे आयत भी समान क्षेत्रफल रखते हैं

* वास्तविक रेखा पर विचार करें $\mathbb {R}$ अपने सामान्य बोरेल सिग्मा बीजगणित के साथ|बोरेल σ-बीजगणित; हल करना $a\in \mathbb {R}$ और अनुवाद मानचित्र पर विचार करें $T_{a}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ द्वारा दिए गए:

$$T_{a}(x)=x+a.$$

फिर एक आयामी Lebesgue मापक $\lambda$ के लिए एक अपरिवर्तनीय मापक है $T_{a}.$

• अधिक आम तौर पर, पर $n$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{n}$ अपने सामान्य बोरेल σ-बीजगणित के साथ, $n$-आयामी लेबेस्गु मापक $\lambda ^{n}$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष के किसी भी आइसोमेट्री के लिए एक अपरिवर्तनीय मापक है, जो कि एक नक्शा है $T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ जिसे इस रूप में लिखा जा सकता है
  $$T(x)=Ax+b$$
  कुछ के लिए $n\times n$ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स $A\in O(n)$ और एक वेक्टर $b\in \mathbb {R} ^{n}.$
• पहले उदाहरण में अपरिवर्तनीय मापक एक स्थिर कारक के साथ तुच्छ पुनर्संरचना तक अद्वितीय है। यह आवश्यक रूप से मामला नहीं है: केवल दो बिंदुओं वाले समुच्चय पर विचार करें $\mathbf {S} =\{A,B\}$ और पहचान मानचित्र $T=\operatorname {Id}$ जो प्रत्येक बिंदु को स्थिर छोड़ देता है। फिर कोई प्रायिकता मापक $\mu :\mathbf {S} \to \mathbb {R}$ अपरिवर्तनीय है। ध्यान दें कि $\mathbf {S}$ तुच्छ रूप से एक अपघटन है $T$-अपरिवर्तनीय घटक $\{A\}$ और $\{B\}.$
• यूक्लिडियन तल में क्षेत्र मापक विशेष रेखीय समूह के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ की $2\times 2$ निर्धारक का वास्तविक मैट्रिक्स $1.$
• प्रत्येक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह में एक हार मापक होता है जो समूह क्रिया के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होता है।

यह भी देखें

• Quasi-invariant measure

संदर्भ

• John von Neumann (1999) Invariant measures, American Mathematical Society ISBN 978-0-8218-0912-9