स्पाइकर केंद्र

ज्यामिति में, स्पाइकर केंद्र समतल त्रिभुज से जुड़ा एक विशेष बिंदु है। इसे त्रिभुज की परिधि के द्रव्यमान के केंद्र के रूप में परिभाषित किया गया है। त्रिभुज △ABC का स्पाइकर केंद्र △ABC के आकार में एक समघात तार फ्रेम का स्पाइकर केंद्र है। इस बिंदु का नाम 19वीं सदी के जर्मन ज्यामितिशास्त्रीय थिओडोर स्पाइकर के सम्मान में रखा गया है। स्पाइकर केंद्र एक त्रिभुज केंद्र है और इसे क्लार्क किम्बरलिंग के त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में बिंदु X (10) के रूप में सूचीबद्ध किया गया है।

स्थान

स्पाइकर केंद्र का निर्माण।

  त्रिभुज △ABC

  मध्यवर्वी त्रिभुज △DEF of △ABC

  कोण द्विभाजक का △DEF (समवर्ती पर स्पाइकर केंद्र S)

  अंकित वृत्त का △DEF (स्पाइकर वृत्त का △ABC; पर S) केंद्रित है

किसी भी त्रिभुज के स्पाइकर केंद्र का पता लगाने के लिए निम्नलिखित परिणाम का उपयोग किया जा सकता है।

त्रिभुज △ABC का स्पाइकर केंद्र △ABC के माध्यिका त्रिभुज का अंत:केंद्र है। अर्थात्, △ABC का स्पाइकर केंद्र △ABC के मध्य त्रिकोण में अँकित हुए वृत्त का केंद्र है। इस वृत्त को स्पाइकर वृत्त के नाम से जाना जाता है।

स्पाइकर केंद्र त्रिभुज △ABC के तीन क्लीवरों के प्रतिच्छेद पर भी स्थित है। त्रिभुज का क्लीवर एक रेखा खंड है जो त्रिभुज के परिधि को द्विभाजित करता है और और तीन भुजाओं में से एक के मध्य बिंदु पर एक अंत बिंदु होता है। प्रत्येक क्लीवर में △ABC की सीमा के द्रव्यमान का केंद्र होता है , इसलिए तीन क्लीवर स्पाइकर केंद्र में मिलते हैं।

यह देखने के लिए कि मध्य त्रिभुज का अंतःकेन्द्र क्लीवर के प्रतिच्छेद बिंदु के अनुरूप होता है, त्रिभुज △ABC के आकार में एक समघात तार फ्रेम पर विचार करें जिसमें लंबाई a, b, c वाले रेखा खंडों के रूप में तीन तार सम्मलित हैं। तार के फ्रेम का द्रव्यमान केंद्र वही है जो द्रव्यमान a, b, c के तीन कणों की प्रणाली के रूप में भुजाओं BC, CA, AB के मध्य बिंदु D, E, F पर रखा गया हैं। E और F पर कणों के द्रव्यमान का केंद्र बिंदु P है जो खंड EF को c : b के अनुपात में विभाजित करता हैं। रेखा DP, ∠D का आंतरिक द्विभाजक हैं। इस प्रकार तीन कण प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र ∠D के आंतरिक द्विभाजक पर स्थित हैं। इसी तरह के तर्क बताते हैं कि तीन कण प्रणाली का केंद्र द्रव्यमान ∠E और ∠F के आंतरिक द्विभाजक पर भी स्थित है। यह इस प्रकार है कि तार फ्रेम के द्रव्यमान का केंद्र त्रिभुज △DEF के कोणों के आंतरिक द्विभाजक की सहमति का बिंदु है, जो माध्यिका त्रिभुज △DEF का अंतःकेन्द्र हैं।

गुण

त्रिभुज का स्पाइकर केंद्र त्रिभुज का क्लीवेंस केंद्र है।

  त्रिभुज △ABC

  द्विभाजक कोण का △ABC (समवर्ती पर केंद्र I)

  क्लीवर का △ABC (समवर्ती पर स्पाइकर केंद्र S)

  मध्य त्रिभुज △DEF का △ABC

  अंकित वृत्त का △DEF (स्पाईकर वृत्त का △ABC; S पर केंद्रित है)

मान लीजिए S त्रिभुज △ABC का स्पाइकर केंद्र है।

• S के त्रिरेखीय निर्देशांक हैं

$bc(b+c):ca(c+a):ab(a+b).$

• S के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक हैं

$b+c:c+a:a+b.$

• S तीन बाह्यवृत्तों का मूल केंद्र है।
• S त्रिभुज △ABC का क्लीवर केंद्र है।
• त्रिभुज △ABC के अंत:केंद्र (I), केन्द्रक (G), और नागल बिंदु (N) के साथ S संरेख है। इसके अतिरिक्त,

$IS=SM,\quad IG=2\cdot GS,\quad MG=2\cdot IG.$

इस प्रकार उपयुक्त रूप से मापी गई और स्थित संख्या रेखा पर, I = 0, G = 2, S = 3, और M = 6 है।.

• S कीपर्ट अतिपरवलय पर स्थित है। S रेखाओं AX, BY, CZ की सहमति का बिंदु है जहां △XBC, △YCA, △ZAB समान, समद्विबाहु और समान रूप से स्थित त्रिभुज हैं जो त्रिभुज △ABC के आधार पर निर्मित होते हैं, जिनका आधार कोण समान होता है।

$\theta =\tan ^{-1}\left[\tan \left({\frac {A}{2}}\right)\tan \left({\frac {B}{2}}\right)\tan \left({\frac {C}{2}}\right)\right].$