अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य

"अतिशयोक्तिपूर्ण वक्र" redirects here. For ज्यामितीय वक्र, see अतिशयोक्ति.

गणित में, अतिपरवलिक कार्य सामान्य त्रिकोणमितीय कार्यों के अनुरूप होते हैं, किंतु घेरा के अतिरिक्त हाइपरबोला का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है। बिंदुओं के रूप में (cos t, sin t) इकाई त्रिज्या के साथ वृत्त बनाते हैं, बिंदु (cosh t, sinh t) इकाई अतिपरवलय का दाहिना आधा भाग बनाते हैं। इसके अतिरिक्त , इसी तरह sin(t) और cos(t) के अवकलज cos(t) और –sin(t) क्रमशः sinh(t) तथा cosh(t) के अवकलज cosh(t) तथा +sinh(t) क्रमशः है |

अतिपरवलिक ज्यामिति में कोणों और दूरियों की गणना में अतिपरवलिक कार्य होते हैं। वे कई रेखीय अंतर समीकरण के समाधान में भी पाए जाते हैं (जैसे कि कैटेनरी को परिभाषित करने वाला समीकरण), घन समीकरण या वास्तविक जड़ के लिए अतिपरवलिक समाधान, और कार्तीय निर्देशांक में लाप्लास का समीकरण भौतिकी के कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण हैं, जिनमें विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत, गर्मी हस्तांतरण, द्रव गतिकी और विशेष सापेक्षता सम्मिलत हैं।

बुनियादी अतिपरवलिक कार्य हैं:

• अतिपरवलिक ज्या sinh(/ˈsɪŋ, ˈsɪntʃ, ˈʃaɪn/),
• अतिपरवलिक कोसाइन cosh(/ˈkɒʃ, ˈkoʊʃ/),

जिनसे व्युत्पन्न हैं:

• अतिपरवलिक स्पर्शरेखा tanh(/ˈtæŋ, ˈtæntʃ, ˈθæn/),
• अतिपरवलिक व्युत्क्रमज्या csch या cosech (/ˈkoʊsɛtʃ, ˈkoʊʃɛk/
• अतिपरवलिक कोटिज्या sech (/ˈsɛtʃ, ˈʃɛk/),
• अतिपरवलिक स्पर्शरेखा coth (/ˈkɒθ, ˈkoʊθ/),

व्युत्पन्न त्रिकोणमितीय कार्यों के अनुरूप।

प्रतिलोम अतिपरवलिक कार्य हैं:

• क्षेत्र अतिपरवलिक साइन arsinh (sinh⁻¹ , asinh या कभी कभी arcsinh भी दर्शाया गया है )
• क्षेत्र अतिपरवलिक कोसाइन arcosh ( cosh⁻¹, acosh या कभी कभी arccosh भी दर्शाया गया है )
• और इसी तरह।

अतिपरवलिक कार्य वास्तविक संख्या लेते हैं जिसे अतिपरवलिक कोण कहा जाता है। अतिपरवलिक कोण का आकार उसके अतिपरवलिक क्षेत्र के क्षेत्रफल का दोगुना है। अतिपरवलिक कार्यों को इस क्षेत्र को कवर करने वाले अतिपरवलिक क्षेत्र या अतिपरवलिक त्रिकोण के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।

जटिल विश्लेषण में, काल्पनिक कोण पर साधारण साइन और कोसाइन कार्य प्रयुक्त करते समय अतिपरवलिक कार्य उत्पन्न होते हैं। अतिपरवलिक साइन और अतिपरवलिक कोसाइन संपूर्ण कार्य हैं। परिणाम स्वरुप , अन्य अतिपरवलिक कार्य पूरे जटिल स्तर में मेरोमॉर्फिक हैं।

लिंडमैन-वीयरस्ट्रास प्रमेय द्वारा, अतिपरवलिक कार्यों में तर्क के प्रत्येक गैर-शून्य बीजगणितीय संख्या के लिए पारलौकिक संख्या होती है।

1760 के दशक में स्वतंत्र रूप से विन्सेंट रिकाती और जोहान हेनरिक लैम्बर्ट द्वारा हाइपरबॉलिक कार्य प्रस्तुत किए गए थे। रिकाटी ने Sc. का प्रयोग किया तथा Cc. (साइनस/कोसिनस सर्कुलर) परिपत्र कार्यों Sh. को संदर्भित करने के लिए और Ch. (sinus/cosinus hyperbolico) अतिपरवलिक कार्यों को संदर्भित करने के लिए। लैम्बर्ट ने नामों को अपनाया, किंतु आज उपयोग होने वाले संक्षिप्त रूपों को बदल दिया। व्यक्तिगत वरीयता के आधार पर संक्षिप्ताक्षर sh, ch, th, cth वर्तमान में भी उपयोग किए जाते हैं।

नोटेशन

Main article: त्रिकोणमितीय कार्य या अंकन

परिभाषाएँ

सिंह, कोश और तन

csch, स्वयं और कोथ

अतिपरवलिक कार्यों को परिभाषित करने के लिए कई समान विधि हैं।

घातीय परिभाषाएँ

sinh x का व्यवकलन आधा है e^x तथा e^−x

cosh x का अंकगणितीय माध्य है e^x तथा e^−x

घातीय कार्य के संदर्भ में:

• अतिपरवलिक साइन: घातीय कार्य के कार्य का विषम भाग, अर्थात,
  $$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.$$
• अतिपरवलयिक कोसाइन: घातीय कार्य के कार्य का सम भाग, अर्थात,
  $$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.$$
• अतिपरवलिक स्पर्शरेखा:
  $$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.$$
• अतिपरवलिक कोस्पर्शज्या: के लिए x ≠ 0,
  $$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.$$
• अतिपरवलिक कोटिज्या:
  $$\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.$$
• अतिपरवलिक व्युत्क्रमज्या: के लिए x ≠ 0,
  $$\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.$$

विभेदक समीकरण परिभाषाएँ

अतिपरवलिक कार्यों को अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है: अतिपरवलयिक साइन और कोसाइन प्रणाली के समाधान (s, c) हैं

$${\begin{aligned}c'(x)&=s(x),\\s'(x)&=c(x),\\\end{aligned}}$$

प्रारंभिक नियमो के साथ $s(0)=0,c(0)=1.$ प्रारंभिक स्थितियाँ समाधान को विशिष्ट बनाती हैं; उनके बिना कार्यों की कोई जोड़ी $(ae^{x}+be^{-x},ae^{x}-be^{-x})$ समाधान होगा।

sinh(x) तथा cosh(x) समीकरण f ″(x) = f (x), के अद्वितीय हल भी हैं ऐसा है कि f (0) = 1, f ′(0) = 0 अतिपरवलिक कोसाइन के लिए, और f (0) = 0, f ′(0) = 1 अतिपरवलिक साइन के लिए है ।

जटिल त्रिकोणमितीय परिभाषाएँ

अतिपरवलिक कार्यों को जटिल संख्या तर्कों के साथ त्रिकोणमितीय कार्यों से भी घटाया जा सकता है:

• अतिपरवलिक ज्या:
  $$\sinh x=-i\sin(ix).$$
• अतिपरवलिक कोसाइन:
  $$\cosh x=\cos(ix).$$
• अतिपरवलिक स्पर्शरेखा:
  $$\tanh x=-i\tan(ix).$$
• अतिपरवलिक स्पर्शरेखा:
  $$\coth x=i\cot(ix).$$
• अतिपरवलिक कोटिज्या:
  $$\operatorname {sech} x=\sec(ix).$$
• अतिपरवलिक व्युत्क्रमज्या:
  $$\operatorname {csch} x=i\csc(ix).$$

जहाँ i, i² = −1वाली काल्पनिक इकाई है।

उपरोक्त परिभाषाएँ यूलर के सूत्र के माध्यम से घातीय परिभाषाओं से संबंधित हैं (देखें § सम्मिश्र संख्याओं के लिए अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य नीचे)।

विशेषता गुण

अतिपरवलिक कोसाइन

यह दिखाया जा सकता है कि अतिपरवलिक कोसाइन (एक परिमित अंतराल पर) के वक्र के नीचे का क्षेत्र हमेशा उस अंतराल के अनुरूप चाप की लंबाई के समान होता है:

$${\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}$$

अतिपरवलिक स्पर्शरेखा

अतिपरवलिक स्पर्शरेखा अंतर समीकरण f ′ = 1 − f ², f (0) = 0 का (अद्वितीय) समाधान है .

उपयोगी संबंध

अतिपरवलिक कार्य कई सर्वसमिकाओं को संतुष्ट करते हैं, वे सभी त्रिकोणमितीय पहचान के रूप में समान हैं। वास्तव में, ओसबोर्न का नियम बताता है कि कोई भी $\theta$, $2\theta$, $3\theta$ या $\theta$ तथा $\varphi$ के लिए किसी भी त्रिकोणमितीय पहचान को अतिपरवलयिक पहचान में परिवर्तित कर सकता है,, साइन और कोसाइन की अभिन्न शक्तियों के संदर्भ में इसे पूरी तरह से विस्तारित करके, साइन को साइन और कोसाइन को कोश में बदलकर, और दो साइन के उत्पाद वाले प्रत्येक शब्द के चिह्न को स्विच करते है ।

विषम और सम कार्य:

$${\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}$$

अत:

$${\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}$$

इस प्रकार, cosh x तथा sech x कार्य भी हैं; अन्य विषम कार्य हैं।

$${\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}$$

अतिपरवलिक ज्या और कोसाइन संतुष्ट:

$${\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}$$

जिनमें से अंतिम पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय पहचान के समान है।

एक के पास भी है

$${\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}$$

अन्य कार्यों के लिए।

तर्कों का योग

$${\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\[6px]\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}$$

विशेषतया

$${\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}$$

भी:

$${\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}$$

व्यवकलन सूत्र

$${\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}$$

भी:

$${\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}$$

आधा तर्क सूत्र

$${\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}$$

जहाँ sgn साइन समारोह है।

यदि x ≠ 0, फिर

$$\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x$$

वर्ग सूत्र

$${\begin{aligned}\sinh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x-1)\\\cosh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x+1)\end{aligned}}$$

असमानताएं

निम्नलिखित असमानता सांख्यिकी में उपयोगी है:

$\operatorname {cosh} (t)\leq e^{t^{2}/2}$

यह दो कार्यों की टेलर श्रृंखला की नियमो की तुलना करके सिद्ध किया जा सकता है।

लघुगणक के रूप में विपरीत कार्य करता है

Main article: उलटा अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य

$${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}$$

व्युत्पत्ति

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}$$

दूसरा व्युत्पत्ति

प्रत्येक कार्य sinh तथा cosh इसके दूसरे व्युत्पन्न के समान है, जो है:

$${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x$$

$${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.$$

इस गुण वाले सभी कार्य के रैखिक संयोजन हैं sinh तथा cosh, विशेष रूप से घातीय कार्य $e^{x}$ तथा $e^{-x}$है .

मानक अभिन्न

For एक पूरी सूची, see अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के इंटीग्रल की सूची.

अतिपरवलिक प्रतिस्थापन का उपयोग करके निम्नलिखित अभिन्न सिद्ध किए जा सकते हैं:

$${\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {sgn} {u}\operatorname {arcosh} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}$$

जहाँ C समाकलन का स्थिरांक है।

टेलर श्रृंखला के भाव

उपरोक्त कार्यों के टेलर श्रृंखला को स्पष्ट रूप से शून्य (या लॉरेंट श्रृंखला, यदि कार्य शून्य पर परिभाषित नहीं है) पर स्पष्ट रूप से व्यक्त करना संभव है।

$$\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$$

यह श्रृंखला xके प्रत्येक सम्मिश्र संख्या मान के लिए अभिसरण श्रृंखला है . समारोह के बाद से sinh x विषम कार्य है, x के लिए केवल विषम घातांक इसकी टेलर श्रृंखला में होता है।

$$\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$$

यह श्रृंखला x के प्रत्येक सम्मिश्र संख्या मान के लिए अभिसरण श्रृंखला है . समारोह के बाद से cosh x सम कार्य है, x केवल घातांक के लिए इसकी टेलर श्रृंखला में होता है।

सिंह और कोश श्रृंखला का योग घातीय कार्य की अनंत श्रृंखला अभिव्यक्ति है।

निम्नलिखित श्रृंखला उनके अभिसरण के डोमेन के उपसमुच्चय के विवरण के बाद होती है, जहां श्रृंखला अभिसरण होती है और इसका योग कार्य के समान होता है।

$$B_{n}$$