न्यूनतम प्रतिरूप (भौतिकी)

सैद्धांतिक भौतिकी में, एक न्यूनतम मॉडल या विरासोरो न्यूनतम मॉडल एक द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत है जिसका स्पेक्ट्रम विरासोरो बीजगणित के सूक्ष्म रूप से कई इर्रिड्यूसबल प्रस्तुतियों से बनाया गया है। न्यूनतम मॉडल को वर्गीकृत और हल किया गया है, और एडीई वर्गीकरण का पालन करने के लिए पाया गया है। शब्द न्यूनतम मॉडल एक बीजगणित पर आधारित एक तर्कसंगत सीएफटी का भी उल्लेख कर सकता है जो वीरासोरो बीजगणित से बड़ा है, जैसे डब्ल्यू-बीजगणित।

== विरासोरो बीजगणित == के प्रासंगिक प्रतिनिधित्व

प्रतिनिधित्व

न्यूनतम मॉडल में, विरासोरो बीजगणित का केंद्रीय प्रभार प्रकार के मान लेता है

$c_{p,q}=1-6{(p-q)^{2} \over pq}\ .$

कहाँ $p,q$ कोप्राइम पूर्णांक हैं जैसे कि $p,q\geq 2$. फिर पतित अभ्यावेदन के अनुरूप आयाम हैं

$h_{r,s}={\frac {(pr-qs)^{2}-(p-q)^{2}}{4pq}}\ ,\quad {\text{with}}\ r,s\in \mathbb {N} ^{*}\ ,$

और वे पहचान का पालन करते हैं

$h_{r,s}=h_{q-r,p-s}=h_{r+q,s+p}\ .$

मिनिमम मॉडल के स्पेक्ट्रम, विरासोरो अलजेब्रा के इरेड्यूसिबल, डीजनरेट लो-वेट रिप्रेजेंटेशन से बने होते हैं, जिनके अनुरूप आयाम प्रकार के होते हैं $h_{r,s}$ साथ

$1\leq r\leq q-1\quad ,\quad 1\leq s\leq p-1\ .$

ऐसा प्रतिनिधित्व ${\mathcal {R}}_{r,s}$ एक वर्मा मॉड्यूल का एक सहसमुच्चय है जो इसके असीम रूप से कई गैर-तुच्छ सबमॉड्यूल्स द्वारा बनाया गया है। यह एकात्मक है अगर और केवल अगर $|p-q|=1$. एक दिए गए केंद्रीय प्रभारी पर, हैं ${\frac {1}{2}}(p-1)(q-1)$ इस प्रकार के विशिष्ट प्रतिनिधित्व। इन अभ्यावेदन, या उनके अनुरूप आयामों के सेट को मापदंडों के साथ केएसी तालिका कहा जाता है $(p,q)$. केएसी तालिका आमतौर पर आकार के आयत के रूप में खींची जाती है $(q-1)\times (p-1)$, जहां प्रत्येक प्रतिनिधित्व दो बार प्रकट होता है संबंध के कारण

${\mathcal {R}}_{r,s}={\mathcal {R}}_{q-r,p-s}\ .$

संलयन नियम

बहुपतित अभ्यावेदन के संलयन नियम ${\mathcal {R}}_{r,s}$ उनके सभी अशक्त वैक्टर से बाधाओं को सांकेतिक शब्दों में बदलना। इसलिए उन्हें दो-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत से घटाया जा सकता है # केवल पतित अभ्यावेदन के संलयन नियम, जो अलग-अलग अशक्त वैक्टर से बाधाओं को कूटबद्ध करते हैं।स्पष्ट रूप से, संलयन नियम हैं

${\mathcal {R}}_{r_{1},s_{1}}\times {\mathcal {R}}_{r_{2},s_{2}}=\sum _{r_{3}{\overset {2}{=}}|r_{1}-r_{2}|+1}^{\min(r_{1}+r_{2},2q-r_{1}-r_{2})-1}\ \sum _{s_{3}{\overset {2}{=}}|s_{1}-s_{2}|+1}^{\min(s_{1}+s_{2},2p-s_{1}-s_{2})-1}{\mathcal {R}}_{r_{3},s_{3}}\ ,$

जहां रकम दो की वृद्धि से चलती है।

वर्गीकरण

ए-श्रृंखला न्यूनतम मॉडल: विकर्ण मामला

किसी भी कोप्राइम पूर्णांक के लिए $p,q$ ऐसा है कि $p,q\geq 2$, एक विकर्ण न्यूनतम मॉडल मौजूद है जिसके स्पेक्ट्रम में केएसी तालिका में प्रत्येक विशिष्ट प्रतिनिधित्व की एक प्रति है:

${\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{A-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{r=1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\ .$

$(p,q)$ एच> और $(q,p)$ मॉडल समान हैं।

दो क्षेत्रों के ओपीई में वे सभी क्षेत्र शामिल हैं जो संबंधित अभ्यावेदन के संलयन नियमों द्वारा अनुमत हैं।

डी-श्रृंखला न्यूनतम मॉडल

सेंट्रल चार्ज के साथ डी-सीरीज़ का न्यूनतम मॉडल $c_{p,q}$ मौजूद है अगर $p$ या $q$ सम है और कम से कम $6$. समरूपता का उपयोग करना $p\leftrightarrow q$ हम मानते हैं कि $q$ तब भी है $p$ अजीब है। स्पेक्ट्रम है

${\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{D-series}}\ \ {\underset {q\equiv 0\operatorname {mod} 4,\ q\geq 8}{=}}\ \ {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\oplus {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}2}^{q-2}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{q-r,s}\ ,$

${\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{D-series}}\ \ {\underset {q\equiv 2\operatorname {mod} 4,\ q\geq 6}{=}}\ \ {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\oplus {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{q-r,s}\ ,$

जहां रकम खत्म हो गई $r$ दो की वृद्धि से चलाएँ। किसी दिए गए स्पेक्ट्रम में, प्रकार के प्रतिनिधित्व को छोड़कर, प्रत्येक प्रतिनिधित्व में बहुलता होती है ${\mathcal {R}}_{{\frac {q}{2}},s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{{\frac {q}{2}},s}$ अगर $q\equiv 2\ \mathrm {mod} \ 4$, जिसकी बहुलता दो है। स्पेक्ट्रम के लिए हमारे सूत्र में ये निरूपण वास्तव में दोनों शब्दों में दिखाई देते हैं।

दो क्षेत्रों के ओपीई में वे सभी क्षेत्र शामिल हैं जो संबंधित अभ्यावेदन के संलयन नियमों द्वारा अनुमत हैं, और जो विकर्णता के संरक्षण का सम्मान करते हैं: एक विकर्ण और एक गैर-विकर्ण क्षेत्र का ओपीई केवल गैर-विकर्ण क्षेत्र उत्पन्न करता है, और ओपीई एक ही प्रकार के दो क्षेत्रों से केवल विकर्ण क्षेत्र प्राप्त होते हैं।

इस नियम के लिए अभ्यावेदन की एक प्रति ${\mathcal {R}}_{{\frac {q}{2}},s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{{\frac {q}{2}},s}$ विकर्ण के रूप में गिना जाता है, और दूसरी प्रति गैर-विकर्ण के रूप में।

ई-श्रृंखला न्यूनतम मॉडल

ई-श्रृंखला के न्यूनतम मॉडल की तीन श्रृंखलाएँ हैं। प्रत्येक श्रृंखला के दिए गए मान के लिए मौजूद है $q\in \{12,18,30\},$ किसी के लिए $p\geq 2$ वह कोप्राइम है $q$. (यह वास्तव में तात्पर्य है $p\geq 5$।) अंकन का उपयोग करना $|{\mathcal {R}}|^{2}={\mathcal {R}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}$स्पेक्ट्रम पढ़ता है:

${\mathcal {S}}_{p,12}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|{\mathcal {R}}_{1,s}\oplus {\mathcal {R}}_{7,s}\right|^{2}\oplus \left|{\mathcal {R}}_{4,s}\oplus {\mathcal {R}}_{8,s}\right|^{2}\oplus \left|{\mathcal {R}}_{5,s}\oplus {\mathcal {R}}_{11,s}\right|^{2}\right\}\ ,$

${\mathcal {S}}_{p,18}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|{\mathcal {R}}_{9,s}\oplus 2{\mathcal {R}}_{3,s}\right|^{2}\ominus 4\left|{\mathcal {R}}_{3,s}\right|^{2}\oplus \bigoplus _{r\in \{1,5,7\}}\left|{\mathcal {R}}_{r,s}\oplus {\mathcal {R}}_{18-r,s}\right|^{2}\right\}\ ,$

${\mathcal {S}}_{p,30}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|\bigoplus _{r\in \{1,11,19,29\}}{\mathcal {R}}_{r,s}\right|^{2}\oplus \left|\bigoplus _{r\in \{7,13,17,23\}}{\mathcal {R}}_{r,s}\right|^{2}\right\}\ .$

उदाहरण

निम्नलिखित ए-श्रृंखला न्यूनतम मॉडल प्रसिद्ध भौतिक प्रणालियों से संबंधित हैं:

• $(p,q)=(3,2)$ : तुच्छ सीएफटी,
• $(p,q)=(5,2)$ : यांग-ली बढ़त विलक्षणता,
• $(p,q)=(4,3)$ : द्वि-आयामी महत्वपूर्ण आइसिंग मॉडल,
• $(p,q)=(5,4)$ : ट्राइक्रिटिकल आइसिंग मॉडल,
• $(p,q)=(6,5)$ : टेट्राक्रिटिकल आइसिंग मॉडल।

निम्नलिखित डी-श्रृंखला न्यूनतम मॉडल प्रसिद्ध भौतिक प्रणालियों से संबंधित हैं:

• $(p,q)=(6,5)$ : 3-स्टेट क्वांटम थ्री-स्टेट पॉट्स मॉडल क्रिटिकलिटी पर,
• $(p,q)=(7,6)$ : ट्राइक्रिटिकल 3-स्टेट पॉट्स मॉडल।

इन मॉडलों की Kac तालिकाएँ, साथ में कुछ अन्य Kac तालिकाएँ $2\leq q\leq 6$, हैं:

${\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cc}1&0&0\\\hline &1&2\end{array}}\\c_{3,2}=0\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}1&0&-{\frac {1}{5}}&-{\frac {1}{5}}&0\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,2}=-{\frac {22}{5}}\end{array}}$

${\begin{array}{c}{\begin{array}{c|ccc}2&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{16}}&0\\1&0&{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{2}}\\\hline &1&2&3\end{array}}\\c_{4,3}={\frac {1}{2}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}2&{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{5}}&-{\frac {1}{20}}&0\\1&0&-{\frac {1}{20}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {3}{4}}\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,3}=-{\frac {3}{5}}\end{array}}$

${\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}3&{\frac {3}{2}}&{\frac {3}{5}}&{\frac {1}{10}}&0\\2&{\frac {7}{16}}&{\frac {3}{80}}&{\frac {3}{80}}&{\frac {7}{16}}\\1&0&{\frac {1}{10}}&{\frac {3}{5}}&{\frac {3}{2}}\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,4}={\frac {7}{10}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}3&{\frac {5}{2}}&{\frac {10}{7}}&{\frac {9}{14}}&{\frac {1}{7}}&-{\frac {1}{14}}&0\\2&{\frac {13}{16}}&{\frac {27}{112}}&-{\frac {5}{112}}&-{\frac {5}{112}}&{\frac {27}{112}}&{\frac {13}{16}}\\1&0&-{\frac {1}{14}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {9}{14}}&{\frac {10}{7}}&{\frac {5}{2}}\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,4}=-{\frac {13}{14}}\end{array}}$

${\begin{array}{c}{\begin{array}{c|ccccc}4&3&{\frac {13}{8}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{8}}&0\\3&{\frac {7}{5}}&{\frac {21}{40}}&{\frac {1}{15}}&{\frac {1}{40}}&{\frac {2}{5}}\\2&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{40}}&{\frac {1}{15}}&{\frac {21}{40}}&{\frac {7}{5}}\\1&0&{\frac {1}{8}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {13}{8}}&3\\\hline &1&2&3&4&5\end{array}}\\c_{6,5}={\frac {4}{5}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}4&{\frac {15}{4}}&{\frac {16}{7}}&{\frac {33}{28}}&{\frac {3}{7}}&{\frac {1}{28}}&0\\3&{\frac {9}{5}}&{\frac {117}{140}}&{\frac {8}{35}}&-{\frac {3}{140}}&{\frac {3}{35}}&{\frac {11}{20}}\\2&{\frac {11}{20}}&{\frac {3}{35}}&-{\frac {3}{140}}&{\frac {8}{35}}&{\frac {117}{140}}&{\frac {9}{5}}\\1&0&{\frac {1}{28}}&{\frac {3}{7}}&{\frac {33}{28}}&{\frac {16}{7}}&{\frac {15}{4}}\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,5}={\frac {11}{35}}\end{array}}$

${\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}5&5&{\frac {22}{7}}&{\frac {12}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {1}{7}}&0\\4&{\frac {23}{8}}&{\frac {85}{56}}&{\frac {33}{56}}&{\frac {5}{56}}&{\frac {1}{56}}&{\frac {3}{8}}\\3&{\frac {4}{3}}&{\frac {10}{21}}&{\frac {1}{21}}&{\frac {1}{21}}&{\frac {10}{21}}&{\frac {4}{3}}\\2&{\frac {3}{8}}&{\frac {1}{56}}&{\frac {5}{56}}&{\frac {33}{56}}&{\frac {85}{56}}&{\frac {23}{8}}\\1&0&{\frac {1}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {12}{7}}&{\frac {22}{7}}&5\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,6}={\frac {6}{7}}\end{array}}$

संबंधित अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत

कोसेट प्राप्ति

सूचकांकों के साथ ए-श्रृंखला न्यूनतम मॉडल $(p,q)$ WZW मॉडल के निम्नलिखित कोसेट के साथ मेल खाता है::${\frac {SU(2)_{k}\times SU(2)_{1}}{SU(2)_{k+1}}}\ ,\quad {\text{where}}\quad k={\frac {q}{p-q}}-2\ .$ यह मानते हुए $p>q$, स्तर $k$ पूर्णांक है अगर और केवल अगर $p=q+1$ यानी अगर और केवल अगर न्यूनतम मॉडल एकात्मक है।

WZW मॉडल के कोसेट के रूप में कुछ न्यूनतम मॉडल, विकर्ण या नहीं, के अन्य अहसास मौजूद हैं, जरूरी नहीं कि समूह पर आधारित हो $SU(2)$.

सामान्यीकृत न्यूनतम मॉडल

किसी भी केंद्रीय शुल्क के लिए $c\in \mathbb {C}$, एक विकर्ण CFT है जिसका स्पेक्ट्रम सभी पतित अभ्यावेदन से बना है,

${\mathcal {S}}=\bigoplus _{r,s=1}^{\infty }{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\ .$

जब केंद्रीय प्रभार जाता है $c_{p,q}$, सामान्यीकृत न्यूनतम मॉडल संबंधित ए-श्रृंखला न्यूनतम मॉडल के लिए होते हैं। इसका विशेष रूप से मतलब है कि पतित निरूपण जो कि केएसी तालिका में नहीं हैं।

लिउविल सिद्धांत

चूंकि लिउविले क्षेत्र सिद्धांत सामान्यीकृत न्यूनतम मॉडल में कम हो जाता है जब खेतों को पतित होने के लिए लिया जाता है,जब केंद्रीय प्रभार भेजा जाता है तो यह ए-सीरीज़ न्यूनतम मॉडल को और कम कर देता है $c_{p,q}$.

इसके अलावा, ए-सीरीज़ के न्यूनतम मॉडल की एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा होती है $c\to 1$: रंकेल-वाट्स सिद्धांत नामक एक सतत स्पेक्ट्रम के साथ एक विकर्ण सीएफटी, जो लिउविल सिद्धांत की सीमा के साथ मेल खाता है जब $c\to 1^{+}$.

न्यूनतम मॉडल के उत्पाद

न्यूनतम मॉडल के तीन मामले हैं जो दो न्यूनतम मॉडल के उत्पाद हैं। उनके स्पेक्ट्रम के स्तर पर, संबंध हैं:

${\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{3,10}^{\text{D-series}}\ ,$

${\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{3,4}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{5,12}^{\text{E-series}}\ ,$

${\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{2,7}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{7,30}^{\text{E-series}}\ .$

न्यूनतम मॉडलों का फर्मियोनिक विस्तार

अगर $q\equiv 0{\bmod {4}}$, ए-सीरीज़ और डी-सीरीज़ $(p,q)$ न्यूनतम मॉडल में प्रत्येक का फर्मीओनिक विस्तार होता है। इन दो फर्मियोनिक एक्सटेंशन में अर्ध-पूर्णांक स्पिन वाले फ़ील्ड शामिल हैं, और वे एक समानता-शिफ्ट ऑपरेशन द्वारा एक दूसरे से संबंधित हैं।