पथ-आदेश

This article is about rearranging a product of operators in physics. For the well-orderings on mathematical terms, see Path ordering (term rewriting).

सैद्धांतिक भौतिकी में, पथ-आदेश प्रक्रिया है (या एक मेटा-ऑपरेटर ${\mathcal {P}}$) जो एक चुने हुए पैरामीटर के मान के अनुसार ऑपरेटरों के उत्पाद का आदेश देता है:

${\mathcal {P}}\left\{O_{1}(\sigma _{1})O_{2}(\sigma _{2})\cdots O_{N}(\sigma _{N})\right\}\equiv O_{p_{1}}(\sigma _{p_{1}})O_{p_{2}}(\sigma _{p_{2}})\cdots O_{p_{N}}(\sigma _{p_{N}}).$

यहाँ p एक क्रमचय है जो पैरामीटर को मान के आधार पर क्रमित करता है:

$p:\{1,2,\dots ,N\}\to \{1,2,\dots ,N\}$

$\sigma _{p_{1}}\leq \sigma _{p_{2}}\leq \cdots \leq \sigma _{p_{N}}.$

उदाहरण के लिए:

${\mathcal {P}}\left\{O_{1}(4)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{4}(1)\right\}=O_{4}(1)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{1}(4).$

उदाहरण

यदि एक ऑपरेटर (भौतिकी) को केवल एक उत्पाद के रूप में व्यक्त नहीं किया जाता है, लेकिन किसी अन्य ऑपरेटर के कार्य के रूप में, हमें पहले इस फ़ंक्शन का टेलर विस्तार करना होगा। यह विल्सन लूप का मामला है, जिसे पथ-आदेशित घातांक के रूप में परिभाषित किया गया है ताकि यह गारंटी दी जा सके कि विल्सन लूप गेज कनेक्शन की पवित्रता को कूटबद्ध करता है। पैरामीटर σ जो क्रम को निर्धारित करता है, समोच्च एकीकरण का वर्णन करने वाला एक पैरामीटर है, और क्योंकि समोच्च बंद है, गेज-इनवेरिएंट होने के लिए विल्सन लूप को ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए।

समय आदेश

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में ऑपरेटरों के समय-आदेशित उत्पाद को लेना उपयोगी होता है। इस ऑपरेशन द्वारा दर्शाया गया है ${\mathcal {T}}$. (यद्यपि ${\mathcal {T}}$ अक्सर टाइम-ऑर्डरिंग ऑपरेटर कहा जाता है, सख्ती से बोलना न तो राज्यों पर एक रैखिक ऑपरेटर है और न ही ऑपरेटरों पर एक सुपरऑपरेटर।)

दो ऑपरेटरों ए (एक्स) और बी (वाई) के लिए जो स्पेसटाइम स्थानों एक्स और वाई पर निर्भर करते हैं, हम परिभाषित करते हैं:

${\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y)&{\text{if }}\tau _{x}>\tau _{y},\\\pm B(y)A(x)&{\text{if }}\tau _{x}<\tau _{y}.\end{cases}}$

यहाँ $\tau _{x}$ और $\tau _{y}$ बिंदु x और y के अपरिवर्तनीय अदिश समय-निर्देशांक को निरूपित करें। स्पष्ट रूप से हमारे पास है

${\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\theta (\tau _{x}-\tau _{y})A(x)B(y)\pm \theta (\tau _{y}-\tau _{x})B(y)A(x),$

कहाँ $\theta$ हैवीसाइड स्टेप फंक्शन को दर्शाता है और $\pm$ यह इस बात पर निर्भर करता है कि संकारक प्रकृति में बोसोनिक या फर्मिओनिक हैं या नहीं। यदि बोसोनिक है, तो + चिन्ह हमेशा चुना जाता है, यदि फर्मिओनिक है तो चिन्ह उचित समय क्रम को प्राप्त करने के लिए आवश्यक ऑपरेटर इंटरचेंज की संख्या पर निर्भर करेगा। ध्यान दें कि सांख्यिकीय कारक यहां दर्ज नहीं होते हैं।

चूंकि ऑपरेटर spacelike में अपने स्थान पर निर्भर करते हैं (अर्थात केवल समय नहीं) यह टाइम-ऑर्डरिंग ऑपरेशन केवल स्वतंत्र रूप से समन्वयित होता है यदि ऑपरेटर स्पेस जैसे अलग-अलग बिंदुओं पर क्रमविनिमेयता । इस वजह से इसका इस्तेमाल जरूरी है $\tau$ इसके बजाय $t_{0}$, तब से $t_{0}$ आमतौर पर स्पेसटाइम बिंदु के समन्वय निर्भर समय-जैसे सूचकांक को इंगित करता है। ध्यान दें कि समय-क्रम आमतौर पर समय तर्क के साथ दाएं से बाएं बढ़ते हुए लिखा जाता है।

सामान्य तौर पर, एन फील्ड ऑपरेटरों के उत्पाद के लिए A₁(t₁), …, A_n(t_n) ऑपरेटरों के समय-आदेशित उत्पाद को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

${\begin{aligned}{\mathcal {T}}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}&=\sum _{p}\theta (t_{p_{1}}>t_{p_{2}}>\cdots >t_{p_{n}})\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\\&=\sum _{p}\left(\prod _{j=1}^{n-1}\theta (t_{p_{j}}-t_{p_{j+1}})\right)\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\end{aligned}}$

जहां योग सभी पी और एन डिग्री क्रमपरिवर्तन के सममित समूह पर चलता है और

$\varepsilon (p)\equiv {\begin{cases}1&{\text{for bosonic operators,}}\\{\text{sign of the permutation}}&{\text{for fermionic operators.}}\end{cases}}$

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में एस मैट्रिक्स समय-आदेशित उत्पाद का एक उदाहरण है। एस-मैट्रिक्स, राज्य को बदल रहा है t = −∞ पर एक राज्य के लिए t = +∞, विल्सन पाश के अनुरूप एक प्रकार की पवित्रता के बारे में भी सोचा जा सकता है। हम निम्नलिखित कारणों से समयबद्ध व्यंजक प्राप्त करते हैं:

हम घातांक के लिए इस सरल सूत्र से शुरू करते हैं

$\exp h=\lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {h}{N}}\right)^{N}.$

अब विवेकाधीन विकास संचालक पर विचार करें

$S=\cdots (1+h_{+3})(1+h_{+2})(1+h_{+1})(1+h_{0})(1+h_{-1})(1+h_{-2})\cdots$

कहाँ $1+h_{j}$ एक अतिसूक्ष्म समय अंतराल पर विकास संचालक है $[j\varepsilon ,(j+1)\varepsilon ]$. उच्च आदेश शर्तों को सीमा में उपेक्षित किया जा सकता है $\varepsilon \to 0$. परिचालक $h_{j}$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$h_{j}={\frac {1}{i\hbar }}\int _{j\varepsilon }^{(j+1)\varepsilon }\,dt\int d^{3}x\,H({\vec {x}},t).$

ध्यान दें कि पिछले समय के अंतराल में विकास संचालक उत्पाद के दाईं ओर दिखाई देते हैं। हम देखते हैं कि सूत्र घातांक से संतुष्ट उपरोक्त पहचान के अनुरूप है, और हम लिख सकते हैं

$S={\mathcal {T}}\exp \left(\sum _{j=-\infty }^{\infty }h_{j}\right)={\mathcal {T}}\exp \left(\int dt\,d^{3}x\,{\frac {H({\vec {x}},t)}{i\hbar }}\right).$

एकमात्र सूक्ष्मता जिसे हमें शामिल करना था वह समय-आदेश देने वाला ऑपरेटर था ${\mathcal {T}}$ क्योंकि उपरोक्त S को परिभाषित करने वाले उत्पाद में कारक भी समय-आदेशित थे, (और ऑपरेटर सामान्य रूप से यात्रा नहीं करते हैं) और ऑपरेटर ${\mathcal {T}}$ सुनिश्चित करता है कि यह आदेश संरक्षित रहेगा।

यह भी देखें

• क्रमबद्ध घातीय (अनिवार्य रूप से एक ही अवधारणा)
• गेज सिद्धांत
• एस-मैट्रिक्स