अतिपरवलय

This article is about एक ज्यामितीय वक्र. For उत्तर में प्रयुक्त शब्द, see अतिशयोक्ति.

एक हाइपरबोला दो शाखाओं के साथ एक खुला वक्र है, एक डबल शंकु (ज्यामिति) के दोनों भागों के साथ एक विमान (ज्यामिति) का प्रतिच्छेदन। तल को शंकु के अक्ष के समांतर नहीं होना चाहिए; हाइपरबोला किसी भी स्थिति में सममित होगा।

हाइपरबोला (लाल): विशेषताएं

गणित में अतिपरवलय एक प्रकार का समतल में पड़ा हुआ चिकना वक्र है। जिसे इसके ज्यामितीय गुणों या समीकरणों द्वारा परिभाषित किया जाता है। जिसके लिए यह समाधान समुच्चय है। अतिपरवलय के दो टुकड़े होते हैं। जिन्हें घटक (ग्राफ सिद्धांत) या शाखाएँ कहा जाता है। जो एक दूसरे के दर्पण चित्र होते हैं और दो अनंत धनुष के समान होते हैं। अतिशयोक्ति तीन प्रकार के शंकु खंड में से एक है। जो एक समतल (गणित) और दोहरे शंकु (ज्यामिति) के प्रतिच्छेदन द्वारा इसका निर्माण होता है। (अन्य शंक्वाकार खंड परवलय और दीर्घवृत्त हैं। एक वृत्त दीर्घवृत्त की एक विशेष स्थिति है।) यदि सतह दोहरे शंकु के दोनों भागों को काटता है। किन्तु शंकु के शीर्ष से नहीं निकलता है। जिससे शंकु एक अतिपरवलय है।

अतिशयोक्ति कई प्रकार से उत्पन्न होते हैं:

• गुणक व्युत्क्रम का प्रतिनिधित्व करने वाले वक्र के रूप में $y(x)=1/x$ कार्तीय समन्वय प्रणाली में स्थित हैं।
• एक धूपघड़ी की नोक की छाया के बाद पथ के रूप में स्थित,
• एक खुली कक्षा के आकार के रूप में (एक बंद अण्डाकार कक्षा से अलग), जैसे कि गुरुत्वाकर्षण के समय अंतरिक्ष यान की कक्षा किसी ग्रह के स्विंग-बाय या अधिक सामान्यतः किसी भी अंतरिक्ष यान (या आकाशीय पिण्ड) से बचने के लिए निकटतम ग्रह या अन्य गुरुत्वाकर्षण पिंड का वेग,
• एक उप-परमाणु कण के रदरफोर्ड प्रकीर्णन के रूप में (आकर्षक बलों के बजाय प्रतिकारक द्वारा कार्य किया गया किन्तु सिद्धांत समान है),
• अतिशयोक्तिपूर्ण नेविगेशन में जब दो बिंदुओं की दूरियों के बीच का अंतर निर्धारित किया जा सकता है। किन्तु स्वयं दूरियों का नहीं निर्धारित किया जा सकता है,

और इसी प्रकार।

अतिशयोक्ति की प्रत्येक शाखा (गणित) में दो भुजाएँ होती हैं। जो अतिशयोक्ति के केंद्र से और अधिक सीधी (निचली वक्रता) बन जाती हैं। तिरछी विपरीत भुजाएँ प्रत्येक शाखा से एक सामान्य रेखा की सीमा में होती हैं। जिसे उन दो भुजाओं का स्पर्शोन्मुख कहा जाता है। तो दो स्पर्शोन्मुख हैं। जिनका प्रतिच्छेदन हाइपरबोला की समरूपता के केंद्र में है। जिसे दर्पण बिंदु के रूप में मान सकते हैं। जिससे प्रत्येक शाखा दूसरी अन्य शाखा का निर्माण करती है। वक्र की स्थिति में $y(x)=1/x$ स्पर्शोन्मुख दो समन्वय अक्ष स्थित हैं।

अतिपरवलय अनेक दीर्घवृत्तों के विश्लेषणात्मक गुणों को साझा करते हैं। जैसे उत्केन्द्रता (गणित), फ़ोकस (ज्यामिति) और डायरेक्ट्रीक्स (शंक्वाकार खंड)। सामान्यतः पत्राचार किसी शब्द में संकेत के परिवर्तन से अधिक नहीं किया जा सकता है। कई अन्य गणितीय वस्तु की उत्पत्ति अतिशयोक्ति में होती है। जैसे कि अतिशयोक्तिपूर्ण परवलय, हाइपरबोलोइड्स (कचरे की टोकरी), अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति (निकोलाई लोबचेव्स्की की प्रसिद्ध गैर- यूक्लिडियन ज्यामिति ), अतिशयोक्तिपूर्ण फंशन (सिंन, कोश, टैन आदि) और जायरोवेक्टर रिक्त स्थान (एक ज्यामिति सापेक्षता के सिद्धांत और क्वांटम यांत्रिकी दोनों में उपयोग के लिए प्रस्तावित किये जाते हैं। जो यूक्लिडियन ज्यामिति का भाग नहीं है)।

व्युत्पत्ति और इतिहास

हाइपरबोला शब्द ग्रीक भाषा से निकला है ὑπερβολή, जिसका अर्थ है ओवर-थ्रो या अत्यधिक, जिससे अंग्रेजी शब्द अतिशयोक्ति े भी निकला है। हाइपरबोले की खोज मेनेकमस ने क्यूब को दोगुना करने की समस्या की जांच में की थी, किन्तु तब इसे मोटे शंकु के खंड कहा जाता था। माना जाता है कि हाइपरबोला शब्द पेरगा के एपोलोनियस (सी. 262-सी. 190 ई.पू.) द्वारा शंकु वर्गों, कॉनिक्स पर अपने निश्चित कार्य में गढ़ा गया है। अन्य दो सामान्य शांकव वर्गों के नाम, दीर्घवृत्त और परबोला, कमी और लागू के लिए संबंधित ग्रीक शब्दों से प्राप्त होते हैं; तीनों नाम पहले के पाइथागोरस शब्दावली से उधार लिए गए हैं, जो एक दिए गए रेखा खंड के साथ निश्चित क्षेत्र के आयतों के पक्ष की तुलना को संदर्भित करता है। आयत को खंड पर लागू किया जा सकता है (अर्थात्, एक समान लंबाई हो), खंड से छोटा हो या खंड से अधिक हो।

परिभाषाएँ

बिंदुओं के स्थान के रूप में

अतिपरवलय: बिंदुओं की दूरी से दो निश्चित बिंदुओं की परिभाषा (foci)

अतिपरवलय: वृत्ताकार नियता के साथ परिभाषा

यूक्लिडियन विमान में एक हाइपरबोला को ज्यामितीय रूप से बिंदुओं के सेट (गणित) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

एक अतिपरवलय बिंदुओं का एक समूह है, जैसे कि किसी भी बिंदु के लिए $P$ सेट का, दूरियों का पूर्ण अंतर $|PF_{1}|,\,|PF_{2}|$ दो निश्चित बिंदुओं के लिए $F_{1},F_{2}$ (foci) स्थिर है, आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है $2a,\,a>0$:

$H=\{P:\left|\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|\right|=2a\}\ .$

मध्यबिंदु $M$ नाभियों को मिलाने वाले रेखाखंड के भाग को अतिपरवलय का केंद्र कहा जाता है। नाभियों से होकर जाने वाली रेखा को दीर्घ अक्ष कहते हैं। इसमें शिखर होते हैं $V_{1},V_{2}$, जिसमें दूरी हो $a$ केंद्र को। दूरी $c$ केंद्र के लिए नाभियों की फोकल दूरी या रैखिक उत्केन्द्रता कहा जाता है। भागफल ${\tfrac {c}{a}}$ विलक्षणता है $e$.

समीकरण $||PF_{2}|-|PF_{1}||=2a$ अलग तरीके से देखा जा सकता है (आरेख देखें):
यदि $c_{2}$ मध्यबिंदु वाला वृत्त है $F_{2}$ और त्रिज्या $2a$, फिर एक बिंदु की दूरी $P$ सर्कल के लिए सही शाखा की $c_{2}$ फोकस की दूरी के बराबर है $F_{1}$:

$$|PF_{1}|=|Pc_{2}|.$$

$c_{2}$ वृत्ताकार नियता कहा जाता है (फोकस से संबंधित $F_{2}$) हाइपरबोला का। अतिपरवलय की बायीं शाखा प्राप्त करने के लिए, संबंधित वृत्ताकार नियता का उपयोग करना होगा $F_{1}$. इस संपत्ति को नीचे दिए गए डायरेक्ट्रिक्स (रेखा) की सहायता से हाइपरबोला की परिभाषा से भ्रमित नहीं होना चाहिए।

=== समीकरण y = A/x === के साथ अतिपरवलय

एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ के रूप में एक आयताकार अतिपरवलय का वर्णन करने के लिए समन्वय प्रणाली को घुमाना

तीन आयताकार अतिपरवलय $y=A/x$ स्पर्शोन्मुख के रूप में समन्वय अक्षों के साथ
लाल: ए = 1; मैजेंटा: ए = 4; नीला: ए = 9

यदि xy-निर्देशांक प्रणाली कोण द्वारा उत्पत्ति के बारे में रोटेशन मैट्रिक्स है $+45^{\circ }$ और नए निर्देशांक $\xi ,\eta$ सौंपा गया है, तो $x={\tfrac {\xi +\eta }{\sqrt {2}}},\;y={\tfrac {-\xi +\eta }{\sqrt {2}}}$

आयताकार अतिपरवलय ${\tfrac {x^{2}-y^{2}}{a^{2}}}=1$ (जिसके अर्ध-अक्ष बराबर हैं) का नया समीकरण है ${\tfrac {2\xi \eta }{a^{2}}}=1$. के लिए हल करना $\eta$ पैदावार $\eta ={\tfrac {a^{2}/2}{\xi }}\ .$ इस प्रकार, एक xy-निर्देशांक प्रणाली में एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ $f:x\mapsto {\tfrac {A}{x}},\;A>0\;,$ समीकरण के साथ

$y={\frac {A}{x}}\;,A>0\;,$ एक आयताकार हाइपरबोला पूरी प्रकार से पहले और तीसरे चतुर्भुज (विमान ज्यामिति) में है

• निर्देशांक अक्ष स्पर्शोन्मुख के रूप में,
• रेखा $y=x$ प्रमुख अक्ष के रूप में,
• बीच में $(0,0)$ और अर्ध-अक्ष $a=b={\sqrt {2A}}\;,$
• शिखर $\left({\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left(-{\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;,$
• शिखरों पर अर्ध-अक्षांश मलाशय और वक्रता की त्रिज्या $p=a={\sqrt {2A}}\;,$
• रैखिक सनकीपन $c=2{\sqrt {A}}$ और विलक्षणता $e={\sqrt {2}}\;,$
• स्पर्शरेखा $y=-{\tfrac {A}{x_{0}^{2}}}x+2{\tfrac {A}{x_{0}}}$ बिंदु पर $(x_{0},A/x_{0})\;.$

द्वारा मूल अतिपरवलय का घूर्णन $-45^{\circ }$ दूसरे और चौथे चतुर्भुज में पूरी प्रकार से एक आयताकार अतिपरवलय का परिणाम होता है, समान स्पर्शोन्मुख, केंद्र, अर्ध-अक्षांश मलाशय, शीर्ष पर वक्रता की त्रिज्या, रैखिक उत्केन्द्रता, और विलक्षणता के स्थिति के लिए $+45^{\circ }$ रोटेशन, समीकरण के साथ

$y={\frac {-A}{x}}\;,A>0\;,$ * अर्ध-अक्ष $a=b={\sqrt {2A}}\;,$

• रेखा $y=-x$ प्रमुख धुरी के रूप में,
• शिखर $\left(-{\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left({\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;.$

हाइपरबोला को समीकरण के साथ स्थानांतरित करना $y={\frac {A}{x}},\ A\neq 0\ ,$ ताकि नया केंद्र हो $(c_{0},d_{0})$, नया समीकरण देता है

$y={\frac {A}{x-c_{0}}}+d_{0}\;,$

और नए स्पर्शोन्मुख हैं $x=c_{0}$ और $y=d_{0}$.
आकार के पैरामीटर $a,b,p,c,e$ कोई बदलाव नहीं।

डायरेक्ट्रिक्स संपत्ति द्वारा

हाइपरबोला: डायरेक्ट्रिक्स संपत्ति

हाइपरबोला: डायरेक्ट्रिक्स संपत्ति के साथ परिभाषा

दूरी पर दो लाइनें ${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}}$ केंद्र से और लघु अक्ष के समानांतर अतिपरवलय की निदेशिका कहलाती है (आरेख देखें)।

मनमाना बिंदु के लिए $P$ अतिपरवलय के एक फोकस और संबंधित नियता की दूरी का भागफल (आरेख देखें) उत्केन्द्रता के बराबर है:

${\frac {|PF_{1}|}{|Pl_{1}|}}={\frac {|PF_{2}|}{|Pl_{2}|}}=e={\frac {c}{a}}\ .$

जोड़ी के लिए सबूत $F_{1},l_{1}$ इस तथ्य से अनुसरण करता है कि $|PF_{1}|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ |Pl_{1}|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}$ और $y^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}$ समीकरण को संतुष्ट करें

$|PF_{1}|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}|Pl_{1}|^{2}=0\ .$

दूसरा स्थिति समान रूप से सिद्ध होता है।

एक उभयनिष्ठ शीर्ष और उभयनिष्ठ अर्द्ध नाभि मलाशय के साथ शांकवों की पेंसिल

उलटा बयान भी सच है और एक हाइपरबोला को परिभाषित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है (पैराबोला की परिभाषा के समान तरीके से):

किसी भी बिंदु के लिए $F$ (फोकस), कोई भी रेखा $l$ (डायरेक्ट्रीक्स) के माध्यम से नहीं $F$ और कोई वास्तविक संख्या $e$ साथ $e>1$ बिंदुओं का समूह (बिंदुओं का स्थान), जिसके लिए बिंदु और रेखा की दूरियों का भागफल है $e$

$H=\left\{P\,{\Biggr |}\,{\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right\}$

एक हाइपरबोला है।

(विकल्प $e=1$ एक पैराबोला पैदा करता है और यदि $e<1$ एक दीर्घवृत्त।)

सबूत

होने देना $F=(f,0),\ e>0$ और मान लो $(0,0)$ वक्र पर एक बिंदु है। निर्देशक $l$ समीकरण है $x=-{\tfrac {f}{e}}$. साथ $P=(x,y)$, रिश्ता $|PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}$ समीकरण बनाता है

$(x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\tfrac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}$ और $x^{2}(e^{2}-1)+2xf(1+e)-y^{2}=0.$

प्रतिस्थापन $p=f(1+e)$ पैदावार

$x^{2}(e^{2}-1)+2px-y^{2}=0.$

यह दीर्घवृत्त का समीकरण है ($e<1$) या एक परवलय ($e=1$) या एक हाइपरबोला ($e>1$). इन सभी गैर-पतित शांकवों में, आम तौर पर, शीर्ष के रूप में मूल होता है (आरेख देखें)।

यदि $e>1$, नए पैरामीटर पेश करें $a,b$ ताकि $e^{2}-1={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}$, और फिर उपरोक्त समीकरण बन जाता है

${\tfrac {(x+a)^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ ,$

जो केंद्र के साथ अतिपरवलय का समीकरण है $(-a,0)$, x-अक्ष प्रमुख अक्ष के रूप में और प्रमुख / लघु अर्ध अक्ष $a,b$.

हाइपरबोला: एक डायरेक्ट्रिक्स का निर्माण

; एक डायरेक्ट्रिक्स का निर्माण

वजह से $c\cdot {\tfrac {a^{2}}{c}}=a^{2}$ बिंदु $L_{1}$ डायरेक्ट्रिक्स का $l_{1}$ (आरेख देखें) और फोकस करें $F_{1}$ वृत्त पर वृत्त व्युत्क्रम के संबंध में व्युत्क्रम हैं $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ (आरेख हरे रंग में)। इसलिए बिंदु $E_{1}$ थेल्स के प्रमेय (आरेख में नहीं दिखाया गया) का उपयोग करके निर्माण किया जा सकता है। निर्देशक $l_{1}$ रेखा के लंबवत है ${\overline {F_{1}F_{2}}}$ बिंदु के माध्यम से $E_{1}$.
का वैकल्पिक निर्माण $E_{1}$: गणना से पता चलता है, वह बिंदु $E_{1}$ इसके माध्यम से लंबवत के साथ स्पर्शोन्मुख का चौराहा है $F_{1}$ (आरेख देखें)।

एक शंकु के समतल खंड के रूप में

हाइपरबोला (लाल): एक शंकु के दो दृश्य और दो डंडेलिन गोले d₁, डी₂

शंकु पर रेखाओं की ढलान से अधिक ढलान वाले शीर्ष के माध्यम से नहीं एक समतल द्वारा एक सीधे दोहरे शंकु का प्रतिच्छेदन एक अतिपरवलय है (आरेख देखें: लाल वक्र)। हाइपरबोला (ऊपर देखें) की परिभाषित संपत्ति को साबित करने के लिए दो डंडेलिन क्षेत्रों का उपयोग किया जाता है $d_{1},d_{2}$, जो गोले हैं जो शंकु को वृत्तों के साथ स्पर्श करते हैं $c_{1}$ , $c_{2}$ और बिंदुओं पर प्रतिच्छेदी (हाइपरबोला) तल $F_{1}$ और $F_{2}$. यह पता चला है: $F_{1},F_{2}$ हाइपरबोला के foci हैं।

1. होने देना $P$ प्रतिच्छेदन वक्र का मनमाना बिंदु बनें।
2. शंकु युक्त Generatrix $P$ वृत्त को काटता है $c_{1}$ बिंदु पर $A$ और घेरा $c_{2}$ एक बिंदु पर $B$.
3. रेखा खंड ${\overline {PF_{1}}}$ और ${\overline {PA}}$ गोले के स्पर्शरेखा हैं $d_{1}$ और, इसलिए, समान लंबाई के हैं।
4. रेखा खंड ${\overline {PF_{2}}}$ और ${\overline {PB}}$ गोले के स्पर्शरेखा हैं $d_{2}$ और, इसलिए, समान लंबाई के हैं।
5. परिणाम है: $|PF_{1}|-|PF_{2}|=|PA|-|PB|=|AB|$ हाइपरबोला बिंदु से स्वतंत्र है $P$, क्योंकि कोई फर्क नहीं पड़ता कि बिंदु कहाँ है $P$ है, $A,B$ मंडलियों पर होना है $c_{1}$ , $c_{2}$, और रेखा खंड $AB$ शिखर को पार करना है। इसलिए, बिंदु के रूप में $P$ लाल वक्र (हाइपरबोला), रेखा खंड के साथ चलता है ${\overline {AB}}$ बस अपनी लंबाई को बदले बिना एपेक्स के बारे में घूमता है।

पिन और स्ट्रिंग निर्माण

हाइपरबोला: पिन और स्ट्रिंग निर्माण

एक अतिपरवलय की परिभाषा इसके foci और इसके परिपत्र निदेशकों (ऊपर देखें) द्वारा पिन, एक स्ट्रिंग और एक शासक की सहायता से एक चाप खींचने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है:

0. फोकस चुनें $F_{1},F_{2}$, शिखर $V_{1},V_{2}$ और उदाहरण के लिए एक वृत्ताकार निर्देश $c_{2}$ (त्रिज्या के साथ सर्कल $2a$)</ली>
1. एक शासक बिंदु पर तय होता है $F_{2}$ चारों ओर घूमने के लिए स्वतंत्र $F_{2}$. बिंदु $B$ दूरी पर अंकित है $2a$.
2. लंबाई के साथ एक तार $|AB|$ तैयार है।
3. स्ट्रिंग का एक छोर बिंदु पर पिन किया गया है $A$ शासक पर, दूसरे छोर को इंगित करने के लिए पिन किया गया है $F_{1}$.
4. एक पेन लें और डोरी को रूलर के किनारे से मजबूती से पकड़ें।
5. शासक को चारों ओर घुमाना $F_{2}$ हाइपरबोला की दाहिनी शाखा का चाप बनाने के लिए पेन को संकेत देता है, क्योंकि $|PF_{1}|=|PB|$ (परिपत्र निर्देशों द्वारा अतिपरवलय की परिभाषा देखें)।

हाइपरबोला की स्टेनर पीढ़ी

हाइपरबोला: स्टेनर पीढ़ी

अतिपरवलय y = 1/x: स्टेनर पीढ़ी

हाइपरबोला के एकल बिंदुओं के निर्माण के लिए निम्नलिखित विधि स्टेनर शांकव पर निर्भर करती है:

दो पेंसिल दी है (गणित) $B(U),B(V)$ दो बिंदुओं पर रेखाओं का $U,V$ (सभी पंक्तियां शामिल हैं $U$ और $V$, क्रमशः) और एक प्रक्षेपी किन्तु परिप्रेक्ष्य मानचित्रण नहीं $\pi$ का $B(U)$ पर $B(V)$, तो संबंधित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु एक गैर-पतित प्रक्षेपी शांकव खंड बनाते हैं।

हाइपरबोला के बिंदुओं की पीढ़ी के लिए ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ कोई शीर्ष पर पेंसिल का उपयोग करता है $V_{1},V_{2}$. होने देना $P=(x_{0},y_{0})$ हाइपरबोला का एक बिंदु बनें और $A=(a,y_{0}),B=(x_{0},0)$. रेखा खंड ${\overline {BP}}$ को समान दूरी वाले खंडों में विभाजित किया गया है और इस विभाजन को विकर्ण के समानांतर प्रक्षेपित किया गया है $AB$ रेखा खंड पर दिशा के रूप में ${\overline {AP}}$ (आरेख देखें)। समानांतर प्रक्षेपण पेंसिल के बीच प्रोजेक्टिव मैपिंग का हिस्सा है $V_{1}$ और $V_{2}$ आवश्यकता है। किसी भी दो संबंधित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु $S_{1}A_{i}$ और $S_{2}B_{i}$ विशिष्ट रूप से परिभाषित हाइपरबोला के बिंदु हैं।

टिप्पणी: उपखंड को बिंदुओं से आगे बढ़ाया जा सकता है $A$ और $B$ अधिक अंक प्राप्त करने के लिए, किन्तु प्रतिच्छेदन बिंदुओं का निर्धारण अधिक गलत हो जाएगा। एक बेहतर विचार समरूपता द्वारा पहले से निर्मित बिंदुओं का विस्तार करना है (एनीमेशन देखें)।

टिप्पणी:

1. दीर्घवृत्त और परवलय के लिए भी स्टेनर पीढ़ी मौजूद है।
2. स्टाइनर पीढ़ी को कभी-कभी एक समांतर चतुर्भुज विधि कहा जाता है क्योंकि कोई अन्य बिंदुओं का उपयोग कर सकता है बजाय कोने के, जो एक आयत के बजाय एक समांतर चतुर्भुज से शुरू होता है।

=== अतिपरवलय y = a/(x - b) + c और 3-बिंदु-रूप === के लिए खुदा हुआ कोण

अतिपरवलय: उत्कीर्ण कोण प्रमेय

समीकरण के साथ एक अतिपरवलय $y={\tfrac {a}{x-b}}+c,\ a\neq 0$ विशिष्ट रूप से तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है $(x_{1},y_{1}),\;(x_{2},y_{2}),\;(x_{3},y_{3})$ भिन्न x- और y-निर्देशांक के साथ। आकृति मापदंडों को निर्धारित करने का एक सरल तरीका $a,b,c$ अतिपरवलय के लिए उत्कीर्ण कोण प्रमेय का उपयोग करता है:

समीकरणों वाली दो रेखाओं के बीच 'कोण मापने' के लिए $y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}\ ,m_{1},m_{2}\neq 0$ इस संदर्भ में भागफल का उपयोग किया जाता है

${\frac {m_{1}}{m_{2}}}\ .$

हलकों के लिए उत्कीर्ण कोण प्रमेय के अनुरूप एक प्राप्त होता है

अतिपरवलय के लिए खुदा कोण प्रमेय:

चार बिंदुओं के लिए $P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,4,\ x_{i}\neq x_{k},y_{i}\neq y_{k},i\neq k$ (आरेख देखें) निम्नलिखित कथन सत्य है:

चार बिंदु समीकरण के साथ एक अतिपरवलय पर हैं $y={\tfrac {a}{x-b}}+c$ अगर और केवल अगर कोण पर $P_{3}$ और $P_{4}$ उपरोक्त माप के अर्थ में बराबर हैं। यानी अगर

${\frac {(y_{4}-y_{1})}{(x_{4}-x_{1})}}{\frac {(x_{4}-x_{2})}{(y_{4}-y_{2})}}={\frac {(y_{3}-y_{1})}{(x_{3}-x_{1})}}{\frac {(x_{3}-x_{2})}{(y_{3}-y_{2})}}$

(प्रमाण: सीधी गणना। यदि बिंदु एक अतिपरवलय पर हैं, तो कोई यह मान सकता है कि अतिपरवलय का समीकरण है $y=a/x$.) अतिपरवलय के लिए उत्कीर्ण कोण प्रमेय का एक परिणाम है अतिपरवलय समीकरण का 3-बिंदु-रूप:

अतिपरवलय का समीकरण 3 बिंदुओं से निर्धारित होता है $P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,\ x_{i}\neq x_{k},y_{i}\neq y_{k},i\neq k$ समीकरण का हल है

${\frac {({\color {red}y}-y_{1})}{({\color {green}x}-x_{1})}}{\frac {({\color {green}x}-x_{2})}{({\color {red}y}-y_{2})}}={\frac {(y_{3}-y_{1})}{(x_{3}-x_{1})}}{\frac {(x_{3}-x_{2})}{(y_{3}-y_{2})}}$

के लिए ${\color {red}y}$.

=== यूनिट हाइपरबोला x² - y² = 1 === की एक सजातीय छवि के रूप में

हाइपरबोला इकाई हाइपरबोला की एक सजातीय छवि के रूप में

अतिपरवलय की एक अन्य परिभाषा affine परिवर्तन ों का उपयोग करती है:

कोई भी अतिपरवलय समीकरण के साथ इकाई अतिपरवलय की सजातीय छवि है $x^{2}-y^{2}=1$.

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व यूक्लिडियन विमान के एक सजातीय परिवर्तन का रूप है ${\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}$, कहां $A$ एक नियमित मैट्रिक्स (गणित) है (इसका निर्धारक 0 नहीं है) और ${\vec {f}}_{0}$ एक मनमाना वेक्टर है। यदि ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ मैट्रिक्स के कॉलम वैक्टर हैं $A$, इकाई अतिपरवलय $(\pm \cosh(t),\sinh(t)),t\in \mathbb {R} ,$ हाइपरबोला पर मैप किया गया है

${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t\ .$

${\vec {f}}_{0}$ केंद्र है, ${\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}$ हाइपरबोला का एक बिंदु और ${\vec {f}}_{2}$ इस बिंदु पर एक स्पर्शरेखा सदिश।

कोने सामान्य तौर पर वैक्टर ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ लंबवत नहीं हैं। यानी सामान्य तौर पर ${\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}$ अतिपरवलय के शीर्ष नहीं हैं। किन्तु ${\vec {f}}_{1}\pm {\vec {f}}_{2}$ स्पर्शोन्मुख की दिशाओं में इंगित करें। बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिश ${\vec {p}}(t)$ है

${\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t\ .$

क्योंकि एक शीर्ष पर स्पर्शरेखा अतिपरवलय के प्रमुख अक्ष के लंबवत होती है, एक को पैरामीटर मिलता है $t_{0}$ समीकरण से एक शीर्ष का

${\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t\right)=0$

और इसलिए से

$\coth(2t_{0})=-{\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}+{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\ ,$

कौन सी पैदावार

$t_{0}={\tfrac {1}{4}}\ln {\tfrac {\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}\right)^{2}}{\left({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}\right)^{2}}}.$

(सूत्र $\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=\cosh 2x,\ 2\sinh x\cosh x=\sinh 2x,\ \operatorname {arcoth} x={\tfrac {1}{2}}\ln {\tfrac {x+1}{x-1}}$ इस्तेमाल किया गया।)

हाइपरबोला के दो शीर्ष हैं ${\vec {f}}_{0}\pm \left({\vec {f}}_{1}\cosh t_{0}+{\vec {f}}_{2}\sinh t_{0}\right).$ निहित प्रतिनिधित्व के लिए पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व को हल करना $\;\cosh t,\sinh t\;$ क्रैमर के नियम और उपयोग द्वारा $\;\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t-1=0\;$, किसी को निहित प्रतिनिधित्व मिलता है

$\det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})^{2}=0$.

अंतरिक्ष में हाइपरबोला इस खंड में एक अतिपरवलय की परिभाषा अंतरिक्ष में भी, एक मनमाना अतिपरवलय का पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व देती है, यदि कोई अनुमति देता है ${\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}$ अंतरिक्ष में वैक्टर बनने के लिए।

=== हाइपरबोला y = 1/x === की एक सजातीय छवि के रूप में

अतिपरवलय y = 1/x की सघन छवि के रूप में

क्योंकि इकाई अतिपरवलय $x^{2}-y^{2}=1$ हाइपरबोला के समान रूप से समतुल्य है $y=1/x$, एक मनमाना हाइपरबोला को हाइपरबोला की सजातीय छवि (पिछला अनुभाग देखें) के रूप में माना जा सकता है $y=1/x\ :$

${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\quad t\neq 0\ .$

$M:{\vec {f}}_{0}$ हाइपरबोला, वैक्टर का केंद्र है ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ स्पर्शोन्मुख की दिशाएँ हैं और ${\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}$ हाइपरबोला का एक बिंदु है। स्पर्शरेखा सदिश है

${\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}.$

एक शीर्ष पर स्पर्शरेखा प्रमुख अक्ष के लंबवत होती है। अत

${\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)={\vec {f}}_{1}^{2}t-{\vec {f}}_{2}^{2}{\tfrac {1}{t^{3}}}=0$

और शीर्ष का पैरामीटर है

$t_{0}=\pm {\sqrt[{4}]{\tfrac {{\vec {f}}_{2}^{2}}{{\vec {f}}_{1}^{2}}}}.$

$|{\vec {f}}_{1}|=|{\vec {f}}_{2}|$ के बराबर है $t_{0}=\pm 1$ और ${\vec {f}}_{0}\pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})$ अतिपरवलय के शीर्ष हैं।

इस खंड में पेश किए गए हाइपरबोला के प्रतिनिधित्व का उपयोग करके हाइपरबोला के निम्नलिखित गुण आसानी से सिद्ध होते हैं।

स्पर्शरेखा निर्माण

स्पर्शरेखा निर्माण: स्पर्शोन्मुख और P दिया → स्पर्शरेखा

स्पर्शरेखा सदिश को गुणनखंड द्वारा फिर से लिखा जा सकता है:

${\vec {p}}'(t)={\tfrac {1}{t}}\left({\vec {f}}_{1}t-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)\ .$

इस का मतलब है कि

विकर्ण $AB$ समांतर चतुर्भुज का $M:\ {\vec {f}}_{0},\ A={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t,\ B:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\ P:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}$ अतिपरवलय बिंदु पर स्पर्शरेखा के समानांतर है $P$ (आरेख देखें)।

यह संपत्ति हाइपरबोला पर एक बिंदु पर स्पर्शरेखा बनाने का एक तरीका प्रदान करती है।

हाइपरबोला की यह संपत्ति पास्कल के प्रमेय के 3-बिंदु-अपघटन का एक संबधित संस्करण है। ग्रे समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल: ग्रे समांतरोग्राम का क्षेत्र $MAPB$ उपरोक्त आरेख में है

${\text{Area}}={\Big |}\det \left(t{\vec {f}}_{1},{\tfrac {1}{t}}{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}={\Big |}\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}=\cdots ={\frac {a^{2}+b^{2}}{4}}$

और इसलिए बिंदु से स्वतंत्र $P$. अंतिम समीकरण स्थिति की गणना से आता है, जहां $P$ एक शीर्ष है और अतिपरवलय अपने विहित रूप में है ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .$

बिंदु निर्माण

बिंदु निर्माण: स्पर्शोन्मुख और पी₁ दिए गए हैं → पी₂

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व वाले हाइपरबोला के लिए ${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}$ (सरलता के लिए केंद्र मूल है) निम्नलिखित सत्य है:

किन्हीं दो बिंदुओं के लिए $P_{1}:\ {\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}},\ P_{2}:\ {\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}}$ बिन्दु

$A:\ {\vec {a}}={\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}},\ B:\ {\vec {b}}={\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}}$

हाइपरबोला के केंद्र के साथ संरेख हैं (आरेख देखें)।

सरल प्रमाण समीकरण का एक परिणाम है ${\tfrac {1}{t_{1}}}{\vec {a}}={\tfrac {1}{t_{2}}}{\vec {b}}$.

यह संपत्ति हाइपरबोला के अंक बनाने की संभावना प्रदान करती है यदि स्पर्शोन्मुख और एक बिंदु दिया जाता है।

हाइपरबोला की यह संपत्ति पास्कल के प्रमेय के 4-बिंदु-अपघटन का एक सजातीय संस्करण है।

स्पर्शरेखा-स्पर्शस्पर्शी-त्रिभुज

अतिपरवलय: स्पर्शरेखा-स्पर्शस्पर्शी-त्रिकोण

सादगी के लिए हाइपरबोला का केंद्र मूल और सदिश हो सकता है ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ समान लंबाई हो। यदि अंतिम धारणा पूरी नहीं हुई है, तो धारणा को सच करने के लिए पहले एक पैरामीटर परिवर्तन (ऊपर देखें) लागू कर सकते हैं। अत $\pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})$ शिखर हैं, $\pm ({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2})$ छोटी धुरी फैलाओ और एक हो जाता है $|{\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}|=a$ और $|{\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}|=b$.

बिंदु पर स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के लिए ${\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{1}t_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{0}}}$ स्पर्शोन्मुख के साथ एक अंक प्राप्त करता है

$C=2t_{0}{\vec {f}}_{1},\ D={\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}.$

त्रिभुज का क्षेत्र फल $M,C,D$ 2 × 2 निर्धारक द्वारा गणना की जा सकती है:

$A={\tfrac {1}{2}}{\Big |}\det \left(2t_{0}{\vec {f}}_{1},{\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}=2{\Big |}\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}$

(निर्धारकों के लिए नियम देखें)। $|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})|$ द्वारा उत्पन्न रोम्बस का क्षेत्र है ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल के आधे के बराबर होता है। विकर्ण अर्ध-अक्ष हैं $a,b$ हाइपरबोला का। अत:

त्रिभुज का क्षेत्रफल $MCD$ हाइपरबोला के बिंदु से स्वतंत्र है: $A=ab.$

एक वृत्त का व्युत्क्रम

एक वृत्त C में एक वृत्त B का पारस्परिक (ज्यामिति) हमेशा एक हाइपरबोला जैसे शंकु खंड उत्पन्न करता है। एक वृत्त C में पारस्परिकता की प्रक्रिया में क्रमशः प्रत्येक रेखा और बिंदु को उनके संबंधित ध्रुव और ध्रुवीय के साथ एक ज्यामितीय आकृति में बदलना शामिल है। एक रेखा का ध्रुव व्युत्क्रम ज्यामिति है # वृत्त C के निकटतम बिंदु का वृत्त व्युत्क्रम, जबकि एक बिंदु का ध्रुवीय विलोम है, अर्थात्, एक रेखा जिसका निकटतम बिंदु C बिंदु का व्युत्क्रम है।

पारस्परिकता द्वारा प्राप्त शंक्वाकार खंड की उत्केन्द्रता, दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी का अनुपात व्युत्क्रम वृत्त C की त्रिज्या r से है। यदि 'B' और 'C' संबंधित वृत्तों के केंद्रों पर बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो

$e={\frac {\overline {BC}}{r}}.$

चूँकि एक अतिपरवलय की उत्केन्द्रता हमेशा एक से अधिक होती है, केंद्र B को प्रत्यागामी वृत्त C के बाहर स्थित होना चाहिए।

इस परिभाषा का अर्थ है कि अतिपरवलय वृत्त बी की स्पर्श रेखाओं के ध्रुवों का लोकस (गणित) दोनों है, साथ ही बी पर बिंदुओं की ध्रुवीय रेखाओं का आवरण (गणित) है। . इसके विपरीत, सर्कल 'बी' हाइपरबोला पर बिंदुओं के ध्रुवों का लिफाफा है, और हाइपरबोला को स्पर्शरेखा रेखाओं के ध्रुवों का स्थान है। बी की दो स्पर्श रेखाओं का कोई (परिमित) ध्रुव नहीं है क्योंकि वे पारस्परिक वृत्त सी के केंद्र सी से होकर गुजरती हैं; 'बी' पर संबंधित स्पर्शरेखा बिंदुओं के ध्रुव हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख हैं। हाइपरबोला की दो शाखाएँ वृत्त बी के दो भागों के अनुरूप हैं जो इन स्पर्शरेखा बिंदुओं से अलग होती हैं।

द्विघात समीकरण

एक हाइपरबोला को समतल (ज्यामिति) में कार्तीय निर्देशांक (x, y) में द्वितीय-डिग्री समीकरण के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

$A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0,$

बशर्ते कि स्थिरांक A_xx, ए_xy, ए_yy, बी_x, बी_y, और सी निर्धारक स्थिति को पूरा करते हैं

$D:={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}\\A_{xy}&A_{yy}\end{vmatrix}}<0.\,$

इस निर्धारक को पारंपरिक रूप से विवेचक#विवेचक कहा जाता है, जो शंक्वाकार खंड के शंकु खंड का होता है। अतिपरवलय का एक विशेष स्थिति - पतित शंकु जिसमें दो अन्तर्विभाजक रेखाएँ होती हैं - तब होता है जब एक अन्य निर्धारक शून्य होता है:

$\Delta :={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{vmatrix}}=0.$

इस निर्धारक Δ को कभी-कभी शांकव परिच्छेद का विविक्तकर कहा जाता है। कार्टेसियन निर्देशांक में हाइपरबोला के उपरोक्त सामान्य पैरामीट्रिजेशन को देखते हुए, गुणांक के संदर्भ में कॉनिक सेक्शन # सनकीपन में सूत्र का उपयोग करके सनकीपन पाया जा सकता है।

केंद्र (एक्स_c, वाई_c) हाइपरबोला के सूत्रों से निर्धारित किया जा सकता है

$x_{c}=-{\frac {1}{D}}{\begin{vmatrix}B_{x}&A_{xy}\\B_{y}&A_{yy}\end{vmatrix}};$

$y_{c}=-{\frac {1}{D}}{\begin{vmatrix}A_{xx}&B_{x}\\A_{xy}&B_{y}\end{vmatrix}}.$

नए निर्देशांक के संदर्भ में, ξ = x − x_c और η = y − y_c, अतिपरवलय के परिभाषित समीकरण को लिखा जा सकता है

$A_{xx}\xi ^{2}+2A_{xy}\xi \eta +A_{yy}\eta ^{2}+{\frac {\Delta }{D}}=0.$

अतिपरवलय के प्रमुख अक्ष, धनात्मक x-अक्ष के साथ φ कोण बनाते हैं, जो इसके द्वारा दिया गया है

$\tan 2\varphi ={\frac {2A_{xy}}{A_{xx}-A_{yy}}}.$

निर्देशांक अक्षों को घुमाना ताकि x-अक्ष अनुप्रस्थ अक्ष के साथ संरेखित हो, समीकरण को उसके 'विहित रूप' में लाता है

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.$

मेजर और माइनर सेमीअक्स ए और बी को समीकरणों द्वारा परिभाषित किया गया है

$a^{2}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}},$

$b^{2}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{2}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}},$

जहां एल₁ और λ₂ द्विघात समीकरण के एक समारोह की जड़ हैं

$\lambda ^{2}-\left(A_{xx}+A_{yy}\right)\lambda +D=0.$

तुलना के लिए, एक पतित हाइपरबोला (दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से मिलकर) के लिए संबंधित समीकरण है

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.$

किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्श रेखा (x₀, वाई₀) हाइपरबोला पर समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है

$Ex+Fy+G=0$

जहां ई, एफ और जी द्वारा परिभाषित किया गया है

$E=A_{xx}x_{0}+A_{xy}y_{0}+B_{x},$

$F=A_{xy}x_{0}+A_{yy}y_{0}+B_{y},$

$G=B_{x}x_{0}+B_{y}y_{0}+C.$

एक ही बिंदु पर अतिपरवलय के लिए सामान्य (ज्यामिति) समीकरण द्वारा दिया जाता है

$F(x-x_{0})-E(y-y_{0})=0.$

सामान्य रेखा स्पर्श रेखा के लंबवत होती है, और दोनों एक ही बिंदु (x₀, वाई₀).

समीकरण से

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\qquad 0<b\leq a,$

बायां फोकस है $(-ae,0)$ और सही फोकस है $(ae,0),$ कहां e विलक्षणता है। एक बिंदु (x, y) से बाएँ और दाएँ नाभियों के रूप में दूरियों को निरूपित करें $r_{1}\,\!$ और $r_{2}.\,\!$ दाहिनी शाखा पर एक बिंदु के लिए,

$r_{1}-r_{2}=2a,\,\!$

और बाईं शाखा पर एक बिंदु के लिए,

$r_{2}-r_{1}=2a.\,\!$

इसे इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है:

यदि (x,y) हाइपरबोला पर एक बिंदु है तो बाएं फोकल बिंदु की दूरी है

$r_{1}^{2}=(x+ae)^{2}+y^{2}=x^{2}+2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex+a)^{2}.$

दाएँ केंद्र बिंदु के लिए दूरी है

$r_{2}^{2}=(x-ae)^{2}+y^{2}=x^{2}-2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex-a)^{2}.$

अगर (x,y) हाइपरबोला की दाहिनी शाखा पर एक बिंदु है $ex>a\,\!$ और

$r_{1}=ex+a,\,\!$

$r_{2}=ex-a.\,\!$

इन समीकरणों को घटाने पर प्राप्त होता है

$r_{1}-r_{2}=2a.\,\!$

अगर (x,y) तब हाइपरबोला की बाईं शाखा पर एक बिंदु है $ex<-a\,\!$ और

$r_{1}=-ex-a,\,\!$

$r_{2}=-ex+a.\,\!$

इन समीकरणों को घटाने पर प्राप्त होता है

$r_{2}-r_{1}=2a.\,\!$

कार्तीय निर्देशांक में

समीकरण

यदि कार्टेशियन निर्देशांक पेश किए जाते हैं जैसे मूल हाइपरबोला का केंद्र है और एक्स-अक्ष प्रमुख अक्ष है, तो हाइपरबोला को पूर्व-पश्चिम-उद्घाटन कहा जाता है और

फोकस बिंदु हैं $F_{1}=(c,0),\ F_{2}=(-c,0)$,

शिखर हैं $V_{1}=(a,0),\ V_{2}=(-a,0)$.

मनमाना बिंदु के लिए $(x,y)$ फोकस की दूरी $(c,0)$ है

${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}$ और दूसरे फोकस के लिए ${\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$. इसलिए बिंदु $(x,y)$ हाइपरबोला पर है यदि निम्न शर्त पूरी होती है

${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=\pm 2a\ .$

उपयुक्त वर्गों द्वारा वर्गमूलों को हटाइए और संबंध का उपयोग कीजिए $b^{2}=c^{2}-a^{2}$ हाइपरबोला का समीकरण प्राप्त करने के लिए:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .$

इस समीकरण को हाइपरबोला का विहित रूप कहा जाता है, क्योंकि कोई भी हाइपरबोला, कार्टेशियन अक्षों के सापेक्ष इसके अभिविन्यास की परवाह किए बिना और इसके केंद्र के स्थान की परवाह किए बिना, चर के परिवर्तन द्वारा इस रूप में परिवर्तित किया जा सकता है, जो एक हाइपरबोला देता है मूल से सर्वांगसमता (ज्यामिति) (#द्विघात समीकरण देखें)।

सममिति के अक्ष (ज्यामिति) या प्रमुख अक्ष अनुप्रस्थ अक्ष हैं (लंबाई 2a के खंड को कोने पर समापन बिंदु के साथ) और संयुग्मित अक्ष (लंबाई 2b के खंड को अनुप्रस्थ अक्ष के लंबवत और अतिपरवलय के केंद्र में मध्य बिंदु के साथ) ). दीर्घवृत्त के विपरीत, एक अतिपरवलय में केवल दो शीर्ष होते हैं: $(a,0),\;(-a,0)$. दो अंक $(0,b),\;(0,-b)$ संयुग्मी कुल्हाड़ियों पर हाइपरबोला पर नहीं हैं।

यह समीकरण से अनुसरण करता है कि हाइपरबोला दोनों समन्वय अक्षों के संबंध में सममित है और इसलिए मूल के संबंध में सममित है।

विलक्षणता

उपरोक्त विहित रूप में एक अतिपरवलय के लिए, विलक्षणता (गणित) द्वारा दी गई है

${\textstyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}$

दो अतिपरवलय एक दूसरे से समानता (ज्यामिति) हैं - जिसका अर्थ है कि उनका आकार समान है, ताकि अनुवाद (गणित) , रोटेशन (गणित) , प्रतिबिंब (गणित) , और स्केलिंग (आवर्धन) द्वारा एक को दूसरे में बदला जा सके - अगर और केवल अगर उनके पास समान विलक्षणता है।

स्पर्शोन्मुख

हाइपरबोला: अर्ध-अक्ष ए, बी, रैखिक विलक्षणता सी, सेमी लेटस रेक्टम पी

हाइपरबोला: 3 गुण

के लिए अतिपरवलय के समीकरण (ऊपर) को हल करना $y$ पैदावार

$y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}.$

इससे यह पता चलता है कि अतिपरवलय दो रेखाओं तक पहुंचता है

$y=\pm {\frac {b}{a}}x$

बड़े मूल्यों के लिए $|x|$. ये दो रेखाएँ केंद्र (मूल) पर प्रतिच्छेद करती हैं और अतिपरवलय की अनन्तस्पर्शी कहलाती हैं ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .$ दूसरे चित्र की सहायता से यह देखा जा सकता है

${\color {blue}{(1)}}$ फोकस से किसी भी स्पर्शोन्मुख की लम्बवत दूरी है $b$ (अर्ध-लघु अक्ष)।

हेसे सामान्य रूप से ${\tfrac {bx\pm ay}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}=0$ asymptotes और हाइपरबोला के समीकरण को प्राप्त होता है:

${\color {magenta}{(2)}}$ हाइपरबोला पर एक बिंदु से दोनों स्पर्शोन्मुख तक की दूरी का उत्पाद स्थिर है ${\tfrac {a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,$ जिसे विलक्षणता ई के रूप में भी लिखा जा सकता है $\left({\tfrac {b}{e}}\right)^{2}.$

समीकरण से $y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$ हाइपरबोला (ऊपर) से कोई भी प्राप्त कर सकता है:

${\color {green}{(3)}}$ एक बिंदु P से दो शीर्षों तक की रेखाओं के ढलानों का गुणनफल स्थिरांक होता है $b^{2}/a^{2}\ .$

इसके अतिरिक्त, ऊपर (2) से यह दिखाया जा सकता है कि:${\color {red}{(4)}}$ हाइपरबोला पर एक बिंदु से स्पर्शोन्मुख के समानांतर रेखाओं के साथ स्पर्शोन्मुख तक की दूरी का उत्पाद स्थिर है ${\tfrac {a^{2}+b^{2}}{4}}.$

सेमी-लेटस रेक्टम

अतिपरवलय के प्रमुख अक्ष के लम्बवत् एक foci के माध्यम से जीवा की लंबाई को नाभि मलाशय कहा जाता है। इसका आधा अर्ध-लेटस मलाशय है $p$. एक गणना दर्शाती है

$p={\frac {b^{2}}{a}}.$

अर्ध-सीधी ओर $p$ शीर्षों पर वक्रता की त्रिज्या के रूप में भी देखा जा सकता है।

स्पर्शरेखा

एक बिंदु पर स्पर्शरेखा के समीकरण को निर्धारित करने का सबसे सरल तरीका $(x_{0},y_{0})$ निहित भेदभाव समीकरण है ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ हाइपरबोला का। dy/dx को y′ के रूप में नकारते हुए, यह उत्पन्न करता है

${\frac {2x}{a^{2}}}-{\frac {2yy'}{b^{2}}}=0\ \Rightarrow \ y'={\frac {x}{y}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\ \Rightarrow \ y={\frac {x_{0}}{y_{0}}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}(x-x_{0})+y_{0}.$

इसके संबंध में ${\tfrac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1$, बिंदु पर स्पर्शरेखा का समीकरण $(x_{0},y_{0})$ है

${\frac {x_{0}}{a^{2}}}x-{\frac {y_{0}}{b^{2}}}y=1.$

एक विशेष स्पर्शरेखा रेखा अतिपरवलय को अन्य शंकु वर्गों से अलग करती है। मान लीजिए f शीर्ष V (हाइपरबोला और इसके अक्ष दोनों पर दो फोकस के माध्यम से) से निकट फोकस तक की दूरी है। फिर दूरी, उस अक्ष के लंबवत रेखा के साथ, उस फोकस से हाइपरबोला पर एक बिंदु पी तक 2f से अधिक है। P पर अतिपरवलय की स्पर्श रेखा उस अक्ष को बिंदु Q पर 45° से अधिक के कोण ∠PQV पर प्रतिच्छेद करती है।

आयताकार अतिपरवलय

यदि $a=b$ हाइपरबोला को आयताकार (या समबाहु) कहा जाता है, क्योंकि इसके स्पर्शोन्मुख समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। इस स्थिति के लिए, रैखिक विलक्षणता है $c={\sqrt {2}}a$, विलक्षणता $e={\sqrt {2}}$ और अर्ध-लेटस मलाशय $p=a$. समीकरण का ग्राफ $y=1/x$ एक आयताकार हाइपरबोला है।

=== हाइपरबोलिक साइन/कोसाइन === के साथ पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व हाइपरबोलिक फ़ंक्शन का उपयोग करना $\cosh ,\sinh$, हाइपरबोला का पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ प्राप्त किया जा सकता है, जो दीर्घवृत्त के पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व के समान है:

$(\pm a\cosh t,b\sinh t),\,t\in \mathbb {R} \ ,$

जो कार्टेशियन समीकरण को संतुष्ट करता है क्योंकि $\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1.$ आगे के पैरामीट्रिक निरूपण नीचे दिए गए अनुभाग #पैरामेट्रिक समीकरणों में दिए गए हैं।

यहां a = b = 1 इकाई हाइपरबोला को नीले रंग में और इसके संयुग्मित हाइपरबोला को हरे रंग में देते हुए, समान लाल स्पर्शोन्मुख साझा करते हुए।

संयुग्मी अतिपरवलय

अदला बदली ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}$ और ${\frac {y^{2}}{b^{2}}}$ संयुग्म अतिपरवलय का समीकरण प्राप्त करने के लिए (आरेख देखें):

${\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1\ ,$ रूप में भी लिखा है

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1\ .$

ध्रुवीय निर्देशांक में

अतिपरवलय: ध्रुवीय ध्रुव = फोकस के साथ समन्वय करता है

हाइपरबोला: ध्रुवीय ध्रुव = केंद्र के साथ समन्वय करता है

उपयोग करके हाइपरबोला का एनिमेटेड प्लॉट $r={\frac {p}{1-e\cos \theta }}$

ध्रुव के लिए = फोकस:

हाइपरबोला के लिए आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले ध्रुवीय निर्देशांक को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के सापेक्ष परिभाषित किया जाता है, जिसका 'फ़ोकस में मूल' होता है और इसका x-अक्ष कैनोनिकल समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति की ओर इशारा करता है जैसा कि पहले चित्र में दिखाया गया है।< बीआर /> इस स्थिति में कोण $\varphi$ सच्ची विसंगति कहलाती है।

इस समन्वय प्रणाली के सापेक्ष किसी के पास वह है

$r={\frac {p}{1\mp e\cos \varphi }},\quad p={\tfrac {b^{2}}{a}}$

और

$-\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right)<\varphi <\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right).$

ध्रुव = केंद्र के लिए:

विहित समन्वय प्रणाली के सापेक्ष ध्रुवीय निर्देशांक के साथ (दूसरा आरेख देखें) एक के पास है

$r={\frac {b}{\sqrt {e^{2}\cos ^{2}\varphi -1}}}.\,$

हाइपरबोला की दाहिनी शाखा के लिए की सीमा $\varphi$ है

$-\arccos \left({\frac {1}{e}}\right)<\varphi <\arccos \left({\frac {1}{e}}\right).$

पैरामीट्रिक समीकरण

समीकरण के साथ एक अतिपरवलय ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ कई पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

1. ${\begin{cases}x=\pm a\cosh t,\\y=b\sinh t,\end{cases}}\qquad t\in \mathbb {R} .$
2. ${\begin{cases}x=\pm a{\tfrac {t^{2}+1}{2t}},\\y=b{\tfrac {t^{2}-1}{2t}},\end{cases}}\qquad t>0$ (तर्कसंगत प्रतिनिधित्व)।
3. ${\begin{cases}x={\frac {a}{\cos t}}=a\sec t,\\y=\pm b\tan t,\end{cases}}\qquad 0\leq t<2\pi ,\ t\neq {\frac {\pi }{2}},\ t\neq {\frac {3}{2}}\pi .$
4. स्पर्शरेखा ढलान पैरामीटर के रूप में:

   एक पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व, जो ढलान का उपयोग करता है $m$ हाइपरबोला के एक बिंदु पर स्पर्शरेखा को दीर्घवृत्त स्थिति के अनुरूप प्राप्त किया जा सकता है: दीर्घवृत्त स्थिति में बदलें $b^{2}$ द्वारा $-b^{2}$ और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के लिए सूत्रों का उपयोग करें। एक को मिलता है

   ${\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}}},{\frac {-b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}}}\right),\quad |m|>b/a.$

   ${\vec {c}}_{-}$ ऊपरी है, और ${\vec {c}}_{+}$ हाइपरबोला का निचला आधा भाग। ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा वाले बिंदु (कोने $(\pm a,0)$) प्रतिनिधित्व के अंतर्गत नहीं आते हैं।

   बिंदु पर स्पर्शरेखा का समीकरण ${\vec {c}}_{\pm }(m)$ है

   $y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}.$

   हाइपरबोला के स्पर्शरेखाओं का यह विवरण हाइपरबोला के ऑर्थोप्टिक (ज्यामिति) के निर्धारण के लिए एक आवश्यक उपकरण है।

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य

Main article: Hyperbolic functions

यूनिट हाइपरबोला के माध्यम से एक किरण $x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1$ बिंदु पर $(\cosh \,a,\,\sinh \,a)$, कहां $a$ किरण, अतिपरवलय और के बीच का क्षेत्र दोगुना है $x$-एक्सिस। हाइपरबोला के नीचे बिंदुओं के लिए $x$-अक्ष, क्षेत्र को ऋणात्मक माना जाता है।

जिस प्रकार त्रिकोणमितीय फलनों को इकाई वृत्त के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है, उसी प्रकार अतिपरवलयिक फलनों को भी इकाई अतिपरवलय के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है, जैसा कि इस आरेख में दिखाया गया है। एक इकाई वृत्त में, कोण (रेडियन में) उस वृत्ताकार क्षेत्र के क्षेत्रफल के दोगुने के बराबर होता है जो वह कोण अंतरित करता है। समान अतिपरवलयिक कोण को इसी प्रकार एक अतिपरवलयिक क्षेत्र के दोगुने क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है।

होने देना $a$ के बीच के क्षेत्रफल का दुगुना हो $x$ इकाई अतिपरवलय को प्रतिच्छेद करने वाली उत्पत्ति के माध्यम से धुरी और एक किरण, और परिभाषित करें ${\textstyle (x,y)=(\cosh a,\sinh a)=(x,{\sqrt {x^{2}-1}})}$ प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक के रूप में। फिर अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र का क्षेत्र त्रिभुज का क्षेत्र है जो वक्र क्षेत्र को शीर्ष पर से घटाता है $(1,0)$:

${\begin{aligned}{\frac {a}{2}}&={\frac {xy}{2}}-\displaystyle \int _{1}^{x}{\sqrt {t^{2}-1}}\,dt\\&={\frac {x{\sqrt {x^{2}-1}}}{2}}-{\frac {x{\sqrt {x^{2}-1}}-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}{2}},\end{aligned}}$

जो प्रतिलोम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों को सरल करता है

$a=\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right).$

के लिए हल करना $x$ अतिशयोक्तिपूर्ण कोज्या के घातीय रूप देता है:

$x=\cosh a={\frac {e^{a}+e^{-a}}{2}}.$

से $x^{2}-y^{2}=1$ एक मिलता है

$y=\sinh a={\sqrt {\cosh ^{2}a-1}}={\frac {e^{a}-e^{-a}}{2}},$

और इसके व्युत्क्रम अतिपरवलयिक कार्यों का व्युत्क्रम:

$a=\operatorname {arsinh} y=\ln \left(y+{\sqrt {y^{2}+1}}\right).$

उदाहरण के लिए, अन्य अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों को हाइपरबोलिक कोसाइन और हाइपरबोलिक साइन के अनुसार परिभाषित किया गया है

$\operatorname {tanh} a={\frac {\sinh a}{\cosh a}}={\frac {e^{2a}-1}{e^{2a}+1}}.$

गुण

=== स्पर्शरेखा रेखाओं के बीच के कोण को foci === से विभाजित करती है

अतिपरवलय: स्पर्शरेखा रेखाओं को foci से विभाजित करती है

एक बिंदु पर स्पर्शरेखा $P$ रेखाओं के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है ${\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}$.

सबूत

होने देना $L$ रेखा पर बिंदु बनें ${\overline {PF_{2}}}$ दूरी के साथ $2a$ फोकस करने के लिए $F_{2}$ (आरेख देखें, $a$ हाइपरबोला की अर्ध प्रमुख धुरी है)। रेखा $w$ रेखाओं के बीच के कोण का द्विभाजक है ${\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}$. यह साबित करने के लिए $w$ बिंदु पर स्पर्श रेखा है $P$, कोई जाँच करता है कि कोई बिंदु $Q$ ऑनलाइन $w$ जो इससे अलग है $P$ हाइपरबोला पर नहीं हो सकता। अत $w$ केवल बिंदु है $P$ हाइपरबोला के साथ आम है और इसलिए, बिंदु पर स्पर्शरेखा है $P$.
आरेख और त्रिभुज असमानता से कोई इसे पहचानता है $|QF_{2}|<|LF_{2}|+|QL|=2a+|QF_{1}|$ रखता है, जिसका अर्थ है: $|QF_{2}|-|QF_{1}|<2a$. किन्तु अगर $Q$ अतिपरवलय का एक बिंदु है, अंतर होना चाहिए $2a$.

समांतर तारों के मध्य बिंदु

अतिपरवलय: समानांतर जीवाओं के मध्य बिंदु एक रेखा पर स्थित होते हैं।

हाइपरबोला: एक जीवा का मध्य बिंदु स्पर्शोन्मुख की संगत जीवा का मध्य बिंदु होता है।

अतिपरवलय की समानांतर जीवाओं के मध्य बिंदु केंद्र से होकर जाने वाली एक रेखा पर स्थित होते हैं (आरेख देखें)।

किसी भी जीवा के बिंदु अतिपरवलय की विभिन्न शाखाओं पर स्थित हो सकते हैं।

हाइपरबोला के लिए मिडपॉइंट्स पर संपत्ति का सबूत सबसे अच्छा किया जाता है $y=1/x$. क्योंकि कोई भी हाइपरबोला हाइपरबोला की एक सजातीय छवि है $y=1/x$ (नीचे अनुभाग देखें) और एक संबधित रूपांतरण समानांतरता और रेखा खंडों के मध्यबिंदुओं को संरक्षित करता है, गुण सभी अतिपरवलयों के लिए सत्य है:
दो अंक के लिए $P=\left(x_{1},{\tfrac {1}{x_{1}}}\right),\ Q=\left(x_{2},{\tfrac {1}{x_{2}}}\right)$ हाइपरबोला का $y=1/x$

जीवा का मध्यबिंदु है $M=\left({\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}},\cdots \right)=\cdots ={\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}}\;\left(1,{\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\right)\ ;$

जीवा का ढलान है ${\frac {{\tfrac {1}{x_{2}}}-{\tfrac {1}{x_{1}}}}{x_{2}-x_{1}}}=\cdots =-{\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\ .$

समानांतर जीवाओं के लिए ढलान स्थिर है और समानांतर जीवाओं के मध्य बिंदु रेखा पर स्थित हैं $y={\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\;x\ .$ परिणाम: अंकों की किसी भी जोड़ी के लिए $P,Q$ एक जीवा में हाइपरबोला के केंद्र से गुजरने वाली धुरी (निश्चित बिंदुओं का सेट) के साथ एक तिरछा प्रतिबिंब मौजूद होता है, जो बिंदुओं का आदान-प्रदान करता है $P,Q$ और हाइपरबोला (संपूर्ण के रूप में) को स्थिर छोड़ देता है। एक तिरछा प्रतिबिंब एक रेखा के पार एक साधारण प्रतिबिंब का सामान्यीकरण है $m$, जहां सभी बिंदु-छवि जोड़े लंबवत रेखा पर हैं $m$.

क्योंकि तिरछा प्रतिबिंब हाइपरबोला को स्थिर छोड़ देता है, स्पर्शोन्मुख की जोड़ी भी निश्चित होती है। इसलिए मध्यबिंदु $M$ एक राग का $PQ$ संबंधित रेखा खंड को विभाजित करता है ${\overline {P}}\,{\overline {Q}}$ स्पर्शोन्मुखों के बीच आधे में भी। इस का मतलब है कि $|P{\overline {P}}|=|Q{\overline {Q}}|$. इस संपत्ति का उपयोग आगे के बिंदुओं के निर्माण के लिए किया जा सकता है $Q$ हाइपरबोला का यदि एक बिंदु $P$ और स्पर्शोन्मुख दिए गए हैं।

यदि जीवा एक स्पर्शरेखा में पतित हो जाती है, तो स्पर्श बिंदु रेखा खंड को दो भागों में स्पर्शोन्मुख के बीच विभाजित करता है।

ऑर्थोगोनल स्पर्शरेखा - ऑर्थोप्टिक

हाइपरबोला अपने ऑर्थोप्टिक (मैजेंटा) के साथ

Main article: Orthoptic (geometry)

हाइपरबोला के लिए ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\,a>b$ ऑर्थोगोनल स्पर्शरेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त पर स्थित होते हैं $x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}$.
इस वृत्त को दिए गए हाइपरबोला का ऑर्थोप्टिक कहा जाता है।

स्पर्शरेखाएँ अतिपरवलय की विभिन्न शाखाओं के बिंदुओं से संबंधित हो सकती हैं।

के स्थिति में $a\leq b$ ओर्थोगोनल स्पर्शरेखाओं का कोई युग्म नहीं है।

हाइपरबोला के लिए ध्रुव-ध्रुवीय संबंध

अतिपरवलय: ध्रुव-ध्रुवीय संबंध

किसी भी अतिपरवलय को एक समीकरण द्वारा उपयुक्त समन्वय प्रणाली में वर्णित किया जा सकता है ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$. एक बिंदु पर स्पर्शरेखा का समीकरण $P_{0}=(x_{0},y_{0})$ हाइपरबोला का है ${\tfrac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{0}y}{b^{2}}}=1.$ अगर कोई बिंदु की अनुमति देता है $P_{0}=(x_{0},y_{0})$ मूल से अलग एक मनमाना बिंदु होने के लिए, तब

बिंदु $P_{0}=(x_{0},y_{0})\neq (0,0)$ लाइन पर मैप किया जाता है ${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$, हाइपरबोला के केंद्र से नहीं।

बिंदुओं और रेखाओं के बीच यह संबंध एक आक्षेप है।

उलटा कार्य मानचित्र

रेखा $y=mx+d,\ d\neq 0$ बिंदु पर $\left(-{\frac {ma^{2}}{d}},-{\frac {b^{2}}{d}}\right)$ और

रेखा $x=c,\ c\neq 0$ बिंदु पर $\left({\frac {a^{2}}{c}},0\right)\ .$

एक शंकु द्वारा उत्पन्न बिंदुओं और रेखाओं के बीच इस प्रकार के संबंध को ध्रुव-ध्रुवीय संबंध या केवल 'ध्रुवीयता' कहा जाता है। ध्रुव बिंदु है, ध्रुवीय रेखा। ध्रुव और ध्रुवीय देखें।

परिकलन द्वारा अतिपरवलय के ध्रुव-ध्रुवीय संबंध के निम्नलिखित गुणों की जाँच की जाती है:

• हाइपरबोला पर एक बिंदु (ध्रुव) पर के लिए ध्रुवीय इस बिंदु पर स्पर्शरेखा है (आरेख देखें: $P_{1},\ p_{1}$).
• एक पोल के लिए $P$ हाइपरबोला के बाहर हाइपरबोला के साथ इसके ध्रुवीय के प्रतिच्छेदन बिंदु दो स्पर्शरेखाओं के स्पर्शरेखा बिंदु हैं $P$ (आरेख देखें: $P_{2},\ p_{2},\ P_{3},\ p_{3}$).
• हाइपरबोला के भीतर एक बिंदु के लिए ध्रुवीय के पास हाइपरबोला के समान कोई बिंदु नहीं है। (आरेख देखें: $P_{4},\ p_{4}$).

टिप्पणियां:

1. दो ध्रुवों का प्रतिच्छेदन बिंदु (उदाहरण के लिए: $p_{2},p_{3}$) उनके खंभों के माध्यम से रेखा का खंभा है (यहां: $P_{2},P_{3}$).
2. फोकस $(c,0),$ और $(-c,0)$ क्रमशः और निर्देश $x={\tfrac {a^{2}}{c}}$ और $x=-{\tfrac {a^{2}}{c}}$ क्रमशः पोल और पोलर के जोड़े से संबंधित हैं।

दीर्घवृत्त और परवलय के लिए भी ध्रुव-ध्रुवीय संबंध मौजूद हैं।

अन्य गुण

• निम्नलिखित समवर्ती रेखाएँ हैं: (1) अतिपरवलय की नाभि से होकर गुजरने वाला एक वृत्त और अतिपरवलय के केंद्र पर केंद्रित; (2) कोई भी रेखा जो अतिपरवलय के शीर्ष पर स्पर्शरेखा है; और (3) हाइपरबोला के अनंतस्पर्शियों में से कोई भी।
• निम्नलिखित भी समवर्ती हैं: (1) वह वृत्त जो अतिपरवलय के केंद्र पर केंद्रित है और जो अतिपरवलय के शीर्ष से होकर गुजरता है; (2) या तो नियता; और (3) कोई भी स्पर्शोन्मुख।

चाप की लंबाई

हाइपरबोला की चाप लंबाई में प्राथमिक कार्य नहीं होता है। हाइपरबोला के ऊपरी आधे हिस्से को पैरामीटर किया जा सकता है

$y=b{\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}.$

फिर अभिन्न अंग चाप की लंबाई दे रहा है $s$ से $x_{1}$ को $x_{2}$ के रूप में गणना की जा सकती है:

$s=b\int _{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {1+\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\sinh ^{2}v}}\,\mathrm {d} v.$

प्रतिस्थापन का उपयोग करने के बाद $z=iv$, इसे दूसरी प्रकार के अण्डाकार समाकल#अपूर्ण अण्डाकार समाकल का उपयोग करके भी प्रदर्शित किया जा सकता है $E$ पैरामीटर के साथ $m=k^{2}$:

$s=ib{\Biggr [}E\left(iv\,{\Biggr |}\,1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right){\Biggr ]}_{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{2}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}}{a}}}.$

केवल वास्तविक संख्याओं का प्रयोग करके, यह बन जाता है

$s=b\left[F\left(\operatorname {gd} v\,{\Biggr |}-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)-E\left(\operatorname {gd} v\,{\Biggr |}-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)+{\sqrt {1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\tanh ^{2}v}}\,\sinh v\right]_{\operatorname {arcosh} {\tfrac {x_{1}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\tfrac {x_{2}}{a}}}$

कहां $F$ पैरामीटर के साथ पहली प्रकार का अण्डाकार समाकल#अपूर्ण अण्डाकार समाकल है $m=k^{2}$ और $\operatorname {gd} v=\arctan \sinh v$ गुडरमैनियन समारोह है।

व्युत्पन्न घटता

Sinusoidal spirals (rⁿ = –1ⁿ cos(nθ), θ = π/2) in polar coordinates and their equivalents in rectangular coordinates:

  n = −2: Equilateral hyperbola

  n = −1: Line

  n = −1/2: Parabola

  n = 1/2: Cardioid

  n = 1: Circle

  n = 2: Lemniscate of Bernoulli

कई अन्य वक्र अतिपरवलय से उत्क्रमणीय ज्यामिति#वृत्त उलटा द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं, अतिपरवलय के तथाकथित व्युत्क्रम वक्र। यदि व्युत्क्रम के केंद्र को हाइपरबोला के अपने केंद्र के रूप में चुना जाता है, तो उलटा वक्र बर्नौली का लेम्निस्केट है; लेम्निस्केट एक आयताकार अतिपरवलय पर केंद्रित वृत्तों का लिफाफा भी है और मूल बिंदु से होकर गुजरता है। यदि उत्क्रमण के केंद्र को फोकस या हाइपरबोला के शीर्ष पर चुना जाता है, तो परिणामी व्युत्क्रम वक्र क्रमशः लिमाकॉन या strophoid होते हैं।

अण्डाकार निर्देशांक

कॉन्फोकल हाइपरबोलस का एक परिवार दो आयामों में अण्डाकार निर्देशांक की प्रणाली का आधार है। ये अतिपरवलय समीकरण द्वारा वर्णित हैं

$\left({\frac {x}{c\cos \theta }}\right)^{2}-\left({\frac {y}{c\sin \theta }}\right)^{2}=1$

जहां foci x-अक्ष पर उत्पत्ति से दूरी c पर स्थित हैं, और जहां θ x-अक्ष के साथ स्पर्शोन्मुख का कोण है। इस परिवार में प्रत्येक अतिपरवलय प्रत्येक दीर्घवृत्त के लिए ओर्थोगोनल है जो समान foci साझा करता है। इस ऑर्थोगोनलिटी को कार्तीय समन्वय प्रणाली w = z + 1/z के अनुरूप मानचित्र द्वारा दिखाया जा सकता है, जहां z= x + iy मूल कार्तीय निर्देशांक हैं, और w=u + iv परिवर्तन के बाद के निर्देशांक हैं।

हाइपरबोलस से जुड़े अन्य ऑर्थोगोनल द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली अन्य अनुरूप मैपिंग द्वारा प्राप्त की जा सकती हैं। उदाहरण के लिए, मैपिंग w = z² कार्तीय समन्वय प्रणाली को ओर्थोगोनल हाइपरबोलस के दो परिवारों में बदल देता है।

वृत्तों के अतिशयोक्तिपूर्ण प्रकटन का शांकव खंड विश्लेषण

एक गोले पर वृत्तों का केंद्रीय प्रक्षेपण : प्रक्षेपण का केंद्र O गोले के अंदर है, छवि तल लाल है।
वृत्तों की छवियों के रूप में एक वृत्त (मैजेंटा), दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और रेखाएँ प्राप्त होती हैं। इस उदाहरण में परवलय का विशेष स्थिति प्रकट नहीं होता है।
(यदि केंद्र O गोले पर होता, तो वृत्तों की सभी छवियां वृत्त या रेखाएँ होतीं; त्रिविम प्रक्षेपण देखें)।

हलकों, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय का एक समान विवरण प्रदान करने के अलावा, शंकु वर्गों को परिप्रेक्ष्य की ज्यामिति के एक प्राकृतिक मॉडल के रूप में भी समझा जा सकता है, जहां देखे जा रहे दृश्य में वृत्त होते हैं, या आमतौर पर दीर्घवृत्त होते हैं। दर्शक आमतौर पर एक कैमरा या मानव आंख है और दृश्य की छवि एक छवि तल पर एक केंद्रीय प्रक्षेपण है, अर्थात सभी प्रक्षेपण किरणें एक निश्चित बिंदु O, केंद्र से गुजरती हैं। 'लेंस प्लेन' लेंस ओ पर इमेज प्लेन के समानांतर एक प्लेन है।

एक वृत्त c की छवि है

ए) एक 'सर्कल', यदि सर्कल सी एक विशेष स्थिति में है, उदाहरण के लिए इमेज प्लेन और अन्य के समानांतर (स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन देखें),

b) एक 'दीर्घवृत्त', यदि c का लेंस तल के साथ उभयनिष्ठ कोई बिंदु नहीं है,

c) एक 'परवलय', यदि c का लेंस तल के साथ एक बिंदु उभयनिष्ठ है और

d) एक 'हाइपरबोला', यदि c में लेंस तल के साथ दो बिंदु उभयनिष्ठ हैं।

(विशेष स्थान जहां वृत्त तल में बिंदु O होता है, छोड़े जाते हैं।)

इन परिणामों को समझा जा सकता है यदि कोई पहचानता है कि प्रक्षेपण प्रक्रिया को दो चरणों में देखा जा सकता है: 1) वृत्त c और बिंदु O एक शंकु उत्पन्न करते हैं जो 2) छवि तल द्वारा काटे जाते हैं, छवि उत्पन्न करने के लिए।

किसी के लेंस प्लेन द्वारा काटे गए वृत्त के एक हिस्से को देखने पर जब भी कोई हाइपरबोला देखता है। दूसरी शाखा की पूर्ण अनुपस्थिति के साथ संयुक्त शाखा की बहुत अधिक भुजाओं को देखने में असमर्थता, मानव दृश्य प्रणाली के लिए हाइपरबोलस के साथ संबंध को पहचानना लगभग असंभव बना देती है।

अनुप्रयोग

एक धूपघड़ी पर गिरावट लाइनों के रूप में अतिपरवलय

फ्लैट ग्राउंड (पीला) पर एक स्तर के सुपरसोनिक विमान के Shockwave का संपर्क क्षेत्र एक हाइपरबोला का हिस्सा है क्योंकि जमीन शंकु को अपनी धुरी के समानांतर काटती है

धूपघड़ी

अतिपरवलय अनेक धूपघड़ी में देखे जा सकते हैं। किसी भी दिन, सूर्य आकाश ीय गोले पर एक चक्र में घूमता है, और उसकी किरणें सूर्यघड़ी के बिंदु से टकराकर प्रकाश के एक शंकु का पता लगाती हैं। जमीन के क्षैतिज तल के साथ इस शंकु का प्रतिच्छेदन एक शंकु खंड बनाता है। सबसे अधिक आबादी वाले अक्षांशों और वर्ष के अधिकांश समय में, यह शंकु खंड एक अतिपरवलय है। व्यावहारिक रूप में, एक ध्रुव की नोक की छाया एक दिन के समय जमीन पर एक हाइपरबोला का पता लगाती है (इस पथ को गिरावट रेखा कहा जाता है)। इस हाइपरबोला का आकार भौगोलिक अक्षांश और वर्ष के समय के साथ बदलता रहता है, क्योंकि ये कारक क्षितिज के सापेक्ष सूर्य की किरणों के शंकु को प्रभावित करते हैं। एक दिए गए स्थान पर एक पूरे वर्ष के लिए इस प्रकार के हाइपरबोलस के संग्रह को यूनानियों द्वारा पेकिन्तुॉन कहा जाता था, क्योंकि यह एक डबल-ब्लेडेड कुल्हाड़ी जैसा दिखता है।

मल्टीलेटरेशन

एक अतिपरवलय बहुपक्षीय समस्याओं को हल करने का आधार है, दिए गए बिंदुओं की दूरी में अंतर से एक बिंदु का पता लगाने का कार्य - या, समतुल्य, बिंदु और दिए गए बिंदुओं के बीच सिंक्रनाइज़ संकेतों के आगमन के समय में अंतर। नेविगेशन में ऐसी समस्याएं महत्वपूर्ण हैं, खासकर पानी पर; एक जहाज लोरान या GPS ट्रांसमीटर से सिग्नल के आगमन के समय में अंतर से अपनी स्थिति का पता लगा सकता है। इसके विपरीत, एक होमिंग बीकन या कोई भी ट्रांसमीटर दो अलग-अलग प्राप्त करने वाले स्टेशनों पर इसके संकेतों के आगमन के समय की तुलना करके स्थित हो सकता है; ऐसी तकनीकों का उपयोग वस्तुओं और लोगों को ट्रैक करने के लिए किया जा सकता है। विशेष रूप से, एक बिंदु की संभावित स्थितियों का सेट जिसमें दो दिए गए बिंदुओं से 2a की दूरी का अंतर होता है, वर्टेक्स अलगाव 2a का एक अतिपरवलय होता है जिसका केंद्र दो दिए गए बिंदु होते हैं।

एक कण के बाद पथ

शास्त्रीय केपलर समस्या में किसी भी कण द्वारा पीछा किया जाने वाला मार्ग एक शंकु खंड है। विशेष रूप से, यदि कण की कुल ऊर्जा E शून्य से अधिक है (अर्थात, यदि कण अनबाउंड है), ऐसे कण का पथ एक अतिपरवलय है। यह गुण उच्च-ऊर्जा कणों के प्रकीर्णन द्वारा परमाणु और उप-परमाणु बलों का अध्ययन करने में उपयोगी है; उदाहरण के लिए, गीजर-मार्सडेन प्रयोग ने सोने के परमाणुओं से अल्फा कण ों के बिखरने की जांच करके एक परमाणु नाभिक के अस्तित्व का प्रदर्शन किया। यदि लघु-श्रेणी के नाभिकीय अन्योन्यक्रियाओं की उपेक्षा की जाती है, तो परमाणु नाभिक और अल्फा कण केवल प्रतिकारक कूलम्ब के नियम द्वारा परस्पर क्रिया करते हैं, जो केप्लर समस्या के लिए व्युत्क्रम वर्ग नियम की आवश्यकता को पूरा करता है।

कोरटेवेग–डी व्रीस समीकरण

हाइपरबोलिक ट्रिग फ़ंक्शन $\operatorname {sech} \,x$ कॉर्टेवेग-डी वेरी समीकरण के एक समाधान के रूप में प्रकट होता है जो एक नहर में सॉलिटॉन तरंग की गति का वर्णन करता है।

कोण तिरछा

उत्केन्द्रता 2 (पीला वक्र) के एक अतिपरवलय का उपयोग करके एक कोण (AOB) को समत्रिभाजित करना

जैसा कि पेरगा के एपोलोनियस द्वारा पहले दिखाया गया है, एक अतिपरवलय का उपयोग कोण तिरछा करने के लिए किया जा सकता है, जो कि ज्यामिति की एक अच्छी प्रकार से अध्ययन की गई समस्या है। एक कोण दिया हुआ है, पहले इसके शीर्ष O पर केन्द्रित एक वृत्त खींचिए, जो कोण की भुजाओं को बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करता है। इसके बाद अंत बिंदु A और B और इसके लम्ब समद्विभाजक के साथ रेखा खंड खींचिए। $\ell$. सनकीपन (गणित) के एक हाइपरबोला का निर्माण करें e=2 साथ में $\ell$ डायरेक्ट्रिक्स के रूप में (शंक्वाकार खंड) और बी फोकस के रूप में। P को वृत्त के साथ अतिपरवलय का प्रतिच्छेदन (ऊपरी) होने दें। कोण POB, कोण AOB को समत्रिभाजित करता है।

इसे सिद्ध करने के लिए, रेखाखंड OP को रेखा के परितः परावर्तित कीजिए $\ell$ बिंदु P' को P की छवि के रूप में प्राप्त करना। खंड AP' में प्रतिबिंब के कारण खंड BP के समान लंबाई होती है, जबकि खंड PP' की लंबाई खंड BP के समान होती है, क्योंकि अतिपरवलय की विलक्षणता होती है। चूँकि OA, OP', OP और OB सभी एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं (और इसलिए, उनकी लंबाई समान है), त्रिभुज OAP', OPP' और OPB सभी सर्वांगसम हैं। इसलिए, कोण को समत्रिभाजित किया गया है, क्योंकि 3×POB = AOB है।

कुशल पोर्टफोलियो फ्रंटियर

आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत में # बिना किसी जोखिम-मुक्त संपत्ति के कुशल सीमांत, माध्य विचरण दक्षता का ठिकाना| माध्य-भिन्नता कुशल पोर्टफोलियो (कुशल सीमा कहा जाता है) पोर्टफोलियो के साथ खींची गई हाइपरबोला की पूर्व-उद्घाटन शाखा का ऊपरी आधा हिस्सा है रिटर्न का मानक विचलन क्षैतिज रूप से प्लॉट किया गया है और इसका अपेक्षित मूल्य लंबवत प्लॉट किया गया है; इस सिद्धांत के अनुसार, सभी तर्कसंगत निवेशक इस स्थान पर किसी बिंदु की विशेषता वाले पोर्टफोलियो का चयन करेंगे।

जैव रसायन

जैव रसायन और औषध ि विज्ञान में, हिल समीकरण (जैव रसायन) और हिल समीकरण (जैव रसायन) | हिल-लैंगमुइर समीकरण क्रमशः जैविक उत्तेजना-प्रतिक्रिया मॉडल और प्रोटीन-लिगैंड परिसरों के गठन को लिगैंड एकाग्रता के कार्यों के रूप में वर्णित करते हैं। वे दोनों आयताकार अतिपरवलय हैं।

चतुष्कोणों के समतल वर्गों के रूप में हाइपरबोलस

हाइपरबोलस निम्नलिखित चतुष्कोणों के समतल खंडों के रूप में दिखाई देते हैं:

• अण्डाकार शंकु
• अतिशयोक्तिपूर्ण सिलेंडर
• अतिशयोक्तिपूर्ण परवलयज
• एक शीट का हाइपरबोलॉइड
• दो शीटों का हाइपरबोलॉइड

• 

  Elliptic cone

• 

  Hyperbolic cylinder

• 

  Hyperbolic paraboloid

• 

  Hyperboloid of one sheet

• 

  Hyperboloid of two sheets

यह भी देखें

अन्य शांकव खंड

• घेरा
• दीर्घवृत्त
• परबोला
• पतित शंकु

अन्य संबंधित विषय

• अण्डाकार निर्देशांक, दीर्घवृत्त और हाइपरबोलस के परिवारों पर आधारित एक ऑर्थोगोनल समन्वय प्रणाली।
• अतिशयोक्तिपूर्ण विकास
• अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण
• अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र
• हाइपरबोलाइड संरचना
• अतिशयोक्तिपूर्ण प्रक्षेपवक्र
• अतिपरवलयज
• गुणन
• कुल्हाड़ियों का घूमना
• कुल्हाड़ियों का अनुवाद
• यूनिट हाइपरबोला

संदर्भ

• Kazarinoff, Nicholas D. (2003), Ruler and the Round, Mineola, N.Y.: Dover, ISBN 0-486-42515-0
• Oakley, C. O., Ph.D. (1944), An Outline of the Calculus, New York: Barnes & Noble{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042

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• जीव रसायन
• द्विघात

बाहरी कड़ियाँ

• "Hyperbola", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Apollonius' Derivation of the Hyperbola at Convergence
• Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, 1659
• Weisstein, Eric W. "अतिपरवलय". MathWorld.