आइसोमेट्री समूह
गणित में, मीट्रिक स्थान का आइसोमेट्री समूह मीट्रिक स्पेस से स्वयं पर सभी बायोजेक्टिव आइसोमेट्री (यानी द्विभाजित, दूरी-संरक्षित मानचित्र) का सेट (गणित) है, समूह (गणित) ऑपरेशन के रूप में फ़ंक्शन संरचना के साथ। इसका पहचान तत्व पहचान कार्य है।[1] आइसोमेट्री समूह के तत्वों को कभी-कभी अंतरिक्ष की गति (ज्यामिति) कहा जाता है।
मीट्रिक स्पेस का प्रत्येक आइसोमेट्री समूह आइसोमेट्री का एक उपसमूह है। यह ज्यादातर मामलों में अंतरिक्ष में वस्तुओं/आंकड़ों की समरूपता के संभावित सेट या अंतरिक्ष पर परिभाषित कार्यों का प्रतिनिधित्व करता है। समरूपता समूह देखें।
असतत आइसोमेट्री समूह एक आइसोमेट्री समूह है जैसे कि अंतरिक्ष के हर बिंदु के लिए आइसोमेट्री के तहत बिंदु की छवियों का सेट एक असतत सेट है।
छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में मीट्रिक को आइसोट्रोपिक द्विघात रूप से बदल दिया जाता है; इस रूप को संरक्षित करने वाले परिवर्तनों को कभी-कभी आइसोमेट्रीज़ कहा जाता है, और उनके संग्रह को छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक आइसोमेट्री समूह बनाने के लिए कहा जाता है।
उदाहरण
- एक त्रिभुज के बिंदुओं से युक्त एक मीट्रिक स्थान के उप-स्थान का आइसोमेट्री समूह#Types_of_trivial समूह है। समद्विबाहु त्रिभुज के लिए एक समान स्थान क्रम दो, C का चक्रीय समूह है2. एक समबाहु त्रिभुज के लिए समान स्थान D है3, ऑर्डर 6 का डायहेड्रल समूह।
- द्वि-आयामी गोले का आइसोमेट्री समूह ओर्थोगोनल समूह O(3) है।[2]
- एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन अंतरिक्ष का आइसोमेट्री ग्रुप यूक्लिडियन समूह ई (एन) है।[3]
- अतिशयोक्तिपूर्ण तल के पॉइंकेयर डिस्क मॉडल का आइसोमेट्री समूह प्रक्षेपी विशेष एकात्मक समूह SU(1,1) है।
- अतिशयोक्तिपूर्ण तल के पॉइंकेयर अर्ध-तल मॉडल का सममिति समूह PSL(2,R) है।
- मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष का आइसोमेट्री समूह पोंकारे समूह है।[4]
- रिमेंनियन सममित स्थान महत्वपूर्ण मामले हैं जहां आइसोमेट्री समूह एक लाइ समूह है।
यह भी देखें
- बिंदु समूह
- बिंदु समूह दो आयामों में
- बिंदु समूह तीन आयामों में
- यूक्लिडियन अंतरिक्ष में आइसोमेट्री समूहों के निश्चित बिंदु
संदर्भ
- ↑ Burago, Dmitri; Burago, Yuri; Ivanov, Sergei (2001), A course in metric geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 33, Providence, RI: American Mathematical Society, p. 75, ISBN 0-8218-2129-6, MR 1835418.
- ↑ Berger, Marcel (1987), Geometry. II, Universitext, Berlin: Springer-Verlag, p. 281, doi:10.1007/978-3-540-93816-3, ISBN 3-540-17015-4, MR 0882916.
- ↑ Olver, Peter J. (1999), Classical invariant theory, London Mathematical Society Student Texts, vol. 44, Cambridge: Cambridge University Press, p. 53, doi:10.1017/CBO9780511623660, ISBN 0-521-55821-2, MR 1694364.
- ↑ Müller-Kirsten, Harald J. W.; Wiedemann, Armin (2010), Introduction to supersymmetry, World Scientific Lecture Notes in Physics, vol. 80 (2nd ed.), Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., p. 22, doi:10.1142/7594, ISBN 978-981-4293-42-6, MR 2681020.
