एप्रोच स्पेस

टोपोलॉजी में, गणित की एक शाखा, एप्रोच स्पेस पॉइंट-टू-पॉइंट दूरी के बजाय पॉइंट-टू-सेट (गणित) दूरी के आधार पर मीट्रिक स्थान का सामान्यीकरण है। वे 1989 में रॉबर्ट लोवेन द्वारा 1988 और 1995 के बीच दृष्टिकोण सिद्धांत पर पत्रों की एक श्रृंखला में पेश किए गए थे।

परिभाषा

एक मीट्रिक स्थान (एक्स, डी), या अधिक आम तौर पर, एक मीट्रिक (गणित) #Extending_the_range Pseudometric_spacequasimetric (जो यहां संक्षिप्त ∞pq-मीट्रिक होगा) को देखते हुए, एक प्रेरित मानचित्र 'd' को परिभाषित कर सकता है: X × P(X) → [0,∞] by 'd'(x, A) = infumum{d(x, a) : a ∈ A}. इस उदाहरण को ध्यान में रखते हुए, X पर एक 'दूरी' को मानचित्र X × P(X) → [0,∞] के रूप में परिभाषित किया गया है जो X और A, B ⊆ X, में सभी x के लिए संतोषजनक है।

1. 'd'(x, {x}) = 0,
2. 'd'(x, Ø) = ∞,
3. 'd'(x, A∪B) = min('d'(x, A), 'd'(x, B)),
4. सभी के लिए 0 ≤ ε ≤ ∞, 'd'(x, A) ≤ 'd'(x, A^(ई)) + ई,

जहां हम ए परिभाषित करते हैं^(ε) = {x : 'd'(x, A) ≤ ε}.

(खाली सेट इन्फिनिमम पॉजिटिव इनफिनिटी कन्वेंशन है, एम्प्टी प्रोडक्ट # नलरी इंटरसेक्शन कन्वेंशन की तरह है।)

एक एप्रोच स्पेस को एक जोड़ी (X, 'd') के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां 'd' X पर एक दूरी का कार्य है।⁽⁰⁾ कुराटोव्स्की क्लोजर एक्सिओम्स के रूप में।

दृष्टिकोण रिक्त स्थान के बीच उपयुक्त मानचित्र संकुचन हैं। एक मानचित्र f: (X, 'd') → (Y, 'e') एक संकुचन है यदि 'e'(f(x), f[A]) ≤ 'd'(x, A) सभी x ∈ के लिए एक्स और ए ⊆ एक्स।

उदाहरण

प्रत्येक ∞pq-मीट्रिक स्पेस (X, d) को (X,d') तक दूर किया जा सकता है, जैसा कि परिभाषा की शुरुआत में बताया गया है।

एक सेट एक्स को देखते हुए, अलग दूरी 'डी' (एक्स, ए) = 0 द्वारा दी जाती है यदि एक्स ∈ ए और 'डी' (एक्स, ए) = ∞ अगर एक्स ∉ ए। प्रेरित टोपोलॉजी असतत टोपोलॉजी है।

एक समुच्चय X दिया गया है, असतत दूरी 'd'(x, A) = 0 द्वारा दी गई है यदि A रिक्त नहीं है, और 'd'(x, A) = ∞ यदि A रिक्त है। प्रेरित टोपोलॉजी अविवेकपूर्ण टोपोलॉजी है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स दिया गया है, एक टोपोलॉजिकल दूरी 'डी' (एक्स, ए) = 0 द्वारा दी गई है यदि x ∈ A, और 'd'(x, A) = ∞ अन्यथा। प्रेरित टोपोलॉजी मूल टोपोलॉजी है। वास्तव में, केवल दो-मूल्यवान दूरी ही सांस्थितिक दूरी हैं।

चलो 'पी' = [0, ∞] [[विस्तारित वास्तविक संख्या]] गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या हो। चलो 'डी'⁺(x, A) = max(x - supremum A, 0) x ∈ 'P' और A ⊆ 'P' के लिए। किसी भी दृष्टिकोण स्थान (X, 'd') को देखते हुए, नक्शे (प्रत्येक A ⊆ X के लिए) 'd'(., A) : (X, 'd') → ('P', 'd'⁺) संकुचन हैं।

P पर, मान लीजिए e(x, A) = inf{|एक्स - ए| : a ∈ A} for x < ∞, मान लीजिए 'e'(∞, A) = 0 यदि A असीमित है, और मान लीजिए 'e'(∞, A) = ∞ यदि A परिबद्ध है। फिर ('पी', 'ई') एक दृष्टिकोण स्थान है। स्थैतिक रूप से, 'P' [0, ∞) का एक-बिंदु संघनन है। ध्यान दें कि 'ई' सामान्य यूक्लिडियन दूरी को बढ़ाता है। यह साधारण यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ नहीं किया जा सकता।

बता दें कि β'N' पूर्णांकों का स्टोन-चेक संघनन है। एक बिंदु U ∈ β'N' 'N' पर एक अल्ट्राफिल्टर है। एक सबसेट A ⊆ β'N' एक फिल्टर F(A) = ∩ {U : U ∈ A} को प्रेरित करता है। माना 'b'(U, A) = sup{ inf{ |n − j| : n ∈ X, j ∈ E } : X ∈ U, E ∈ F(A)}। फिर (β'N',-'b') एक एप्रोच स्पेस है जो 'N' पर साधारण यूक्लिडियन दूरी को बढ़ाता है। इसके विपरीत, β'N' मेट्रिजेबल नहीं है।

समतुल्य परिभाषाएँ

लोवेन ने कम से कम सात समकक्ष योगों की पेशकश की है। उनमें से दो नीचे हैं।

चलो XPQ(X) X पर xpq-मेट्रिक्स के सेट को निरूपित करते हैं। XPQ(X) के उपपरिवार G को गेज कहा जाता है यदि

1. 0 ∈ जी, जहां 0 शून्य मीट्रिक है, अर्थात सभी x, y, के लिए 0(x, y) = 0
2. e ≤ d ∈ G का अर्थ है e ∈ G,
3. d, e ∈ G का अर्थ है max(d,e) ∈ G (यहाँ अधिकतम बिंदुवार अधिकतम है),
4. सभी d ∈ XPQ(X) के लिए, यदि सभी x ∈ X, ε> 0, N < ∞ के लिए e ∈ G ऐसा है कि min(d(x,y), N) ≤ e(x, y) + ε सभी y के लिए, फिर d ∈ G.

यदि G, X पर एक गेज है, तो 'd'(x,A) = sup {'e'(x, a) } : e ∈ G}, X पर एक दूरी फलन है। इसके विपरीत, एक दूरी फलन 'd' दिया गया है X पर, e ∈ XPQ(X) का सेट ऐसा है कि 'e' ≤ 'd' X पर एक गेज है। दो ऑपरेशन एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं।

एक संकुचन f: (X, 'd') → (Y, 'e'), क्रमशः संबंधित गेज G और H के संदर्भ में, एक नक्शा ऐसा है कि सभी d ∈ H, d(f(.), f( ।)) ∈ जी।

X पर एक टावर नक्शे A → A का एक सेट है^[ε] A ⊆ X, ε ≥ 0 के लिए, सभी A, B ⊆ X और δ, ε ≥ 0 के लिए संतोषजनक

1. ए ⊆ ए^{[ई]</सुप>,}
2. Ø^[ई] = Ø,
3. (ए ∪ बी)^{[ε]</सुप> = ए[ई] ∪ बी[ई]</सुप>,}
4. ए^[ε][δ] ⊆ ए^[ई+डी],
5. ए^{[ई]</सुप> = ∩_δ>εए[δ]</उप>।}

दी गई दूरी d, संबंधित A → A^(ε) एक मीनार है। इसके विपरीत, एक टावर दिया गया है, नक्शा d(x,A) = inf{ε : x ∈ A^[ε]} एक दूरी है, और ये दोनों संक्रियाएं एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं।

एक संकुचन f:(X, 'd')→(Y, 'e') संबंधित टावरों के संदर्भ में एक नक्शा है जैसे कि सभी ε ≥ 0 के लिए, f[A^[ε]] ⊆ f[ए]^{[ई]</सुप>।}

श्रेणीबद्ध गुण

दृष्टिकोण रिक्त स्थान और उनके संकुचन में मुख्य रुचि यह है कि वे मीट्रिक रिक्त स्थान की तरह मात्रात्मक होते हुए भी अच्छे गुणों के साथ एक श्रेणी (गणित) बनाते हैं। कोई मनमाना उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत), सह-उत्पाद और भागफल ले सकता है, और परिणाम उचित रूप से टोपोलॉजी के लिए संबंधित परिणामों को सामान्यीकृत करते हैं। कोई भी इस तरह के गैर-मेट्रिजेबल रिक्त स्थान जैसे कि βN, पूर्णांकों के स्टोन-चेक कॉम्पैक्टिफिकेशन को दूर कर सकता है।

कुछ हाइपरस्पेस, माप स्थान और संभाव्य मीट्रिक स्थान स्वाभाविक रूप से दूरी के साथ संपन्न होते हैं। सन्निकटन सिद्धांत के लिए भी आवेदन किए गए हैं।

संदर्भ

• Lowen, Robert (1997). Approach spaces: the missing link in the topology-uniformity-metric triad. Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850030-0. Zbl 0891.54001.
• Lowen, Robert (2015). Index Analysis: Approach Theory at Work. Springer.

बाहरी संबंध

• Robert Lowen