हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या

Not to be confused with surcomplex number.

"Hypernumber" redirects here. For the extension of the real numbers used in non-standard analysis, see Hyperreal number.

गणित में, हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या एक क्षेत्र पर एक परिमित-आयामी बीजगणित के एक तत्व (गणित) के लिए एक पारंपरिक शब्द है # वास्तविक संख्या ओं के क्षेत्र (गणित) पर एक क्षेत्र पर इकाई बीजगणित बीजगणित। 19वीं शताब्दी के अंत में हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्याओं का अध्ययन आधुनिक समूह प्रतिनिधित्व सिद्धांत का आधार बनता है।

इतिहास

उन्नीसवीं शताब्दी में [[ biquaternion ]], tessarine , coquaternion , बाइक्वाटरनियंस और ऑक्टोनियन नामक संख्या प्रणालियां गणितीय साहित्य में स्थापित अवधारणाएं बन गईं, जिन्हें वास्तविक और जटिल संख्या ओं में जोड़ा गया। एक हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या की अवधारणा ने उन सभी को शामिल किया, और उन्हें समझाने और वर्गीकृत करने के लिए एक अनुशासन की मांग की।

सूचीकरण परियोजना 1872 में शुरू हुई जब बेंजामिन पीयर्स ने पहली बार अपने रैखिक साहचर्य बीजगणित को प्रकाशित किया, और उनके बेटे चार्ल्स सैंडर्स पियर्स द्वारा आगे बढ़ाया गया। सबसे महत्वपूर्ण रूप से, उन्होंने वर्गीकरण के लिए उपयोगी हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या के रूप में nilpotent और इडेमपोटेंट तत्व (रिंग थ्योरी) की पहचान की। केली-डिक्सन निर्माण ने वास्तविक संख्या प्रणाली से जटिल संख्या, चतुष्कोण और ऑक्टोनियन उत्पन्न करने के लिए इनवोल्यूशन (गणित) का उपयोग किया। हर्विट्ज़ और फ्रोबेनियस ने उन प्रमेयों को सिद्ध किया जो हाइपरकॉम्प्लेक्सिटी पर सीमाएं लगाते हैं: हर्विट्ज़ का प्रमेय (सामान्य विभाजन बीजगणित) | हर्विट्ज़ का प्रमेय कहता है कि परिमित-आयामी वास्तविक रचना बीजगणित वास्तविक हैं $\mathbb {R}$, परिसरों $\mathbb {C}$, चतुष्कोण $\mathbb {H}$, और ऑक्टोनियंस $\mathbb {O}$, और फ्रोबेनियस प्रमेय (वास्तविक विभाजन बीजगणित) कहता है कि केवल वास्तविक साहचर्य विभाजन बीजगणित हैं $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$, और $\mathbb {H}$. 1958 में फ्रैंक एडम्स|जे. फ्रैंक एडम्स ने एच-स्पेस पर हॉफ इनवेरिएंट्स के संदर्भ में एक और सामान्यीकरण प्रकाशित किया जो अभी भी आयाम को 1, 2, 4, या 8 तक सीमित करता है। यह मैट्रिक्स (गणित) था जिसने हाइपरकॉम्प्लेक्स सिस्टम का उपयोग किया। सबसे पहले, मैट्रिक्स ने 2 × 2 वास्तविक मैट्रिक्स (स्प्लिट-चतुर्भुज देखें) जैसे नए हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबरों का योगदान दिया। जल्द ही मैट्रिक्स प्रतिमान ने दूसरों की व्याख्या करना शुरू कर दिया क्योंकि वे मैट्रिसेस और उनके संचालन द्वारा प्रस्तुत किए गए। 1907 में जोसेफ वेडरबर्न ने दिखाया कि साहचर्य हाइपरकॉम्प्लेक्स सिस्टम को स्क्वायर मैट्रिसेस , या स्क्वायर मैट्रिसेस के बीजगणित के प्रत्यक्ष उत्पाद द्वारा दर्शाया जा सकता है। उस तिथि से हाइपरकॉम्प्लेक्स प्रणाली के लिए पसंदीदा शब्द साहचर्य बीजगणित बन गया जैसा कि एडिनबर्ग विश्वविद्यालय में वेडरबर्न की थीसिस के शीर्षक में देखा गया है। हालाँकि, ध्यान दें कि गैर-सहयोगी प्रणालियाँ जैसे ऑक्टोनियन और अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण एक अन्य प्रकार की हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं।

हॉकिन्स के रूप में बताते हैं, हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबर लाई समूहों और समूह प्रतिनिधित्व सिद्धांत के बारे में सीखने के लिए कदम बढ़ा रहे हैं। उदाहरण के लिए, 1929 में एमी नोथेर ने हाइपरकॉम्प्लेक्स मात्रा और प्रतिनिधित्व सिद्धांत पर लिखा था। 1973 में कंटोर और सोलोडोवनिकोव ने हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबरों पर एक पाठ्यपुस्तक प्रकाशित की जिसका 1989 में अनुवाद किया गया था। करें पार्शल ने हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबरों के उत्कर्ष का एक विस्तृत विवरण लिखा है, थियोडोर मोलियन सहित गणितज्ञों की भूमिका सहित और एडवर्ड स्टडी । सार बीजगणित में परिवर्तन के लिए, बार्टेल वैन डेर वेर्डन ने अपने इतिहास के बीजगणित में हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्याओं के लिए तीस पृष्ठ समर्पित किए।

परिभाषा

हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या की परिभाषा इसके द्वारा दी गई है Kantor & Solodovnikov (1989) वास्तविक संख्याओं पर एक परिमित-आयामी बीजगणित के एक तत्व के रूप में जो इकाई बीजगणित है लेकिन जरूरी नहीं कि साहचर्य संपत्ति या क्रमविनिमेय संपत्ति हो। तत्व वास्तविक संख्या गुणांक के साथ उत्पन्न होते हैं $(a_{0},\dots ,a_{n})$ एक आधार के लिए $\{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}$. जहां संभव हो, यह आधार चुनने के लिए परंपरागत है ताकि $i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}$. हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्याओं के लिए एक तकनीकी दृष्टिकोण पहले आयाम दो की ओर ध्यान आकर्षित करता है।

द्वि-आयामी वास्तविक बीजगणित

प्रमेय: तुल्याकारिता तक, वास्तविक के ऊपर वास्तव में तीन 2-आयामी एकात्मक बीजगणित होते हैं: साधारण सम्मिश्र संख्याएँ, विभक्त-जटिल संख्याएँ, और दोहरी संख्या एँ। विशेष रूप से, वास्तविक से अधिक प्रत्येक 2-आयामी इकाई बीजगणित साहचर्य और क्रमविनिमेय है।

उपपत्ति: चूँकि बीजगणित द्वि-आयामी है, हम एक आधार {1, यू} चुन सकते हैं। चूंकि बीजगणित वर्ग के तहत बंद (गणित) है, गैर-वास्तविक आधार तत्व यू वर्गों को 1 और यू के रैखिक संयोजन के लिए:

$u^{2}=a_{0}+a_{1}u$

कुछ वास्तविक संख्याओं के लिए a₀ और ए₁.

घटाकर वर्ग को पूरा करने की सामान्य विधि का उपयोग करना₁यू और द्विघात पूरक जोड़ना²
₁ / दोनों पक्षों के लिए 4 उपज

$u^{2}-a_{1}u+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.$

इस प्रकार ${\textstyle \left(u-{\frac {1}{2}}a_{1}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}$ कहां ${\textstyle {\tilde {u}}^{2}~=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$ तीन मामले इस वास्तविक मूल्य पर निर्भर करते हैं:

• यदि 4a₀ = −a₁², उपरोक्त सूत्र प्राप्त होता है ũ² = 0. इसलिए, ũ को सीधे निलपोटेंट तत्व से पहचाना जा सकता है $\epsilon$ आधार का $\{1,~\epsilon \}$ दोहरी संख्या का।
• यदि 4a₀ > −a₁², उपरोक्त सूत्र प्राप्त होता है ũ² > 0. यह विभाजन-जटिल संख्याओं की ओर जाता है जिनका सामान्यीकृत आधार होता है $\{1,~j\}$ साथ $j^{2}=+1$. ũ से j प्राप्त करने के लिए, उत्तरार्द्ध को सकारात्मक वास्तविक संख्या से विभाजित किया जाना चाहिए ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}}}}$ जिसका वर्ग वही है जो ũ का है।
• यदि 4a₀ < −a₁², उपरोक्त सूत्र प्राप्त होता है ũ² < 0. यह उन जटिल संख्याओं की ओर ले जाता है जिनका सामान्यीकृत आधार होता है $\{1,~i\}$ साथ $i^{2}=-1$. ũ से i प्राप्त करने के लिए, बाद वाले को सकारात्मक वास्तविक संख्या से विभाजित करना होगा ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}-a_{0}}}}$ जो ũ के ऋणात्मक का वर्ग करता है^{2</उप>।}

जटिल संख्याएं केवल 2-आयामी हाइपरकॉम्प्लेक्स बीजगणित हैं जो एक फ़ील्ड (गणित) है। बीजगणित जैसे विभाजन-जटिल संख्याएँ जिनमें 1 की गैर-वास्तविक जड़ें शामिल हैं, में भी निष्क्रिय तत्व होते हैं ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1\pm j)}$ और शून्य भाजक $(1+j)(1-j)=0$, इसलिए ऐसे बीजगणित विभाजन बीजगणित नहीं हो सकते। हालाँकि, ये गुण बहुत सार्थक हो सकते हैं, उदाहरण के लिए विशेष सापेक्षता के लोरेंत्ज़ परिवर्तन ों का वर्णन करने में।

गणित पत्रिका के 2004 के संस्करण में 2-आयामी वास्तविक बीजगणित को सामान्यीकृत जटिल संख्याओं की शैली दी गई है। चार जटिल संख्याओं के क्रॉस-अनुपात के विचार को 2-आयामी वास्तविक बीजगणित तक बढ़ाया जा सकता है।

उच्च-आयामी उदाहरण (एक से अधिक गैर-वास्तविक धुरी)

क्लिफर्ड बीजगणित

एक क्लिफोर्ड बीजगणित एक द्विघात रूप से सुसज्जित एक अंतर्निहित सदिश स्थान पर उत्पन्न एकात्मक साहचर्य बीजगणित है। वास्तविक संख्याओं पर यह एक सममित स्केलर उत्पाद को परिभाषित करने में सक्षम होने के बराबर है, u ⋅ v = 1/2(uv + vu) जिसका उपयोग आधार देने के लिए द्विघात रूप को ऑर्थोगोनलाइज़ेशन करने के लिए किया जा सकता है {e₁, ..., e_k} ऐसा है कि:

$${\frac {1}{2}}\left(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}\right)={\begin{cases}-1,0,+1&i=j,\\0&i\not =j.\end{cases}}$$

गुणन के तहत बंद होने से 2 के आधार पर एक मल्टीवेक्टर स्पेस उत्पन्न होता है^{कश्मीर} तत्व, {1, ई₁, और₂, और₃, ..., और₁e₂, ..., और₁e₂e₃, ...}। इनकी व्याख्या हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या प्रणाली के आधार के रूप में की जा सकती है। आधार के विपरीत {ई₁, ..., और_k}, दो कारकों की अदला-बदली करने के लिए कितने सरल आदान-प्रदान किए जाने चाहिए, इसके आधार पर शेष आधार तत्वों को एंटी-कम्यूट की आवश्यकता नहीं है। इसलिए e₁e₂ = −e₂e₁, लेकिन e₁(e₂e₃) = +(e₂e₃)e₁.

उन आधारों को अलग रखना जिनमें एक तत्व ई होता है_i ऐसा है कि e_i² = 0 (अर्थात् मूल स्थान में दिशाएँ जिस पर द्विघात रूप पतित रूप था), शेष क्लिफर्ड बीजगणित को लेबल Cl द्वारा पहचाना जा सकता है_p,q(आर), यह दर्शाता है कि बीजगणित का निर्माण पी सरल आधार तत्वों से किया गया है e_i² = +1, क्यू के साथ e_i² = −1, और जहां आर इंगित करता है कि यह वास्तविक से अधिक क्लिफोर्ड बीजगणित होना है- अर्थात। बीजगणित के तत्वों के गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं।

ये बीजगणित, जिन्हें ज्यामितीय बीजगणित कहा जाता है, एक व्यवस्थित सेट बनाते हैं, जो भौतिकी की समस्याओं में बहुत उपयोगी साबित होते हैं, जिसमें घूर्णन, चरण (तरंगें) या स्पिन (भौतिकी) शामिल हैं, विशेष रूप से शास्त्रीय यांत्रिकी और क्वांटम यांत्रिकी , विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत और सापेक्षता का सिद्धांत ।

उदाहरणों में शामिल हैं: सम्मिश्र संख्या Cl_0,1(आर), स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर सीएल_1,0(आर), चतुर्भुज सीएल_0,2(आर), विभाजन-द्विभाजित सीएल_0,3(आर), विभाजित-चतुर्भुज Cl_1,1(R) ≈ Cl_2,0(R) (द्वि-आयामी अंतरिक्ष का प्राकृतिक बीजगणित); क्लोरीन_3,0(आर) (त्रि-आयामी अंतरिक्ष का प्राकृतिक बीजगणित, और पॉल मैट्रिसेस का बीजगणित); और स्पेसटाइम बीजगणित सीएल_1,3(आर)।

बीजगणित सीएल के तत्व_p,q(आर) एक भी सबलजेब्रा सीएल बनाता है^[0]
_q+1,p(आर) बीजगणित सीएल के_q+1,p(आर), जिसका उपयोग बड़े बीजगणित में घुमावों को पैरामीट्रिज करने के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार द्वि-आयामी अंतरिक्ष में जटिल संख्याओं और घुमावों के बीच घनिष्ठ संबंध है; त्रि-आयामी अंतरिक्ष में चतुष्कोणों और घुमावों के बीच; 1+1-आयामी अंतरिक्ष में विभाजित-जटिल संख्याओं और (अतिशयोक्तिपूर्ण) घुमावों (लोरेंट्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन) के बीच, और इसी तरह।

जबकि केली-डिक्सन और स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स निर्माण आठ या अधिक आयामों के साथ गुणन के संबंध में साहचर्य नहीं हैं, क्लिफोर्ड बीजगणित किसी भी संख्या में आयामों पर साहचर्य बनाए रखते हैं।

1995 में इयान आर. पोर्टियस ने क्लिफर्ड अलजेब्रा पर अपनी किताब में सबलजेब्रस की पहचान पर लिखा। उनका प्रस्ताव 11.4 हाइपरकॉम्प्लेक्स मामलों का सारांश देता है:

मान लीजिए A एक वास्तविक साहचर्य बीजगणित है जिसका इकाई अवयव 1 है। तब

• 1 'आर' (वास्तविक संख्या) उत्पन्न करता है,
• कोई भी दो आयामी सबलजेब्रा एक तत्व द्वारा उत्पन्न ई₀ ए का ऐसा है e₀² = −1 सी (जटिल संख्या) के लिए समरूप है,
• किसी तत्व ई द्वारा उत्पन्न कोई भी द्वि-आयामी सबलजेब्रा₀ ए का ऐसा है e₀² = 1 आर के लिए आइसोमोर्फिक है² (घटक-वार उत्पाद के साथ वास्तविक संख्याओं के जोड़े, विभाजित-जटिल संख्या के लिए आइसोमोर्फिक|विभाजित-जटिल संख्याओं का बीजगणित),
• कोई भी चार आयामी सबलजेब्रा एक सेट {e₀, और₁ए के पारस्परिक रूप से विरोधी-विरोधी तत्वों का } ऐसा है कि $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1$ एच (चतुर्भुज) के लिए आइसोमोर्फिक है,
• किसी सेट {e द्वारा उत्पन्न कोई भी चार-आयामी सबलजेब्रा₀, और₁ए के पारस्परिक रूप से विरोधी-विरोधी तत्वों का } ऐसा है कि $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1$ एम के लिए आइसोमोर्फिक है₂(आर) (2 × 2 वास्तविक मेट्रिसेस, कोक्वेटर्नियन),
• किसी सेट {e द्वारा उत्पन्न कोई भी आठ-आयामी सबलजेब्रा₀, और₁, और₂ए के पारस्परिक रूप से विरोधी-विरोधी तत्वों का } ऐसा है कि $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1$ के लिए आइसोमॉर्फिक है ²H (विभाजित-द्विभाजित),
• किसी सेट {e द्वारा उत्पन्न कोई भी आठ-आयामी सबलजेब्रा₀, और₁, और₂ए के पारस्परिक रूप से विरोधी-विरोधी तत्वों का } ऐसा है कि $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1$ एम के लिए आइसोमोर्फिक है₂(सी) (2 × 2 कॉम्प्लेक्स मैट्रिसेस, बायक्वाटरनियंस, पाउली बीजगणित )।

For extension beyond the classical algebras, see Classification of Clifford algebras.

केली-डिक्सन निर्माण

Further information: Cayley–Dickson construction

केली Q8 i (लाल), j (हरा) और k (नीला) के गुणन के चक्रों को दर्शाने वाले चतुर्धातुक गुणन का ग्राफ। में एसवीजी फ़ाइल, पर होवर करें या इसे हाइलाइट करने के लिए पथ पर क्लिक करें।

सभी क्लिफोर्ड बीजगणित Cl_p,q(आर) वास्तविक संख्याओं के अलावा, जटिल संख्याएं और चतुष्कोणों में गैर-वास्तविक तत्व होते हैं जो वर्ग से +1 तक होते हैं; और इसलिए विभाजन बीजगणित नहीं हो सकता। केली-डिक्सन निर्माण द्वारा जटिल संख्याओं को विस्तारित करने के लिए एक अलग दृष्टिकोण लिया जाता है। यह आयाम 2 की संख्या प्रणाली उत्पन्न करता हैⁿ, n = 2, 3, 4, ..., आधारों के साथ $\left\{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\right\}$, जहां सभी गैर-वास्तविक आधार तत्व एंटी-कम्यूट और संतुष्ट हैं $i_{m}^{2}=-1$. 8 या अधिक आयामों में (n ≥ 3) ये बीजगणित असहयोगी हैं। 16 या अधिक आयामों में (n ≥ 4) इन बीजगणितों में शून्य-भाजक भी होते हैं।

इस क्रम में पहले बीजगणित चार-आयामी चतुष्कोण, आठ-आयामी ऑक्टोनियन और 16-आयामी sedenion हैं। आयाम में प्रत्येक वृद्धि के साथ एक बीजगणितीय समरूपता खो जाती है: चतुष्कोणीय गुणन विनिमेय नहीं है, ऑक्टोनियन गुणन गैर-सहयोगी है, और सेडेनियन का मानदंड (गणित) गुणक नहीं है।

केली-डिक्सन निर्माण को कुछ चरणों में एक अतिरिक्त चिन्ह लगाकर संशोधित किया जा सकता है। यह तब विभाजन बीजगणित के बजाय रचना बीजगणित के संग्रह में विभाजित बीजगणित उत्पन्न करता है:

विभाजित-जटिल संख्या आधार के साथ $\{1,\,i_{1}\}$ संतुष्टि देने वाला $\ i_{1}^{2}=+1$,

विभाजन-चतुर्भुज आधार के साथ $\{1,\,i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\}$ संतुष्टि देने वाला $\ i_{1}^{2}=-1,\,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1$, और

आधार के साथ विभाजन-ऑक्शन $\{1,\,i_{1},\,\dots ,\,i_{7}\}$ संतुष्टि देने वाला $\ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1$, $\ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1.$

जटिल संख्याओं के विपरीत, विभाजन-जटिल संख्याएं बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र नहीं हैं, और इसमें गैर-तुच्छ शून्य विभाजक और गैर-तुच्छ idempotent शामिल हैं। चतुष्कोणों की तरह, विभाजित-चतुर्भुज क्रमविनिमेय नहीं होते हैं, लेकिन आगे नीलपोटेंट होते हैं; वे आयाम दो के वर्ग मैट्रिसेस के लिए आइसोमोर्फिक हैं। स्प्लिट-ऑक्टोनियन गैर-सहयोगी होते हैं और इसमें निलपोटेंट होते हैं।

टेंसर उत्पाद

किन्हीं दो बीजगणितों का टेन्सर गुणनफल एक और बीजगणित है, जिसका उपयोग हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबर सिस्टम के कई और उदाहरण तैयार करने के लिए किया जा सकता है।

विशेष रूप से जटिल संख्याओं के साथ टेन्सर उत्पादों को लेना (वास्तविक के ऊपर बीजगणित के रूप में माना जाता है) चार-आयामी टेसरीन की ओर जाता है $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$, आठ आयामी द्विअर्थी $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H}$, और 16-आयामी ऑक्टोनियन $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O}$.

अन्य उदाहरण

• द्विजटिल संख्या एँ: वास्तविक के ऊपर एक 4-आयामी सदिश स्थान, जटिल संख्याओं के ऊपर 2-आयामी, टेसरीन के लिए समरूपी।
• बहुविकल्पी संख्या : 2ⁿवास्तविक से अधिक आयामी सदिश स्थान, 2ⁿ⁻¹-संमिश्र संख्याओं पर आयामी
• रचना बीजगणित: बीजगणित एक द्विघात रूप के साथ जो उत्पाद के साथ बनता है

यह भी देखें

• सेडेनियन्स
• थॉमस किर्कमैन
• जॉर्ज शेफ़र्स
• रिचर्ड ब्राउर
• हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण

आगे की पढाई

• Alfsmann, Daniel (2006), "On families of 2^N dimensional hypercomplex algebras suitable for digital signal processing" (PDF), 14th European Signal Processing Conference, Florence, Italy, pp. 1–4
• Artin, Emil (1965) [1928], "Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen; Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen", in Lang, Serge; Tate, John T. (eds.), The Collected Papers of Emil Artin, Addison-Wesley, pp. 301–345
• Baez, John (2002), "The Octonions", Bulletin of the American Mathematical Society, 39 (2): 145–205, arXiv:math/0105155, doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X, ISSN 0002-9904, S2CID 586512
• Cartan, Élie (1908), "Les systèmes de nombres complex et les groupes de transformations", Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, vol. I 1. and Ouvres Completes T.2 pt. 1, pp 107–246.
• Herzberger, Max (1923), "Ueber Systeme hyperkomplexer Grössen", Doctoral Dissertation, Friedrich Wilhelm University
• La Duke, Jeanne (1983), "The study of linear associative algebras in the United States, 1870–1927", in Srinivasan, B.; Sally, J. (eds.), Emmy Noether in Bryn Mawr: Proceedings of a Symposium Sponsored by the Association for Women in Mathematics in Honor of Emmy Noether's 100th Birthday, Springer, pp. 147–159, ISBN 978-0-387-90838-0
• Olariu, Silviu (2002), Complex Numbers in N Dimensions, North-Holland Mathematics Studies, vol. 190, Elsevier, ISBN 0-444-51123-7
• Sabadini, Irene; Shapiro, Michael; Sommen, Frank, eds. (2009), Hypercomplex Analysis and Applications, Birkhauser, ISBN 978-3-7643-9892-7
• Taber, Henry (1904), "On Hypercomplex Number Systems", Transactions of the American Mathematical Society, 5 (4): 509–548, doi:10.2307/1986280, JSTOR 1986280
• MacLagan Wedderburn, J.H. (1908), "On Hypercomplex Numbers", Proceedings of the London Mathematical Society, s2-6 (1): 77–118, doi:10.1112/plms/s2-6.1.77

बाहरी कड़ियाँ

• "Hypercomplex number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Hypercomplex number". MathWorld.
• Study, E., On systems of complex numbers and their application to the theory of transformation groups (PDF) (English translation)
• Frobenius, G., Theory of hypercomplex quantities (PDF) (English translation)