कॉची सीमा की स्थिति

गणित में, एक कॉची (फ्रेंच: [koʃi]) परिसीमा प्रतिबंध एक सामान्य अवकल समीकरण या एक आंशिक अवकल समीकरण को शर्तों के साथ बढ़ाती है जो समाधान को सीमा पर संतुष्ट करना चाहिए; आदर्श रूप से यह सुनिश्चित करने के लिए कि एक अद्वितीय समाधान सम्मिलित है। कॉची परिसीमा प्रतिबंध प्रक्षेत्र (गणितीय विश्लेषण) की परिसीमा (सांस्थिति) पर फलन मान और प्रसामान्य अवकलज दोनों को निर्दिष्ट करती है। यह डिरिचलेट की परिसीमा प्रतिबंध और नॉयमान की परिसीमा प्रतिबंध दोनों को प्रयुक्त करने के अनुरूप है। इसका नाम 19वीं सदी के प्रख्यात फ्रांसीसी गणितीय विश्लेषक ऑगस्टिन-लुई कॉची के नाम पर रखा गया है।

द्वितीय क्रम सामान्य अवकल समीकरण

कॉची परिसीमा प्रतिबंध दूसरे क्रम के सामान्य अवकल समीकरणों में सरल और सामान्य है,

$y''(s)=f{\big (}y(s),y'(s),s{\big )},$

जहां, यह सुनिश्चित करने के लिए कि एक अद्वितीय समाधान $y(s)$ सम्मिलित है, कोई फलन का मान $y$ और अवकल का मान $y'$ एक निश्चित बिंदु पर $s=a$ निर्दिष्ट कर सकता है, अर्थात,

$y(a)=\alpha ,$

और

$y'(a)=\beta ,$

जहाँ $a$ एक सीमा या प्रारंभिक बिंदु है। चूँकि प्राचल $s$ सामान्य रूप से समय होता है, कॉची स्थितियों को प्रारंभिक मान स्थितियाँ या प्रारंभिक मान आंकड़ा या केवल कॉची आंकड़ा भी कहा जा सकता है। ऐसी स्थिति का एक उदाहरण न्यूटन के गति के नियम हैं, जहां त्वरण $y''$ स्थिति $y$, वेग $y'$, और समय $s$ पद पर निर्भर करता है; यहाँ, कॉची आंकड़ा प्रारंभिक स्थिति और वेग जानने के अनुरूप है।

आंशिक अवकल समीकरण

आंशिक अवकल समीकरणों के लिए, कॉची परिसीमा प्रतिबंध सीमा पर फलन और सामान्य अवकल दोनों को निर्दिष्ट करती है। वस्तुओ को सरल और ठोस बनाने के लिए, समतल में दूसरे क्रम के अवकल समीकरण पर विचार करें

$A(x,y)\psi _{xx}+B(x,y)\psi _{xy}+C(x,y)\psi _{yy}=F(x,y,\psi ,\psi _{x},\psi _{y}),$

जहाँ $\psi (x,y)$ अज्ञात समाधान है, अतः $\psi _{x}$ और $\psi$ आदि के संबंध में $x$ के अवकल को दर्शाता है। फलन $A,B,C,F$ समस्या निर्दिष्ट करते हैं

अब हम एक $\psi$ की जांच करते हैं जो एक प्रक्षेत्र $\Omega$, में आंशिक अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है, जो कि $xy$ तल का एक उप-समुच्चय है, और जैसे कि कॉची परिसीमा प्रतिबंध

$\psi (x,y)=\alpha (x,y),\quad \mathbf {n} \cdot \nabla \psi =\beta (x,y)$

सभी सीमा बिंदुओं $(x,y)\in \partial \Omega$ के लिए प्रग्रहण करे। यहाँ $\mathbf {n} \cdot \nabla \psi$ सीमा के अनुक्रम की दिशा में अवकल है। फलन $\alpha$ और $\beta$ कॉची आंकड़ा हैं।

कॉची परिसीमा प्रतिबंध और रॉबिन परिसीमा प्रतिबंध के बीच अवकल पर ध्यान दें। पूर्व में, हम फलन और सामान्य अवकल दोनों को निर्दिष्ट करते हैं। उत्तरार्द्ध में, हम दोनों का भारित औसत निर्दिष्ट करते हैं।

हम यह सुनिश्चित करने के लिए परिसीमा प्रतिबंध की जांच करेंगे कि वास्तव में एक (अद्वितीय) समाधान सम्मिलित है, लेकिन दूसरे क्रम के आंशिक अवकल समीकरणों के लिए, अस्तित्व और विशिष्टता की प्रत्याभूति देना उतना सरल नहीं है जितना कि सामान्य अवकल समीकरणों के लिए है। विवृत प्रक्षेत्र (उदाहरण के लिए, आधा तल) पर अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण समस्याओं (उदाहरण के लिए, तरंग समीकरण) के लिए कॉची आंकड़ा सबसे तत्काल परिच्छेदक हैं।

यह भी देखें

• डिरिचलेट परिसीमा प्रतिबंध
• मिश्रित परिसीमा प्रतिबंध
• न्यूमैन परिसीमा प्रतिबंध
• रॉबिन परिसीमा प्रतिबंध