रम्ब रेखा

Not to be confused with रूम्ब संजाल.

For चित्र संग्रह, see रूम्ब रेखा. For पट्ट खेल, see रूम्ब लाइन (पट्ट खेल).

एकदिश नौपथ, या रम्ब रेखा की छवि, जो उत्तरी ध्रुव की ओर बढ़ती है

मार्गदर्शन में, एक रूम्ब रेखा, रूम्ब (/rʌm/), या एकदिश नौपथ एक चाप (ज्यामिति) है जो एक ही कोण पर देशांतर के सभी मेरिडियन (भूगोल) को पार करता है, अर्थात, वास्तविक उत्तर के सापेक्ष मापा गया निरंतर दिक्कोण (नेविगेशन) वाला पथ।

परिचय

एक ग्लोब की सतह पर एक रूम्ब रेखा पाठ्यक्रम का पालन करने के प्रभाव पर प्रथम बार 1537 में पुर्तगाली लोग गणितज्ञ पेड्रो नून्स ने 1590 के दशक में थॉमस हैरियट द्वारा आगे के गणितीय विकास के साथ समुद्री लेखाचित्र की रक्षा में अपने ग्रंथ में चर्चा की थी।

एक रूम्ब रेखा की तुलना एक बड़े वृत्त से की जा सकती है, जो एक गोले की सतह पर दो बिंदुओं के मध्य की सबसे छोटी दूरी का मार्ग है। एक बड़े वृत्त पर, गंतव्य बिंदु का दिक्कोण स्थिर नहीं रहता है। अगर किसी को एक बृहत् वृत के साथ एक कार चलाना होता है तो वह चालन चक्र को स्थिर रखता है, परन्तु एक रूम्ब रेखा का पालन करने के लिए चक्र को घुमाना पड़ता है, जैसे-जैसे ध्रुव पास आते हैं, इसे और अधिक तीव्रता से घुमाते हैं। दूसरे शब्दों में, एक बड़ा वृत्त शून्य अल्पांतरी वक्रता के साथ स्थानीय रूप से सीधा होता है, जबकि एक रूम्ब रेखा में गैर-शून्य अल्पांतरी वक्रता होती है।

देशांतर के ध्रुववृत्त और अक्षांश के समानांतर रूम्ब रेखा के विशेष स्थिति प्रदान करते हैं, जहां उनके प्रतिच्छेदन के कोण क्रमशः 0° और 90° होते हैं। एक उत्तर-दक्षिण पंथ पर रूम्ब रेखा पाठ्यक्रम एक बृहत् वृत के साथ मेल खाता है, जैसा कि यह भूमध्य रेखा के साथ पूर्व-पश्चिम मार्ग पर होता है।

मर्केटर प्रक्षेप प्रतिचित्र पर, कोई भी रूम्ब रेखा एक सीधी रेखा है; इस तरह के प्रतिचित्र पर पृथ्वी पर किन्हीं दो बिंदुओं के मध्य बिना प्रतिचित्र के किनारे से हटे एक रूम्ब रेखा खींची जा सकती है। परन्तु सैद्धांतिक रूप से एक एकदिश नौपथ प्रतिचित्र के दाहिने किनारे से आगे बढ़ सकता है, जहां यह फिर उसी प्रवणता के साथ बाएं किनारे पर जारी रहता है (यह मानते हुए कि नक्शा बिल्कुल 360 डिग्री देशांतर को कवर करता है)।

तिर्यक् कोणों पर मध्याह्न रेखाओं को काटने वाली रूंब रेखाएं एकदिश नौपथ वक्र हैं जो ध्रुवों की ओर सर्पिल होती हैं।मर्केटर प्रक्षेप पर उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव अनंत पर होते हैं और इसलिए इन्हें कभी नहीं दिखाया जाता है। हालांकि असीमित उच्च प्रतिचित्र पर पूर्ण एकदिश नौपथ में दो किनारों के मध्य असीम रूप से कई रेखा खंड सम्मिलित होंगे। त्रिविम प्रक्षेप प्रतिचित्र पर, एक एकदिश नौपथ एक समकोणीय सर्पिल है जिसका केंद्र उत्तर या दक्षिण ध्रुव है।

सभी एकदिश नौपथ एक भौगोलिक ध्रुव से दूसरे तक उत्तरोत्तर होते हैं। ध्रुवों के पास, वे लघुगणकीय सर्पिल होने के निकट हैं (जो कि वे एक त्रिविम प्रक्षेप पर हैं, नीचे देखें), इसलिए वे प्रत्येक ध्रुव के चारों ओर अनंत बार चक्कर लगाते हैं परन्तु एक सीमित दूरी में ध्रुव तक पहुंचते हैं। एक एकदिश नौपथ की ध्रुव-से-ध्रुव लंबाई (एक आदर्श क्षेत्र मानते हुए) भूमध्य रेखा (भूगोल) की लंबाई है जो वास्तविक उत्तर से दूर दिक्कोण के कोज्या से विभाजित होती है। एकदिश नौपथ को ध्रुवों पर परिभाषित नहीं किया गया है।

व्युत्पत्ति और ऐतिहासिक विवरण

एकदिश नौपथ शब्द प्राचीन यूनानी भाषा λοξός loxos से आया है: तिरछा + δρόμος drómos: परिचालन (δραμεῖν drameîn से: चलाने के लिए)। रूंब शब्द स्पेनिश भाषा या पुर्तगाली भाषा रूंबो/रुमो (पाठ्यक्रम या दिशा) और यूनानी समचतुर्भुज | ῥόμβος rhómbos, से आया है। रेम्बिन से।

द ग्लोब एनसाइक्लोपीडिया ऑफ यूनिवर्सल इंफॉर्मेशन के 1878 संस्करण में एकदिश नौपथ रेखा का वर्णन इस प्रकार है:

एकदिश नौपथ रेखा एक वक्र है जो किसी दिए गए सतह की वक्रता की रेखाओं की प्रणाली के प्रत्येक सदस्य को एक ही कोण पर काटती है। कम्पास के एक ही बिंदु की ओर जाने वाला जहाज एक ऐसी रेखा का वर्णन करता है जो सभी याम्योत्तरों को एक ही कोण पर काटती है। मर्केटर के प्रक्षेप (q.v.) में एकदिश नौपथ रेखाएँ स्पष्ट रूप से सीधी होती हैं।

एक मिथ्याबोध उत्पन्न हो सकती है क्योंकि जब यह शब्द प्रयोग में आया तो इसका कोई सटीक अर्थ नहीं था। यह विंडरोज रेखा के लिए समान रूप से अच्छी तरह से अनुप्रयुक्त होता है क्योंकि यह एकदिश नौपथ के लिए किया जाता है क्योंकि यह शब्द केवल स्थानीय रूप से अनुप्रयुक्त होता है और इसका मतलब केवल वही होता है जो एक नाविक ने निरंतर दिक्कोण (नेविगेशन) के साथ पालने के लिए किया था, जो कि सभी अशुद्धियों के साथ होता है। इसलिए, जब पोर्टोलन उपयोग में थे, तो रूम्ब पोर्टोलन्स पर सीधी रेखाओं पर अनुप्रयुक्त होता था, साथ ही मर्केटर चार्ट पर हमेशा सीधी रेखाओं के लिए भी अनुप्रयुक्त होता था। छोटी दूरी के लिए पोर्टोलन रूम्ब्स मर्केटर रूम्ब्स से सार्थक रूप से भिन्न नहीं होते हैं, परन्तु इन दिनों रूम्ब गणितीय रूप से सटीक एकदिश नौपथ का पर्याय बन गया है क्योंकि इसे पूर्वव्यापी रूप से पर्यायवाची बना दिया गया है।

जैसा कि लियो बग्रो कहते हैं: शब्द ('रंबलाइन') इस अवधि के समुद्र-चार्ट पर गलत तरीके से अनुप्रयुक्त किया गया है, क्योंकि एक एकदिश नौपथ एक सटीक पाठ्यक्रम देता है, जब चार्ट एक उपयुक्त प्रक्षेपण पर खींचा जाता है। कार्टोमेट्रिक जांच से पता चला है कि शुरुआती चार्ट में किसी प्रक्षेपण का उपयोग नहीं किया गया था, इसलिए हम 'पोर्टोलन' नाम रखते हैं।

गणितीय विवरण

त्रिज्या 1 के गोले के लिए, अज़ीमुथल कोण λ, ध्रुवीय कोण −π/2 ≤ φ ≤ π/2 (अक्षांश के अनुरूप यहां परिभाषित), और कार्टेशियन समन्वय प्रणाली # मानक आधार में एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करना i, j, और k का उपयोग त्रिज्या वेक्टर लिखने के लिए किया जा सकता है r जैसा

$\mathbf {r} (\lambda ,\varphi )=(\cos {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {i} +(\sin {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {j} +(\sin {\varphi })\mathbf {k} \,.$

ओर्थोगोनैलिटी#यूक्लिडियन वेक्टर रिक्त स्थान दिगंशीय और गोले के ध्रुवीय दिशाओं में लिखा जा सकता है

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}(\lambda ,\varphi )&=\sec {\varphi }{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}=(-\sin {\lambda })\mathbf {i} +(\cos {\lambda })\mathbf {j} \,,\\[8pt]{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}(\lambda ,\varphi )&={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}=(-\cos {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {i} +(-\sin {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {j} +(\cos {\varphi })\mathbf {k} \,,\end{aligned}}$

जिसकी डॉट उत्पाद#ज्यामितीय परिभाषा है

${\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}={\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot \mathbf {r} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\cdot \mathbf {r} =0\,.$

λ̂ निरंतर के लिए φ अक्षांश के समानांतर का पता लगाता है, जबकि φ̂ निरंतर के लिए λ देशांतर के एक याम्योत्तर का पता लगाता है, और साथ में वे गोले के लिए एक तल स्पर्शरेखा उत्पन्न करते हैं।

यूनिट वेक्टर

$\mathbf {\boldsymbol {\hat {\beta }}} (\lambda ,\varphi )=(\sin {\beta }){\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta }){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

एक स्थिर कोण है β इकाई वेक्टर के साथ φ̂ किसी के लिए λ और φ, क्योंकि उनका अदिश गुणनफल है

${\boldsymbol {\hat {\beta }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=\cos {\beta }\,.$

एक एकदिश नौपथ को गोले पर एक वक्र के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें एक स्थिर कोण होता है β देशांतर के सभी याम्योत्तरों के साथ, और इसलिए इकाई वेक्टर के समानांतर होना चाहिए β̂. नतीजतन, एक अंतर लंबाई ds एकदिश नौपथ के साथ एक अंतर विस्थापन उत्पन्न करेगा

$\operatorname {gd}$