उत्तल विश्लेषण

एक 3-आयामी उत्तल पॉलीटॉप। उत्तल विश्लेषण में न केवल यूक्लिडियन रिक्त स्थान के उत्तल उपसमुच्चय का अध्ययन शामिल है बल्कि अमूर्त रिक्त स्थान पर अवमुख फलनों का अध्ययन भी शामिल है।

उत्तल विश्लेषण अवमुख फलन और अवमुख समुच्चय के गुणों के अध्ययन के लिए समर्पित गणित की शाखा है प्रायः उत्तल न्यूनीकरण में अनुप्रयोगों के साथ अनुकूलन सिद्धांत का उपडोमेन होता है।

अवमुख समुच्चय

Main article: अवमुख समुच्चय

कुछ सदिश समष्टि $X$ का एक उपसमुच्चय $C\subseteq X$ अवमुख होता है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता है:

1. यदि $0\leq r\leq 1$ वास्तविक है तब $x,y\in C$ के साथ $rx+(1-r)y\in C$ है।
2. यदि $0<r<1$ वास्तविक है तब $x,y\in C$ और $x\neq y,$ के साथ $rx+(1-r)y\in C$ है।

एक अंतराल पर अवमुख फलन

Main article: अवमुख फलन

संपूर्ण $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ विस्तारित वास्तविक संख्या रेखाओं में एक मानचित्र $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ एक डोमेन के साथ $\operatorname {domain} f=X$ है जो कि कुछ सदिश समष्टि का अवमुख उपसमुच्चय है यदि मानचित्र $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ एक अवमुख फलन है:

$f(rx+(1-r)y)\leq rf(x)+(1-r)f(y)$

(Convexity ≤)

कोई भी वास्तविक संख्या $0<r<1$ और $x,y\in X$ के साथ यदि किसी भी $x\neq y.$ के लिए मान्य है जिसको $f$ की परिभाषित असमानता (Convexity ≤) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है तब $f$ को दृढ़तः अवमुख फलन कहा जाता है:

$f(rx+(1-r)y)<rf(x)+(1-r)f(y)$

(Convexity <)

अवमुख फलन अवमुख समुच्चय से संबंधित हैं विशेष रूप से फलन $f$ उत्तल है यदि और केवल यदि इसका एपिग्राफ फलन है:

एक फलन (काले रंग में) उत्तल होता है यदि और केवल यदि इसका एपीग्राफ, जो इसके फलन के ग्राफ़ (हरे रंग में) के ऊपर का क्षेत्र है, एक अवमुख समुच्चय है।

बहुपद का एक ग्राफ # चर की संख्या उत्तल समारोह $x^{2}+xy+y^{2}.$

$\operatorname {epi} f:=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~f(x)\leq r\right\}$

(Epigraph def.)

यह एक अवमुख समुच्चय है यदि विस्तारित वास्तविक-मान फलन के एपिग्राफ उत्तल विश्लेषण में एक भूमिका निभाते हैं जो वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक-मान फलन के आरेख द्वारा निभाई गई भूमिका के अनुरूप है विशेष रूप से एक विस्तारित वास्तविक मान फलन का एपिग्राफ ज्यामितीय अंतर्ज्ञान प्रदान करता है जिसका उपयोग सूत्र की सहायता करने या अनुमानों को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।

किसी फलन का डोमेन $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ द्वारा निरूपित किया जाता है जबकि $\operatorname {domain} f$ इसका प्रभावी डोमेन समुच्चय है:

$\operatorname {dom} f:=\{x\in X~:~f(x)<\infty \}.$

(dom f def.)

फलन $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ उपयुक्त फलन कहलाता है यदि $\operatorname {dom} f\neq \varnothing$ और $f(x)>-\infty$ के लिए $x\in \operatorname {domain} f$ है वैकल्पिक रूप से इसकातात्पर्य यह है कि $f$ के डोमेन में कुछ $x$ सम्मिलित है जिस पर $f(x)\in \mathbb {R}$ और $f$ कभी भी $-\infty$ के बराबर नहीं है दूसरे शब्दों में यह एक उपयुक्त फलन है यदि इसका डोमेन रिक्त नहीं है तो यह कभी भी मान $-\infty ,$ नहीं लेता है और यह $+\infty .$ के समान नहीं है यदि $f:\mathbb {R} ^{n}\to [-\infty ,\infty ]$ एक उपयुक्त अवमुख फलन है तब कुछ सदिश $b\in \mathbb {R} ^{n}$ और $r\in \mathbb {R}$ सम्मिलित हैं जैसे कि $f(x)\geq x\cdot b-r$ के लिए $x$ है।

जहाँ $x\cdot b$ सदिश के अदिश गुणनफल को दर्शाता है।

उत्तल संयुग्म

Main article: उत्तल संयुग्म

एक विस्तारित वास्तविक-मान फलन का उत्तल संयुग्म $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ (आवश्यक रूप से उत्तल नहीं) फलन $f^{*}:X^{*}\to [-\infty ,\infty ]$ की द्वैतसमष्‍टि $X^{*}$ का $X,$ है:

$f^{*}\left(x^{*}\right)=\sup _{z\in X}\left\{\left\langle x^{*},z\right\rangle -f(z)\right\}$

जहां कोष्ठक $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ विहित द्विविधता को दर्शाता है और $\left\langle x^{*},z\right\rangle :=x^{*}(z)$, $f$ का द्विसंयुग्मक मानचित्र है जिसको $f^{**}=\left(f^{*}\right)^{*}:X\to [-\infty ,\infty ]$ द्वारा परिभाषित $f^{**}(x):=\sup _{z^{*}\in X^{*}}\left\{\left\langle x,z^{*}\right\rangle -f\left(z^{*}\right)\right\}$ के प्रत्येक $x\in X$ के लिए यदि $\operatorname {Func} (X;Y)$ के समुच्चय को दर्शाता है $X,$ पर मान वाले फलन फिर मानचित्र $\operatorname {Func} (X;[-\infty ,\infty ])\to \operatorname {Func} \left(X^{*};[-\infty ,\infty ]\right)$ द्वारा परिभाषित लिजेंड्रे-फेनचेल रूपांतरण कहलाता है।

सबडिफरेंशियल समुच्चय और फेनशेल-यंग असमानता

अगर $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ और $x\in X$ फिर subdifferential set है

${\begin{alignedat}{4}\partial f(x):&=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~f(z)\geq f(x)+\left\langle x^{*},z-x\right\rangle {\text{ for all }}z\in X\right\}&&({\text{“}}z\in X{\text{''}}{\text{ can be replaced with: }}{\text{“}}z\in X{\text{ such that }}z\neq x{\text{''}})\\&=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)\geq \left\langle x^{*},z\right\rangle -f(z){\text{ for all }}z\in X\right\}&&\\&=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)\geq \sup _{z\in X}\left\langle x^{*},z\right\rangle -f(z)\right\}&&{\text{ The right hand side is }}f^{*}\left(x^{*}\right)\\&=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)=f^{*}\left(x^{*}\right)\right\}&&{\text{ Taking }}z:=x{\text{ in the }}\sup {}{\text{ gives the inequality }}\leq .\\\end{alignedat}}$

उदाहरण के लिए, महत्वपूर्ण विशेष मामले में जहां $f=\|\cdot \|$ पर एक आदर्श है $X$, दिखाया जा सकता है कि अगर $0\neq x\in X$ तो यह परिभाषा कम हो जाती है:

$\partial f(x)=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle =\|x\|{\text{ and }}\left\|x^{*}\right\|=1\right\}$     और     $\partial f(0)=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\|x^{*}\right\|\leq 1\right\}.$ किसी के लिए $x\in X$ और $x^{*}\in X^{*},$ $f(x)+f^{*}\left(x^{*}\right)\geq \left\langle x^{*},x\right\rangle ,$ जिसे कहा जाता है Fenchel-Young inequality. यह असमानता एक समानता है (अर्थात $f(x)+f^{*}\left(x^{*}\right)=\left\langle x^{*},x\right\rangle$) अगर और केवल अगर $x^{*}\in \partial f(x).$ यह इस तरह से है कि सबडिफरेंशियल समुच्चय $\partial f(x)$ उत्तल संयुग्म से सीधे संबंधित है $f^{*}\left(x^{*}\right).$

=== उभयलिंगी === biconjugate} एक समारोह के $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ संयुग्म का संयुग्म है, जिसे आमतौर पर लिखा जाता है $f^{**}:X\to [-\infty ,\infty ].$ जब प्रबल द्वैत या दुर्बल द्वैत होता है (परेशान क्रिया के माध्यम से) तो यह दिखाने के लिए उभयलिंगी उपयोगी होता है।

किसी के लिए $x\in X,$ असमानता $f^{**}(x)\leq f(x)$ से अनुसरण करता है Fenchel–Young inequality. उचित अवमुख फलन के लिए, $f=f^{**}$ अगर और केवल अगर $f$ फेन्शेल-मोरो प्रमेय द्वारा उत्तल और निचला अर्ध-निरंतर है।

उत्तल न्यूनीकरण

Main article: Convex optimization

ए convex minimization (primal) problem रूपों में से एक है

पाना $\inf _{x\in M}f(x)$ जब एक अवमुख फलन दिया जाता है $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ और एक उत्तल उपसमुच्चय $M\subseteq X.$

दोहरी समस्या

Main article: Duality (optimization)

अनुकूलन सिद्धांत में, duality principle बताता है कि अनुकूलन समस्याओं को दो दृष्टिकोणों, मूल समस्या या दोहरी समस्या से देखा जा सकता है।

सामान्य तौर पर दो दोहरे जोड़े अलग-अलग स्थान को स्थानीय रूप से उत्तल स्थान देते हैं $\left(X,X^{*}\right)$ और $\left(Y,Y^{*}\right).$ फिर फंक्शन दिया $f:X\to [-\infty ,\infty ],$ हम खोजने के रूप में मौलिक समस्या को परिभाषित कर सकते हैं $x$ ऐसा है कि

$\inf _{x\in X}f(x).$

यदि बाधा की स्थिति है, तो इन्हें फ़ंक्शन में बनाया जा सकता है $f$ जैसे भी हो $f=f+I_{\mathrm {constraints} }$ कहाँ $I$ विशेषता कार्य (उत्तल विश्लेषण) है। तो करने दें $F:X\times Y\to [-\infty ,\infty ]$ एक गड़बड़ी कार्य हो जैसे कि $F(x,0)=f(x).$

dual problem}em चुने हुए गड़बड़ी समारोह के संबंध में द्वारा दिया गया है

$\sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}\left(0,y^{*}\right)$

कहाँ $F^{*}$ के दोनों चरों में उत्तल संयुग्म है $F.$ द्वैत अंतर असमानता के दाएं और बाएं हाथ के पक्षों का अंतर है

$\sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}\left(0,y^{*}\right)\leq \inf _{x\in X}F(x,0).$

यह सिद्धांत कमजोर द्वैत के समान है। यदि दोनों पक्ष एक दूसरे के बराबर हैं, तो समस्या को मजबूत द्वैत को संतुष्ट करने वाला कहा जाता है।

प्रबल द्वैत धारण करने की कई शर्तें होती हैं जैसे:

• $F=F^{**}$ कहाँ $F$ प्रारंभिक और दोहरी समस्याओं से संबंधित गड़बड़ी कार्य है और $F^{**}$ का उत्तल संयुग्म है $F$;
• मूल समस्या एक रेखीय अनुकूलन है;
• उत्तल अनुकूलन के लिए स्लेटर की स्थिति।

लैग्रेंज द्वैत

असमानता बाधाओं के साथ उत्तल न्यूनीकरण समस्या के लिए,

$\min {}_{x}f(x)$ का विषय है $g_{i}(x)\leq 0$ के लिए $i=1,\ldots ,m.$

Lagrangian दोहरी समस्या है

$\sup {}_{u}\inf {}_{x}L(x,u)$ का विषय है $u_{i}(x)\geq 0$ के लिए $i=1,\ldots ,m.$

जहां उद्देश्य समारोह $L(x,u)$ लैग्रेंज दोहरा कार्य है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$L(x,u)=f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}g_{j}(x)$

यह भी देखें

• Convexity in economics
  • Non-convexity (economics)
• List of convexity topics
• Werner Fenchel

संदर्भ

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• Hiriart-Urruty, J.-B.; Lemaréchal, C. (2001). Fundamentals of convex analysis. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42205-1.
• Kusraev, A.G.; Kutateladze, Semen Samsonovich (1995). Subdifferentials: Theory and Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-94-011-0265-0.
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बाहरी संबंध

• Media related to उत्तल विश्लेषण at Wikimedia Commons