गेज समूह (गणित)

एक गेज समूह यांग-मिल्स सिद्धांत के गेज समरूपता (गणित) का एक समूह है | यांग-मिल्स एक प्रमुख बंडल पर प्रमुख कनेक्शनों का गेज सिद्धांत है। एक प्रमुख बंडल दिया $P\to X$ एक संरचना झूठ समूह के साथ $G$, एक गेज समूह को इसके लंबवत ऑटोमोर्फिज्म के समूह के रूप में परिभाषित किया गया है। यह समूह समूह के लिए आइसोमोर्फिक है $G(X)$ संबंधित समूह बंडल के वैश्विक अनुभागों की ${\widetilde {P}}\to X$ जिसका विशिष्ट फाइबर एक समूह है $G$ जो सटे हुए निरूपण द्वारा स्वयं पर कार्य करता है। का इकाई तत्व $G(X)$ एक स्थिर इकाई-मूल्य खंड है $g(x)=1$ का ${\widetilde {P}}\to X$.

इसी समय, गेज गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत सहसंयोजक शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत को एक प्रमुख फ्रेम बंडल पर उदाहरण देता है, जिसकी गेज समरूपता सामान्य सहसंयोजक परिवर्तन हैं जो एक गेज समूह के तत्व नहीं हैं।

गेज सिद्धांत पर भौतिक साहित्य में, मुख्य बंडल के एक संरचना समूह को अक्सर गेज समूह कहा जाता है।

क्वांटम गेज सिद्धांत में, एक सामान्य उपसमूह को मानता है $G^{0}(X)$ एक गेज समूह का $G(X)$ जो स्टेबलाइजर है

$G^{0}(X)=\{g(x)\in G(X)\quad :\quad g(x_{0})=1\in {\widetilde {P}}_{x_{0}}\}$

किसी बिंदु का $1\in {\widetilde {P}}_{x_{0}}$ एक समूह बंडल का ${\widetilde {P}}\to X$. इसे पॉइंट गेज ग्रुप कहा जाता है। यह समूह प्रमुख कनेक्शनों के स्थान पर स्वतंत्र रूप से कार्य करता है। ज़ाहिर तौर से, $G(X)/G^{0}(X)=G$. एक प्रभावी गेज समूह का भी परिचय देता है ${\overline {G}}(X)=G(X)/Z$ कहाँ $Z$ एक गेज समूह का केंद्र है $G(X)$. इस समूह ${\overline {G}}(X)$ अलघुकरणीय प्रमुख कनेक्शन के एक स्थान पर स्वतंत्र रूप से कार्य करता है।

यदि एक संरचना समूह $G$ एक जटिल अर्ध-सरल मैट्रिक्स समूह है, सोबोलेव स्पेस ${\overline {G}}_{k}(X)$ एक गेज समूह का $G(X)$ पेश किया जा सकता है। यह एक झूठ समूह है। एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि की कार्रवाई ${\overline {G}}_{k}(X)$ एक सोबोलेव पूरा होने पर $A_{k}$ प्रिंसिपल कनेक्शन की जगह चिकनी है, और कक्षा की जगह है $A_{k}/{\overline {G}}_{k}(X)$ एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष है। यह क्वांटम गेज सिद्धांत का एक पथ अभिन्न सूत्रीकरण है।

संदर्भ

• Mitter, P., Viallet, C., On the bundle of connections and the gauge orbit manifold in Yang – Mills theory, Commun. Math. Phys. 79 (1981) 457.
• Marathe, K., Martucci, G., The Mathematical Foundations of Gauge Theories (North Holland, 1992) ISBN 0-444-89708-9.
• Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Connections in Classical and Quantum Field Theory (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8

यह भी देखें

• गेज समरूपता (गणित)
• गेज सिद्धांत
• गेज सिद्धांत (गणित)
• प्रिंसिपल बंडल

श्रेणी:विभेदक ज्यामिति श्रेणी:गेज सिद्धांत श्रेणी:सैद्धांतिक भौतिकी