टॉरॉयडल पॉलीहेड्रॉन
ज्यामिति में, एक टोरॉयडल बहुफलक होता है जो एक टोरॉयड (एक g-होलेड टोरस) भी होता है, जिसमें 1 या उससे अधिक का टोपोलॉजी वर्ग (g) होता है। उल्लेखनीय उदाहरणों में सेस्ज़ार और सिलासी बहुफलक सम्मलित हैं।
परिभाषा में स्थानान्तरण
टॉरॉयडल बहुफलक को बहुभुजों के संग्रह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो उनके किनारों और कोने पर मिलते हैं, जैसा कि वे करते हैं। अर्थात्, प्रत्येक किनारे को पूर्णतया दो बहुभुजों द्वारा सहभाजित किया जाना चाहिए, जो प्रत्येक शीर्ष और फलक पर मिलते हैं, उन्हें वैकल्पिक किनारों और आकृतियों के एक चक्र में एक साथ जोड़ा जाना चाहिए, शीर्ष का लिंक। टोरॉयडल बहुफलक के लिए, यह कई गुना ओरिएंटेबल सतह है।[1] कुछ लेखक "टोरॉयडल बहुफलक" वाक्यांश को अधिक विशेष रूप से बहुफलक के रूप में (जीनस 1) टोरस के समतुल्य के रूप में प्रतिबंधित करते हैं।[2] इस क्षेत्र में, अंत:स्थापन टोरॉयडल बहुफलक को अलग करना महत्वपूर्ण है, जिनके चेहरे त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में समतल बहुभुज हैं जो खुद को या एक दूसरे को पार नहीं करते हैं, बिना किसी निर्दिष्ट ज्यामितीय प्राप्ति के बहुफलक से, टोपोलॉजिकल सतहों से।[3] इन दो चरम सीमाओं के बीच इंटरमीडिएट यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ज्यामितीय बहुभुज या स्टार बहुभुज द्वारा गठित बहुकोणीय आकृति हैं जो एक दूसरे को पार करने की अनुमति देते हैं।
इन सभी स्थितियों में बहुफलक की टोरॉयडल प्रकृति को इसकी उन्मुखता और इसकी यूलर विशेषता के गैर-सकारात्मक होने से सत्यापित किया जा सकता है। यूलर की विशेषता V − E + F = 2 − 2N, के लिए सामान्यीकृत होती है, जहां N आयोजनों की संख्या है।
ज़ाज़र और ज़िलास्सी पॉलीहेड्रा
 Interactive Csaszar polyhedron model – in the SVG image, move the mouse left and right to rotate it.[4] |
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सबसे सरल संभव अंतः स्थापित टोरॉयडल बहुफलक में से दो ज़ाज़र और ज़िलास्सी बहुफलक होते हैं।
सेस्ज़ार बहुफलक 21 किनारों और 14 त्रिकोणीय आकृतियों वाला एक सात-शीर्ष टोरॉयडल बहुफलक है।[6] यह और चतुष्फलक एकमात्र ज्ञात बहुफलक हैं जिसमें दो शीर्षों को जोड़ने वाला प्रत्येक संभव रेखा खंड बहुफलक योजक बनाता है।[7] इसके दोहरे, स्ज़ीलासी बहुफलक में सात हेक्सागोनल आकृति हैं जो सभी एक दूसरे से जुड़े हुए हैं,[8] इसलिए अस्तित्व को आधा प्रमेय प्रदान करते हैं कि एक टोरस पर एक मानचित्र के लिए आवश्यक रंगों की अधिकतम संख्या सात है। [9] ज़ाज़र बहुफलक में किसी भी अंतः स्थापित टॉरॉयडल बहुफलक के सबसे कम संभव कोने हैं, और स्ज़ीलासी बहुफलक में किसी भी अंतः स्थापित टॉरॉयडल बहुफलक के सबसे कम संभव बाह्य अर्थ हैं।
स्टीवर्ट टॉरॉयड्स
टोरॉयडल बहुफलक की एक विशेष श्रेणी विशेष रूप से नियमित बहुभुज आकृतियों द्वारा बनाई जाती है, प्रसंकरण के बिना, और एक और प्रतिबंध के साथ कि आसन्न आकृति एक दूसरे के समान सतह में नहीं हो सकते हैं। इन्हें स्टीवर्ट टॉरॉयड्स कहा जाता है,[10] बोनी स्टीवर्ट के नाम पर रखा गया, जिन्होंने इनका गहन अध्ययन किया।[11] उत्तल बहुफलक के स्थिति में वे जॉनसन ठोस के समान हैं; चूंकि, जॉनसन सॉलिड्स के विपरीत, असीम रूप से कई स्टीवर्ट टॉरॉयड्स हैं।[12] इनमें टॉरॉयडल डेल्टाहेड्रोन, बहुफलक भी सम्मलित हैं जिनकी आकृति सभी समबाहु त्रिभुज हैं।
स्टीवर्ट टोरॉयड्स का एक प्रतिबंधित वर्ग, जिसे स्टीवर्ट द्वारा भी परिभाषित किया गया है, अर्ध-उत्तल टॉरॉयडल बहुफलक हैं। ये स्टीवर्ट टॉरॉयड्स हैं जिनमें उनके उत्तल हल्स के सभी किनारे सम्मलित हैं। ऐसे बहुफलक के लिए, उत्तल पतवार का प्रत्येक फलक या तो टोरॉयड की सतह पर स्थित होता है, या एक बहुभुज होता है जिसके सभी किनारे टोरॉइड की सतह पर स्थित होते हैं। [13]
| जीनस | 1 | 1 |
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| इमेज | 
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| पालिहीड्रन | 6 षट्कोणीय वर्णक्रम | 8 ऑक्टाहेड्रा |
| वर्टेक्स | 48 | 24 |
| एज | 84 | 72 |
| फेस | 36 | 48 |
| जीनस | 1 | 3 | 11 | 3 | 5 | 7 | 11 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| इमेज | 
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| पालिहीड्रन | 4 वर्गाकार गुम्बद 8 चतुष्फलक |
6 त्रिकोणीय गुंबद 6 वर्गाकार पिरामिड |
4 त्रिकोणीय गुंबद 6 वर्ग पिरामिड |
24 त्रिकोणीय प्रिज्म 6 वर्ग पिरामिड 8 टेट्राहेड्रा |
6 वर्गाकार गुम्बद 4 त्रिकोणीय गुंबद 12 घन |
8 त्रिकोणीय गुंबद 12 घन |
6 वर्गाकार गुम्बद 12 घन |
6 वर्गाकार गुम्बद 8 त्रिकोणीय गुंबद |
| कन्वेक्स हल | छोटा घन | स्मॉल ऑक्टाहेड्रॉन | स्मॉल ऑक्टाहेड्रॉन | स्मॉल क्यूबोक्टहेड्रॉन | स्मॉल क्यूबोक्टहेड्रॉन | स्मॉल क्यूबोक्टहेड्रॉन | स्मॉल क्यूबोक्टहेड्रॉन | स्मॉल क्यूबोक्टहेड्रॉन |
| वर्टेक्स | 32 | 30 | 30 | 62 | 72 | 72 | 72 | 72 |
| एज | 64 | 60 | 72 | 168 | 144 | 168 | 168 | 168 |
| फेस | 32 | 30 | 38 | 86 | 68 | 88 | 84 | 76 |
स्व-क्रॉसिंग पॉलीहेड्रा
 ऑक्टाहेमीऑक्टाहेड्रोन |
 स्मॉल क्यूबिकुबोक्टाहेड्रोन |
 ग्रैट द्वादशफ़लक |
एक बहुफलक जो क्रॉसिंग बहुभुज की एक प्रणाली द्वारा बनाई गई है, उसके बहुभुज और उनके साझा किनारों और कोने की प्रणाली द्वारा बनाई गई एक सार संस्थानिक बहुमुख से मेल खाती है, और बहुतल का प्रकार इस अमूर्त बहुमुख से निर्धारित किया जा सकता है। उदाहरणों में जीनस-1 ऑक्टाहेमिओक्टाहेड्रॉन, जीनस-3 छोटा क्यूबिकुबोक्टाहेड्रोन और जीनस-4 ग्रेट द्वादशफलक सम्मलित हैं।
क्राउन पॉलीहेड्रा
एक शीर्ष बहुफलक या स्टेफ़नॉइड एक टॉरॉयडल पॉलीहेड्रॉन है, जो समकोणीय और आइसोहेड्रल दोनों होने के कारण भी बृहत है। क्राउन पॉलीहेड्रॉन स्व-प्रतिच्छेदी और स्थलाकृतिक रूप से स्व-द्वैत हैं। [14]
यह भी देखें
- प्रक्षेपी बहुफलक
- तिरछा एपिरोहेड्रोन (अनंत तिरछा पॉलीहेड्रॉन)
- गोलाकार पॉलीहेड्रॉन
- टॉरॉयडल ग्राफ
संदर्भ
- ↑ Whiteley (1979); Stewart (1980), p. 15.
- ↑ Webber, William T. (1997), "Monohedral idemvalent polyhedra that are toroids", Geometriae Dedicata, 67 (1): 31–44, doi:10.1023/A:1004997029852, MR 1468859, S2CID 117884274.
- ↑ Whiteley, Walter (1979), "Realizability of polyhedra" (PDF), Structural Topology (1): 46–58, 73, MR 0621628.
- ↑ Ákos Császár, A Polyhedron Without Diagonals., Bolyai Institute, University of Szeged, 1949
- ↑ Grünbaum, Branko; Szilassi, Lajos (2009), "Geometric Realizations of Special Toroidal Complexes", Contributions to Discrete Mathematics, 4 (1): 21–39, doi:10.11575/cdm.v4i1.61986, ISSN 1715-0868
- ↑ Császár, A. (1949), "A polyhedron without diagonals", Acta Sci. Math. Szeged, 13: 140–142.
- ↑ Ziegler, Günter M. (2008), "Polyhedral Surfaces of High Genus", in Bobenko, A. I.; Schröder, P.; Sullivan, J. M.; Ziegler, G. M. (eds.), Discrete Differential Geometry, Oberwolfach Seminars, vol. 38, Springer-Verlag, pp. 191–213, arXiv:math.MG/0412093, doi:10.1007/978-3-7643-8621-4_10, ISBN 978-3-7643-8620-7, S2CID 15911143.
- ↑ Szilassi, Lajos (1986), "Regular toroids" (PDF), Structural Topology, 13: 69–80[permanent dead link].
- ↑ Heawood, P. J. (1890), "Map colouring theorems", Quarterly Journal of Mathematics, First Series, 24: 322–339
- ↑ Webb, Robert (2000), "Stella: polyhedron navigator", Symmetry: Culture and Science, 11 (1–4): 231–268, MR 2001419.
- ↑ Stewart, B. M. (1980), Adventures Among the Toroids: A Study of Orientable Polyhedra with Regular Faces (2nd ed.), B. M. Stewart, ISBN 978-0-686-11936-4.
- ↑ Stewart (1980), p. 15.
- ↑ Stewart (1980), "Quasi-convexity and weak quasi-convexity", pp. 76–79.
- ↑ Grünbaum, Branko (1994), "Polyhedra with Hollow Faces", Polytopes: Abstract, Convex and Computational, NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Series, vol. 440, Kluwer Academic Publishers, pp. 43–70, doi:10.1007/978-94-011-0924-6_3. See in particular p. 60.
