चेबीशेव दूरी

This article is about परिमित-आयामी सदिश समष्टि दूरी. For फलन समष्टि मानक और माप, see समान मानक.

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8	File:Chessboard480.svg a8 five b8 four c8 three d8 two e8 two f8 two g8 two h8 two a7 five b7 four c7 three d7 two e7 one f7 one g7 one h7 two a6 five b6 four c6 three d6 two e6 one f6 white king g6 one h6 two a5 five b5 four c5 three d5 two e5 one f5 one g5 one h5 two a4 five b4 four c4 three d4 two e4 two f4 two g4 two h4 two a3 five b3 four c3 three d3 three e3 three f3 three g3 three h3 three a2 five b2 four c2 four d2 four e2 four f2 four g2 four h2 four a1 five b1 five c1 five d1 five e1 five f1 five g1 five h1 five								8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
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एक शतरंज पटल पर दो स्थानों के बीच असतत चेबीशेव दूरी चालों की न्यूनतम संख्या देती है राजा को उनके बीच चलने की आवश्यकता होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक राजा तिरछे चल सकता है, ताकि एक पंक्ति या स्तंभ के समानांतर छोटी दूरी को आच्छादित करने के लिए छलांग प्रभावी रूप से बड़े को आच्छादन करने वाली छलांग में अवशोषित हो जाए। ऊपर वर्ग f6 से प्रत्येक वर्ग की चेबिशेव दूरियां हैं।

गणित में, चेबीशेव दूरी (या चेबीचेव दूरी), अधिकतम माप, या L_∞ माप जो एक सदिश स्थान पर परिभाषित माप (गणित) है जहाँ दो निर्देशांक सदिशों के बीच की दूरी किसी भी निर्देशांक विमा के साथ उनके अंतरों में सबसे बड़ी है। इसका नाम पफन्युटी चेबीशेव के नाम पर है।

इसे शतरंज की बिसात के रूप में भी जाना जाता है, क्योंकि शतरंज के खेल में एक राजा (शतरंज) को शतरंज की बिसात पर एक वर्ग से दूसरे वर्ग तक जाने के लिए आवश्यक चालों की न्यूनतम संख्या चौकों के केंद्रों के बीच चेबीशेव की दूरी के बराबर होती है, यदि वर्गों की भुजा लंबाई है, जैसा कि पटल के किनारों से संरेखित अक्षों के साथ 2-डी स्थानिक निर्देशांक में दर्शाया गया है। उदाहरण के लिए, f6 और e2 के बीच चेबीशेव की दूरी 4 के बराबर है।

परिभाषा

मानक निर्देशांक $x_{i}$ और $y_{i}$ के साथ क्रमशः दो सदिश या बिंदु x और y के बीच की चेबीशेव दूरी

$D_{\rm {Chebyshev}}(x,y):=\max _{i}(|x_{i}-y_{i}|)\$ है।

यह L_p मिति:

$\lim _{p\to \infty }{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}$

की सीमा के बराबर है, इसलिए इसे L_∞ माप के रूप में भी जाना जाता है।

गणितीय रूप से, चेबीशेव दूरी एक माप (गणित) है जो सर्वोच्च मानक या समान मानक से प्रेरित है। यह अंतःक्षेपक माप स्थान का एक उदाहरण है।

दो विमाओं में, अर्थात समतल ज्यामिति, यदि बिंदु p और q में कार्तीय निर्देशांक $(x_{1},y_{1})$ और $(x_{2},y_{2})$ हैं, तो उनकी चेबीशेव दूरी

$D_{\rm {Chebyshev}}=\max \left(\left|x_{2}-x_{1}\right|,\left|y_{2}-y_{1}\right|\right)$ है।

इस माप के अंतर्गत, त्रिज्या r का एक वृत्त, जो केंद्र बिंदु से चेबीशेव दूरी r के साथ बिंदुओं का समूह है, एक वर्ग है जिसकी भुजाओं की लंबाई 2r है और समन्वय अक्षों के समानांतर हैं।

एक शतरंज की बिसात पर, जहां निरंतर एक के अतिरिक्त असतत चेबीशेव दूरी का उपयोग कर रहा है, त्रिज्या r का चक्र भुजाओं की लंबाई 2r का एक वर्ग है, जो वर्गों के केंद्रों से मापते है, और इस प्रकार प्रत्येक पक्ष में 2r + 1 वर्ग होते हैं; उदाहरण के लिए, शतरंज की बिसात पर त्रिज्या 1 का वृत्त एक 3×3 वर्ग है।

गुण

एक विमा में, सभी L_p मिति समान हैं - वे मात्र अंतर का निरपेक्ष मान हैं।

द्विविमीय मैनहटन दूरी में वृत्त होते हैं अर्थात वर्गों के रूप में स्तर समूह, लंबाई √2r के किनारों के साथ, समन्वय अक्षों के लिए π/4 (45°) के कोण पर उन्मुख होते हैं, इसलिए तलीय चेबीशेव दूरी को घूर्णन और सोपानी द्वारा तलीय मैनहट्टन दूरी के बराबर देखा जा सकता है (अर्थात एक रैखिक परिवर्तन)।

यद्यपि, L₁ और L_∞ माप के बीच यह ज्यामितीय तुल्यता उच्च विमा के लिए सामान्यीकृत नहीं होती हैं। माप के रूप में चेबीशेव दूरी का उपयोग करके बनाया गया एक गोला घन है जिसका प्रत्येक फलक समन्वय अक्षों में से एक के लंबवत होते है, परन्तु मैनहट्टन दूरी का उपयोग करके बनाया गया गोला अष्टफलक होता है: ये दोहरे बहुफलकीय हैं, परन्तु घनक्षेत्र के बीच, मात्र वर्ग (और 1) -विमा रेखा खंड स्वतः-दोहरी बहुतलीय हैं। फिर भी, यह सत्य है कि सभी परिमित-विमा स्थानों में L₁ और L_∞ मिति गणितीय रूप से एक दूसरे के दोहरे हैं।

एक ग्रिड पर (जैसे शतरंज की बिसात), एक बिंदु के 1 की चेबीशेव दूरी पर बिंदु उस बिंदु के मूर प्रतिवैस हैं।

चेबीशेव दूरी कोटि-$p$ मिन्कोव्स्की दूरी की सीमित स्थिति है, जब $p$ अनंत तक पहुँचता है।

अनुप्रयोग

चेबीशेव दूरी का उपयोग कभी-कभी गोदाम संभार में किया जाता है, क्योंकि यह किसी वस्तु को स्थानांतरित करने के लिए ऊपरी भारोत्तोलन यंत्र के समय को प्रभावी रूप से मापता है (क्योंकि भारोत्तोलन यंत्र एक ही समय में x और y अक्षों पर प्रत्येक अक्ष के साथ समान गति से चल सकती है)।

यह विशेष रूप से इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर सहायतायुक्त विनिर्माण, अनुप्रयोगों में, इनके लिए अनुकूलन एल्गोरिदम में भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। कई उपकरण, जैसे आलेखन या प्रवेधन यंत्र, प्रकाशआलेखन, आदि, तल में कार्य कर रहे हैं, सामान्यतः ऊपरी भारोत्तोलन यंत्र के समान x और y दिशाओं में दो मोटरों द्वारा नियंत्रित होते हैं।

यह भी देखें

• राजा का ग्राफ
• समान मानक
• टैक्सीकैब ज्यामिति