विशेषता समीकरण (कलन)

गणित में, विशेषता समीकरण (या सहायक समीकरण एक बहुपद की डिग्री का एक बीजगणितीय समीकरण है n जिस पर दिए गए का समाधान निर्भर करता है nवां-विभेदक समीकरण#समीकरण क्रम अवकल समीकरण या रैखिक अंतर समीकरण। अभिलाक्षणिक समीकरण तभी बन सकता है जब अवकल या अंतर समीकरण रैखिक अवकल समीकरण और समांगी अवकल समीकरण#सजातीय रैखिक अवकल समीकरण हो और जिसमें स्थिर गुणांक हों। ऐसा अंतर समीकरण, के साथ y निर्भर चर के रूप में, सुपरस्क्रिप्ट (n) n को दर्शाते हुए^वें-व्युत्पन्न, और a_n, a_n − 1, ..., a₁, a₀ स्थिरांक के रूप में,

$a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0,$

रूप का एक विशिष्ट समीकरण होगा

$a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0$

जिनके उपाय r₁, r₂, ..., r_n वे मूल हैं जिनसे सामान्य विलयन बनाया जा सकता है। अनुरूप रूप से, रूप का एक रेखीय अंतर समीकरण

$y_{t+n}=b_{1}y_{t+n-1}+\cdots +b_{n}y_{t}$

विशेषता समीकरण है

$r^{n}-b_{1}r^{n-1}-\cdots -b_{n}=0,$

निरंतर गुणांकों के साथ रैखिक पुनरावृत्ति पर अधिक विस्तार से चर्चा की गई # सजातीय मामले का समाधान।

चारित्रिक जड़ें (विशेषता समीकरण के एक बहुपद की जड़) चर के व्यवहार के बारे में गुणात्मक जानकारी भी प्रदान करती हैं जिसका विकास गतिशील समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है। समय पर परिचालित एक विभेदक समीकरण के लिए, चर का विकास Lyapunov स्थिरता है यदि और केवल यदि प्रत्येक जड़ का वास्तविक भाग नकारात्मक है। अंतर समीकरणों के लिए, स्थिरता होती है यदि और केवल यदि प्रत्येक जड़ की सम्मिश्र संख्या#ध्रुवीय सम्मिश्र तल 1 से कम हो। दोनों प्रकार के समीकरणों के लिए, यदि सम्मिश्र संख्या मूलों की कम से कम एक जोड़ी हो तो लगातार उतार-चढ़ाव होते हैं।

निरंतर गुणांक वाले अभिन्न लीनियर साधारण अंतर समीकरण की विधि लियोनहार्ड यूलर द्वारा खोजी गई थी, जिन्होंने पाया कि समाधान एक बीजगणितीय 'विशेषता' समीकरण पर निर्भर थे। यूलर के विशिष्ट समीकरण के गुणों पर बाद में फ्रांसीसी गणितज्ञ ऑगस्टिन-लुई कॉची और गैसपार्ड मोंगे द्वारा अधिक विस्तार से विचार किया गया।

व्युत्पत्ति

स्थिर गुणांकों के साथ एक रेखीय सजातीय अवकल समीकरण से प्रारंभ करना a_n, a_n − 1, ..., a₁, a₀,

$a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0,$

यह देखा जा सकता है कि अगर y(x) = e^rx, प्रत्येक पद का एक स्थिर गुणक होगा e^rx. यह इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि घातीय कार्य का व्युत्पन्न e^rx स्वयं का गुणज है। इसलिए, y′ = re^rx, y″ = r²e^rx, और y⁽ⁿ⁾ = rⁿe^rx सभी गुणक हैं। इससे पता चलता है कि के कुछ मूल्य r के गुणकों की अनुमति देगा e^rx को शून्य करने के लिए, इस प्रकार सजातीय अंतर समीकरण को हल करना। समाधान करने के लिए r, कोई स्थानापन्न कर सकता है y = e^rx और इसके डेरिवेटिव को अंतर समीकरण में प्राप्त करने के लिए

$a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0$

तब से e^rx कभी भी शून्य के बराबर नहीं हो सकता, इसे चारित्रिक समीकरण देते हुए विभाजित किया जा सकता है

$a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0.$

मूलों को हल करने पर, r, इस अभिलाक्षणिक समीकरण में, कोई भी अवकल समीकरण का सामान्य हल खोज सकता है। उदाहरण के लिए, यदि r के मूल 3, 11 और 40 के बराबर हैं, तो सामान्य समाधान होगा $y(x)=c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{11x}+c_{3}e^{40x}$, कहाँ $c_{1}$, $c_{2}$, और $c_{3}$ एकीकरण के स्थिर हैं जिन्हें सीमा और/या प्रारंभिक स्थितियों द्वारा निर्धारित करने की आवश्यकता है।

सामान्य समाधान का गठन

इसकी जड़ों के लिए विशेषता समीकरण को हल करना, r₁, ..., r_n, किसी को अंतर समीकरण के सामान्य समाधान को खोजने की अनुमति देता है। जड़ें वास्तविक संख्या या जटिल संख्या के साथ-साथ अलग या दोहराई जा सकती हैं। यदि एक अभिलाक्षणिक समीकरण के भिन्न वास्तविक मूल वाले भाग हैं, h दोहराई गई जड़ें, या k के सामान्य समाधान के अनुरूप जटिल जड़ें y_D(x), y_R1(x), ..., y_Rh(x), और y_C1(x), ..., y_Ck(x), क्रमशः, तो अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है

$y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)$

उदाहरण

स्थिर गुणांकों के साथ रेखीय सजातीय अवकल समीकरण

$y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0$ विशेषता समीकरण है

$r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0$

गुणनखंडन द्वारा विशेषता समीकरण में

$(r-3)(r^{2}+2r+2)^{2}=0$

कोई देख सकता है कि के लिए समाधान r विशिष्ट एकल जड़ हैं r₁ = 3 और डबल जटिल जड़ें r_2,3,4,5 = 1 ± i. यह वास्तविक-मूल्यवान सामान्य समाधान के अनुरूप है

$y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)$

स्थिरांक के साथ c₁, ..., c₅.

अलग असली जड़ें

रैखिक सजातीय अंतर समीकरणों के लिए सुपरपोज़िशन सिद्धांत कहता है कि यदि u₁, ..., u_n हैं n किसी विशेष अंतर समीकरण के लिए रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान, फिर c₁u₁ + ⋯ + c_nu_n भी सभी मूल्यों के लिए एक समाधान है c₁, ..., c_n. इसलिए, यदि अभिलाक्षणिक समीकरण के भिन्न वास्तविक मूल हैं r₁, ..., r_n, तो एक सामान्य समाधान फॉर्म का होगा

$y_{\mathrm {D} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}$

बार-बार वास्तविक जड़ें

यदि विशेषता समीकरण की जड़ है r₁ जो दोहराया जाता है k बार, तो यह स्पष्ट है कि y_p(x) = c₁e^r₁x कम से कम एक समाधान है। हालाँकि, इस समाधान में दूसरे से रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों का अभाव है k − 1 जड़ें। तब से r₁ में बहुलता है (गणित) k, अवकल समीकरण को कारक बनाया जा सकता है:$\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}y=0.$ यह तथ्य कि y_p(x) = c₁e^r₁x एक समाधान है जो किसी को यह मानने की अनुमति देता है कि सामान्य समाधान प्रपत्र का हो सकता है y(x) = u(x)e^r₁x, कहाँ u(x) निर्धारित किया जाने वाला एक कार्य है। स्थानापन्न ue^r₁x देता है

$\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)\!ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}$

कब k = 1. इस तथ्य को लागू करके k बार, यह इस प्रकार है

$\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0.$

बाँट कर e^r₁x, यह देखा जा सकता है

${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0.$

इसलिए, के लिए सामान्य मामला u(x) डिग्री का बहुपद है k − 1, ताकि u(x) = c₁ + c₂x + c₃x² + ⋯ + c_kx^k −1. तब से y(x) = ue^r₁x, के अनुरूप सामान्य समाधान का हिस्सा r₁ है

$y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\!\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right).$

जटिल जड़ें

यदि एक दूसरे क्रम के अंतर समीकरण में फॉर्म की जटिल संयुग्म जड़ों के साथ एक विशेषता समीकरण है r₁ = a + bi और r₂ = a − bi, तो सामान्य समाधान तदनुसार है y(x) = c₁e^{(a + bi )x} + c₂e^{(a − bi )x}. यूलर के सूत्र द्वारा, जो बताता है कि e^iθ = cos θ + i sin θ, इस समाधान को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

${\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}$

कहाँ c₁ और c₂ स्थिरांक हैं जो अवास्तविक हो सकते हैं और जो प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करते हैं।(वास्तव में, चूंकि y(x) यह सचमुच का है, c₁ − c₂ काल्पनिक संख्या या शून्य होना चाहिए और c₁ + c₂ वास्तविक होना चाहिए, ताकि अंतिम बराबर चिह्न के बाद दोनों पद वास्तविक हों।)

उदाहरण के लिए, यदि c₁ = c₂ = 1/2, फिर विशेष समाधान y₁(x) = e^ax cos bx बन गया है। इसी प्रकार यदि c₁ = 1/2i और c₂ = −1/2i, तो बनने वाला स्वतंत्र विलयन है y₂(x) = e^ax sin bx. इस प्रकार रैखिक सजातीय अंतर समीकरणों के सुपरपोज़िशन सिद्धांत द्वारा, जटिल जड़ों वाले दूसरे क्रम के अंतर समीकरण r = a ± bi का परिणाम निम्न सामान्य समाधान होगा:

$y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}(C_{1}\cos bx+C_{2}\sin bx)$

यह विश्लेषण एक उच्च-क्रम अंतर समीकरण के समाधान के हिस्सों पर भी लागू होता है, जिसकी विशेषता समीकरण में गैर-वास्तविक जटिल संयुग्मी जड़ें शामिल होती हैं।

यह भी देखें

• विशेषता बहुपद