वैंडरमोंड मैट्रिक्स

रेखीय बीजगणित में, एलेक्जेंडर-थियोफाइल वेंडरमोंड के नाम पर एक वैंडरमोंड मैट्रिक्स, प्रत्येक पंक्ति में एक ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के साथ एक मैट्रिक्स (गणित) है: एक $(m+1)\times (n+1)$ आव्यूह

$V=V(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{m})={\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{n}\end{bmatrix}}$

या

$V_{i,j}=x_{i}^{j}$

सभी शून्य-आधारित नंबरिंग के लिए | शून्य-आधारित सूचकांक $i$ और $j$. अधिकांश लेखक वैंडरमोंड मैट्रिक्स को उपरोक्त मैट्रिक्स के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित करते हैं।

डीएफटी मैट्रिक्स वैंडरमोंड मैट्रिक्स का एक बहुत ही खास उदाहरण है।

एक स्क्वायर मैट्रिक्स वैंडरमोंड मैट्रिक्स के निर्धारक को वैंडरमोंड बहुपद या वैंडरमोंड निर्धारक कहा जाता है। इसका मान बहुपद है

$\det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})$

जो अशून्य है यदि और केवल यदि सभी $x_{i}$ विशिष्ट हैं।

वैंडरमोंड निर्धारक को कभी-कभी विवेचक कहा जाता था, हालांकि, वर्तमान में, बहुपद का विवेचक, बहुपद के एक फलन के मूल के वैंडरमोंड निर्धारक का वर्ग है। वैंडरमोंड निर्धारक एक वैकल्पिक रूप है $x_{i}$, जिसका अर्थ है कि दो का आदान-प्रदान $x_{i}$ अनुमति देते समय, चिह्न बदलता है $x_{i}$ सम क्रमचय द्वारा सारणिक का मान नहीं बदलता है। यह इस प्रकार के लिए एक आदेश की पसंद पर निर्भर करता है $x_{i}$, जबकि इसका वर्ग, विवेचक, किसी भी क्रम पर निर्भर नहीं करता है, और इसका तात्पर्य गैलोइस सिद्धांत से है, कि विवेचक बहुपद के गुणांकों का एक बहुपद फलन है जिसमें $x_{i}$ जड़ों के रूप में।

प्रमाण

एक वर्ग वेंडरमोंड मैट्रिक्स की मुख्य संपत्ति

$V={\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\dots &x_{n}^{n}\end{bmatrix}}$

यह है कि इसके निर्धारक का सरल रूप है

$\det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).$

इस समानता के तीन प्रमाण नीचे दिए गए हैं। पहला वाला बहुपद गुणों का उपयोग करता है, विशेष रूप से बहुभिन्नरूपी बहुपदों के अद्वितीय गुणनखंड डोमेन का। हालांकि वैचारिक रूप से सरल, इसमें सार बीजगणित की गैर-प्रारंभिक अवधारणाएं शामिल हैं। दूसरे प्रमाण के लिए किसी स्पष्ट संगणना की आवश्यकता नहीं है, लेकिन इसमें एक रेखीय मानचित्र के निर्धारक और आधार के परिवर्तन की अवधारणा शामिल है। यह वैंडरमोंड मैट्रिक्स के LU अपघटन की संरचना भी प्रदान करता है। केवल प्राथमिक मैट्रिक्स का उपयोग करते हुए तीसरा एक अधिक प्राथमिक और अधिक जटिल है।

बहुपद गुणों का प्रयोग

लीबनिज सूत्र (निर्धारक) द्वारा, $\det(V)$ में एक बहुपद है $x_{i}$, पूर्णांक गुणांक के साथ। की सभी प्रविष्टियाँ $i$वें कॉलम (शून्य-आधारित) में कुल डिग्री है $i$. इस प्रकार, फिर से लीबनिज सूत्र द्वारा, सारणिक के सभी पदों की कुल डिग्री होती है

$0+1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}};$

(यानी निर्धारक इस डिग्री का एक सजातीय बहुपद है)।

अगर, के लिए $i\neq j$, एक स्थानापन्न $x_{i}$ के लिए $x_{j}$, हमें दो समान पंक्तियों वाला एक मैट्रिक्स मिलता है, जिसमें एक शून्य निर्धारक होता है। इस प्रकार, कारक प्रमेय द्वारा, $x_{j}-x_{i}$ का भाजक है $\det(V)$. बहुभिन्नरूपी बहुपदों के अद्वितीय गुणनखंड डोमेन द्वारा, सभी का गुणनफल $x_{j}-x_{i}$ विभाजित $\det(V)$, वह है

$\det(V)=Q\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}),$

कहाँ $Q$ एक बहुपद है। सभी के उत्पाद के रूप में $x_{j}-x_{i}$ और $\det(V)$ एक ही डिग्री हो $n(n+1)/2$, बहुपद $Q$ वस्तुत: एक स्थिरांक है। यह स्थिरांक एक है, क्योंकि की विकर्ण प्रविष्टियों का गुणनफल $V$ है $x_{1}x_{2}^{2}\cdots x_{n}^{n}$, जो एकपदी भी है जो सभी गुणनखंडों के प्रथम पद को लेकर प्राप्त किया जाता है $\textstyle \prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).$ इससे यह सिद्ध होता है

$\det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).$

रेखीय नक्शों का प्रयोग

होने देना F एक क्षेत्र (गणित) हो जिसमें सभी हों $x_{i},$ और $P_{n}$ F से कम डिग्री वाले बहुपदों की सदिश जगह n में गुणांक के साथ F. होने देना

$\varphi :P_{n}\to F^{n}$

द्वारा परिभाषित रैखिक नक्शा हो

$p(x)\mapsto (p(x_{1}),\ldots ,p(x_{n}))$.

वेंडरमोंड मैट्रिक्स का मैट्रिक्स है $\varphi$ के विहित आधार के संबंध में $P_{n}$ और $F^{n}.$ के आधार में परिवर्तन $P_{n}$ वैंडरमोंड मैट्रिक्स को चेंज-ऑफ़-बेस मैट्रिक्स से गुणा करने के बराबर है M (दाएं से)। यह निर्धारक नहीं बदलता है, यदि निर्धारक M है 1.

बहुपद $1$, $x-x_{0}$, $(x-x_{0})(x-x_{1})$, …, $(x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{n})$ संबंधित डिग्री के मोनिक बहुपद हैं 0, 1, …, n. मोनोमियल आधार पर उनका मैट्रिक्स एक ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स है U (यदि मोनोमियल्स को बढ़ती डिग्री में आदेश दिया जाता है), सभी विकर्ण प्रविष्टियाँ एक के बराबर होती हैं। इस प्रकार यह मैट्रिक्स निर्धारक एक का परिवर्तन-आधार मैट्रिक्स है। का मैट्रिक्स $\varphi$ इस नए आधार पर है

$L={\begin{bmatrix}1&0&0&\ldots &0\\1&x_{1}-x_{0}&0&\ldots &0\\1&x_{2}-x_{0}&(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{0}&(x_{n}-x_{0})(x_{n}-x_{1})&\ldots &(x_{n}-x_{0})(x_{n}-x_{1})\cdots (x_{n}-x_{n})\end{bmatrix}}$.

इस प्रकार वैंडरमोंड निर्धारक इस मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर है, जो इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का उत्पाद है।

यह वांछित समानता साबित करता है। इसके अलावा, किसी को LU का अपघटन मिलता है V जैसा $V=LU^{-1}$.

पंक्ति और स्तंभ संचालन द्वारा

यह तीसरा प्रमाण इस तथ्य पर आधारित है कि यदि कोई आव्यूह के एक स्तंभ में गुणनफल को दूसरे स्तंभ के अदिश द्वारा जोड़ता है तो सारणिक अपरिवर्तित रहता है।

इसलिए, प्रत्येक कॉलम को घटाकर - पहले वाले को छोड़कर - पूर्ववर्ती कॉलम को गुणा करके $x_{0}$, निर्धारक नहीं बदला है। (ये घटाव अंतिम कॉलम से शुरू करके किया जाना चाहिए, एक कॉलम घटाना जो अभी तक नहीं बदला गया है)। यह मैट्रिक्स देता है

${\begin{bmatrix}1&0&0&0&\cdots &0\\1&x_{1}-x_{0}&x_{1}(x_{1}-x_{0})&x_{1}^{2}(x_{1}-x_{0})&\cdots &x_{1}^{n-1}(x_{1}-x_{0})\\1&x_{2}-x_{0}&x_{2}(x_{2}-x_{0})&x_{2}^{2}(x_{2}-x_{0})&\cdots &x_{2}^{n-1}(x_{2}-x_{0})\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{0}&x_{n}(x_{n}-x_{0})&x_{n}^{2}(x_{n}-x_{0})&\cdots &x_{n}^{n-1}(x_{n}-x_{0})\\\end{bmatrix}}$

लाप्लास विस्तार को पहली पंक्ति के साथ लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं $\det(V)=\det(B)$, साथ

$B={\begin{bmatrix}x_{1}-x_{0}&x_{1}(x_{1}-x_{0})&x_{1}^{2}(x_{1}-x_{0})&\cdots &x_{1}^{n-1}(x_{1}-x_{0})\\x_{2}-x_{0}&x_{2}(x_{2}-x_{0})&x_{2}^{2}(x_{2}-x_{0})&\cdots &x_{2}^{n-1}(x_{2}-x_{0})\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}-x_{0}&x_{n}(x_{n}-x_{0})&x_{n}^{2}(x_{n}-x_{0})&\cdots &x_{n}^{n-1}(x_{n}-x_{0})\\\end{bmatrix}}$

में सभी प्रविष्टियों के रूप में $i$-वीं पंक्ति $B$ का कारक है $x_{i+1}-x_{0}$, कोई इन कारकों को निकाल सकता है और प्राप्त कर सकता है

$\det(V)=(x_{1}-x_{0})(x_{2}-x_{0})\cdots (x_{n}-x_{0}){\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\\\end{vmatrix}}=\prod _{1<i\leq n}(x_{i}-x_{0})\det(V')$,

कहाँ $V'$ में वैंडरमोंड मैट्रिक्स है $x_{1},\ldots ,x_{n}$. इस प्रक्रिया को इस छोटे वेंडरमोंड मैट्रिक्स पर दोहराते हुए, अंततः वांछित अभिव्यक्ति प्राप्त होती है $\det(V)$ सभी के उत्पाद के रूप में $x_{j}-x_{i}$ ऐसा है कि $i<j$.

परिणामी गुण

एक m × n आयताकार वेंडरमोंड मैट्रिक्स जैसे कि m ≤ n में मैट्रिक्स की अधिकतम रैंक है m अगर और केवल अगर सभी x_i अलग हैं।

एक m × n आयताकार वेंडरमोंड मैट्रिक्स जैसे कि m ≥ n में मैट्रिक्स की अधिकतम रैंक है n अगर और केवल अगर हैं n की x_i जो अलग हैं।

एक वर्ग वेंडरमोंड मैट्रिक्स उलटा मैट्रिक्स है अगर और केवल अगर x_i अलग हैं। व्युत्क्रम के लिए एक स्पष्ट सूत्र ज्ञात है।

अनुप्रयोग

वैंडरमोंड मैट्रिक्स $V$ एक बहुपद का मूल्यांकन करता है $p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}$ बिंदुओं के एक सेट पर (यानी $x_{0},\ x_{1},\dots ,\ x_{m}$) वंडरमोंड प्रणाली में $Va=f$; औपचारिक रूप से, $V$ रेखीय मानचित्र का मैट्रिक्स है जो एक बहुपद के गुणांकों के वेक्टर को मैप करता है $a={\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}$ वेंडरमोंड मैट्रिक्स में दिखाई देने वाले मूल्यों पर बहुपद के मूल्यों के वेक्टर के लिए $f={\begin{bmatrix}p(x_{0})\\p(x_{1})\\\vdots \\p(x_{m})\end{bmatrix}}$.

अलग-अलग बिंदुओं के लिए वैंडरमोंड निर्धारक का गैर-गायब होना $x_{i}$ दिखाता है कि, अलग-अलग बिंदुओं के लिए, उन बिंदुओं पर गुणांक से मान तक का नक्शा एक-से-एक पत्राचार है, और इस प्रकार बहुपद प्रक्षेप समस्या एक अद्वितीय समाधान के साथ हल करने योग्य है; इस परिणाम को एकरूपता प्रमेय कहा जाता है, और चीनी शेष प्रमेय का एक विशेष मामला है।

यह बहुपद इंटरपोलेशन में उपयोगी हो सकता है, क्योंकि वेंडरमोंड मैट्रिक्स को बदलने से बहुपद के गुणांक को व्यक्त करने की अनुमति मिलती है $x_{i}$ और पर बहुपद के मान $x_{i}$ (अर्थात। $a=V^{-1}f$).

वैंडरमोंड निर्धारक का उपयोग सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में किया जाता है। जब मान $x_{i}$ एक परिमित क्षेत्र से संबंधित है, तो वैंडरमोंडे निर्धारक को a भी कहा जाता है मूर मैट्रिक्स और विशिष्ट गुण हैं जिनका उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, BCH कोड और रीड-सोलोमन त्रुटि सुधार कोड के सिद्धांत में।

समीकरण को हल करना $Va=f$ (अर्थात् प्रक्षेपित बहुपद की गणना) रैखिक समीकरणों की प्रणाली#एक रैखिक प्रणाली को हल करना|भोलेपन से एक एल्गोरिथ्म में परिणाम ${\mathcal {O}}(n^{3})$ समय जटिलता। वैंडरमोंड मैट्रिक्स की संरचना का उपयोग करते हुए, न्यूटन बहुपद | न्यूटन की विभाजित अंतर विधि का उपयोग किया जा सकता है (या लैग्रेंज बहुपद) में समीकरण को हल करने के लिए ${\mathcal {O}}(n^{2})$ समय, मौन रूप से लू के अपघटन की गणना $V^{-1}$. परिणामी एल्गोरिदम बेहद सटीक समाधान उत्पन्न करता है, भले ही $V$ हालत संख्या है | बीमार हालत। असतत फूरियर रूपांतरण एक विशिष्ट वेंडरमोंड मैट्रिक्स, डीएफटी मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां संख्याएं $x_{i}$ एकता के मूल के रूप में चुने गए हैं। फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके वैंडरमोंड मैट्रिक्स के उत्पाद को एक वेक्टर के साथ गणना करना संभव है $O(n\log ^{2}n)$ समय। वेंडरमोंड निर्धारक के सूत्र के अनुसार फिलिंग फैक्टर वन (क्वांटम हॉल प्रभाव में प्रकट होने वाला) के साथ लाफलिन वेवफंक्शन को स्लेटर निर्धारक के रूप में देखा जा सकता है। यह अब एक से भिन्न कारकों को भरने के लिए सत्य नहीं है, अर्थात भिन्नात्मक क्वांटम हॉल प्रभाव में।

यह बहुपद प्रतिगमन का डिजाइन मैट्रिक्स है।

यह मनमानी की सामान्यीकृत मात्रा है $k$चक्रीय पॉलीटॉप के चेहरे। विशेष रूप से, अगर $F=C_{d}(t_{i_{1}},\dots ,t_{i_{k+1}})$ एक है $k$-चक्रीय पॉलीटॉप का चेहरा $C_{d}(T)\subset \mathbb {R} ^{d}$ (कहाँ $T=\{t_{1},\dots ,t_{N}\}_{<}\subset \mathbb {Z}$), तब

$$\mathrm {nvol} (F)={\frac {1}{k!}}\prod _{1\leq m<n\leq k+1}{(t_{i_{n}}-t_{i_{m}})}.$$

कंफ्लुएंट वैंडरमोंड मेट्रिसेस

जैसा कि पहले बताया गया है, वैंडरमोंड मैट्रिक्स एक बहुपद के गुणांकों को खोजने के रैखिक बीजगणित बहुपद प्रक्षेप का वर्णन करता है $p(x)$ डिग्री का $n-1$ मूल्यों के आधार पर $p(\alpha _{1}),\,...,\,p(\alpha _{n})$, कहाँ $\alpha _{1},\,...,\,\alpha _{n}$ पृथक बिंदु हैं। अगर $\alpha _{i}$ अलग नहीं हैं, तो इस समस्या का कोई अनूठा समाधान नहीं है (जो इस तथ्य से परिलक्षित होता है कि संबंधित वैंडरमोंड मैट्रिक्स एकवचन है)। हालाँकि, यदि हम दोहराए गए बिंदुओं पर डेरिवेटिव का मान देते हैं, तो समस्या का एक अनूठा समाधान हो सकता है। उदाहरण के लिए, समस्या

${\begin{cases}p(0)=a\\p'(0)=b\\p(1)=c\end{cases}}$

कहाँ $p$ डिग्री ≤ 2 का बहुपद है, सभी के लिए एक अनूठा समाधान है $a,b,c$. सामान्य तौर पर, मान लीजिए $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ (जरूरी नहीं कि अलग-अलग हों) संख्याएं हैं, और अंकन में आसानी के लिए मान लें कि समान मान सूची में निरंतर क्रम में आते हैं। वह है

$\alpha _{1}=\cdots =\alpha _{m_{1}},\ \alpha _{m_{1}+1}=\cdots =\alpha _{m_{2}},\ \ldots ,\ \alpha _{m_{k-1}+1}=\cdots =\alpha _{m_{k}}$

कहाँ $m_{k}=n,$ $m_{1}<m_{2}<\cdots <m_{k},$ और $\alpha _{m_{1}},\ldots ,\alpha _{m_{k}}$ विशिष्ट हैं। तब संबंधित प्रक्षेप समस्या है

${\begin{cases}p(\alpha _{1})=\beta _{1},&p'(\alpha _{1})=\beta _{2},&\ldots ,&p^{(m_{1}-1)}(\alpha _{1})=\beta _{m_{1}}\\p(\alpha _{m_{1}+1})=\beta _{m_{1}+1},&p'(\alpha _{m_{1}+1})=\beta _{m_{1}+2},&\ldots ,&p^{(m_{2}-m_{1}-1)}(\alpha _{m_{2}})=\beta _{m_{2}}\\\qquad \vdots \\p(\alpha _{m_{k-1}+1})=\beta _{m_{k-1}+1},&p'(\alpha _{m_{k-1}+2})=\beta _{m_{k-1}+2},&\ldots ,&p^{(m_{k}-m_{k-1}-1)}(\alpha _{m_{k}})=\beta _{m_{k}}\end{cases}}$

और इस समस्या के लिए संबंधित मैट्रिक्स को कंफ्लुएंट वैंडरमोंड मैट्रिसेस कहा जाता है। हमारे मामले में (जो सामान्य मामला है, मैट्रिक्स की पंक्तियों को अनुमति देने तक) इसके लिए सूत्र निम्नानुसार दिया गया है: यदि $1\leq i,j\leq n$, तब $m_{\ell }<i\leq m_{\ell +1}$ कुछ के लिए (अद्वितीय) $0\leq \ell \leq k-1$ (हमें विचार विमर्श करना है $m_{0}=0$). तो हमारे पास हैं

$V_{i,j}={\begin{cases}0,&{\text{if }}j<i-m_{\ell };\\[6pt]{\dfrac {(j-1)!}{(j-(i-m_{\ell }))!}}\alpha _{i}^{j-(i-m_{\ell })},&{\text{if }}j\geq i-m_{\ell }.\end{cases}}$

वैंडरमोंड मैट्रिक्स का यह सामान्यीकरण इसे उलटा मैट्रिक्स बनाता है | गैर-एकवचन (जैसे कि समीकरणों की प्रणाली के लिए एक अनूठा समाधान मौजूद है) जबकि वेंडरमोंड मैट्रिक्स के अधिकांश गुणों को बनाए रखते हैं। इसकी पंक्तियाँ मूल वेंडरमोंड पंक्तियों के डेरिवेटिव (कुछ क्रम के) हैं।

इस सूत्र को प्राप्त करने का दूसरा तरीका यह है कि कुछ को जाने दिया जाए $\alpha _{i}$मनमाने ढंग से एक दूसरे के करीब जाना। उदाहरण के लिए, यदि $\alpha _{1}=\alpha _{2}$, फिर दे रहा है $\alpha _{2}\to \alpha _{1}$ मूल वैंडरमोंड मैट्रिक्स में, पहली और दूसरी पंक्तियों के बीच का अंतर कंफ्लुएंट वेंडरमोंड मैट्रिक्स में संबंधित पंक्ति उत्पन्न करता है। यह हमें सामान्यीकृत इंटरपोलेशन समस्या (दिए गए मूल्य और डेरिवेटिव को एक बिंदु पर) को मूल मामले से जोड़ने की अनुमति देता है जहां सभी बिंदु अलग हैं: दिया जा रहा है $p(\alpha ),p'(\alpha )$ दिए जाने के समान है $p(\alpha ),p(\alpha +\varepsilon )$ कहाँ $\varepsilon$ बहुत छोटी है।

यह भी देखें

• Companion matrix § Diagonalizability
• शुर बहुपद - एक सामान्यीकरण
• वैकल्पिक मैट्रिक्स
• लैग्रेंज बहुपद
• Wronskian
• मैट्रिसेस की सूची
• एक परिमित क्षेत्र पर मूर निर्धारक
• वीटा के सूत्र

अग्रिम पठन

• Ycart, Bernard (2013), "A case of mathematical eponymy: the Vandermonde determinant", Revue d'Histoire des Mathématiques, 13, arXiv:1204.4716, Bibcode:2012arXiv1204.4716Y.

बाहरी संबंध

• वैंडरमोंड मैट्रिक्स at ProofWiki