शाखित आवरण

गणित में, शाखित आच्छादन एक ऐसा मानचित्र होता है जो एक छोटे सेट को छोड़कर लगभग एक आच्छादित मानचित्र होता है।

टोपोलॉजी में

टोपोलॉजी में, एक नक्शा एक शाखित आवरण होता है, यदि यह शाखा समुच्चय के रूप में जाने जाने वाले घने सेट को छोड़कर हर जगह एक आवरण मानचित्र है। उदाहरणों में रोज़ (टोपोलॉजी) से एक सर्कल तक का नक्शा शामिल है, जहां नक्शा प्रत्येक सर्कल पर होमियोमोर्फिज्म है।

बीजगणितीय ज्यामिति में

बीजगणितीय ज्यामिति में, ब्रंचयुक्त कवरिंग शब्द का उपयोग आकारिता का वर्णन करने के लिए किया जाता है $f$ एक बीजगणितीय किस्म से $V$ दूसरे को $W$, एक बीजगणितीय किस्मों के समान होने के दो आयाम और विशिष्ट फाइबर $f$ आयाम 0 का होना।

उस स्थिति में, एक खुला सेट होगा $W'$ का $W$ (जरिस्की टोपोलॉजी के लिए) जो कि सघन सेट है $W$, जैसे कि का प्रतिबंध $f$ को $W'$ (से $V'=f^{-1}(W')$ को $W'$, अर्थात) रमीकरण (गणित) है। संदर्भ के आधार पर, हम इसे मजबूत टोपोलॉजी के लिए स्थानीय होमोमोर्फिज्म के रूप में ले सकते हैं, जटिल संख्याओं पर, या सामान्य रूप से एक ईटेल मोर्फिज्म के रूप में (कुछ थोड़े मजबूत अनुमानों के तहत, फ्लैट मॉड्यूल और वियोज्य विस्तार पर)। आम तौर पर, इस तरह के आकारिकी सामयिक अर्थों में एक आवरण स्थान जैसा दिखता है। उदाहरण के लिए, यदि $V$ और $W$ दोनों कॉम्पैक्ट रीमैन सतहें हैं, हमें केवल उसी की आवश्यकता है $f$ होलोमॉर्फिक है और स्थिर नहीं है, और फिर बिंदुओं का एक परिमित समूह है $P$ का $W$, जिसके बाहर हम एक ईमानदार आवरण पाते हैं

$V'\to W'$.

शाखा स्थान

असाधारण बिंदुओं का सेट $W$ को रेमीफिकेशन लोकस कहा जाता है (यानी यह सबसे बड़े संभावित ओपन सेट का पूरक है $W'$). सामान्य मोनोड्रोमी में मौलिक समूह के अनुसार होता है $W'$ आवरण की चादरों पर कार्य करना (सामान्य आधार क्षेत्र के मामले में भी इस स्थलीय चित्र को सटीक बनाया जा सकता है)।

कुमार एक्सटेंशन

ब्रांच्ड कवरिंग आसानी से कुमार विस्तार के रूप में निर्मित होते हैं, यानी बीजगणितीय विविधता के कार्य क्षेत्र के बीजगणितीय विस्तार के रूप में। हाइपरेलिप्टिक वक्र प्रोटोटाइपिक उदाहरण हैं।

असंबद्ध आवरण

एक अविभाजित आवरण तब एक खाली शाखा स्थान की घटना है।

उदाहरण

अण्डाकार वक्र

वक्रों के आकारिकी शाखायुक्त आवरणों के कई उदाहरण प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, चलो C समीकरण का अण्डाकार वक्र हो

$y^{2}-x(x-1)(x-2)=0.$

का प्रक्षेपण C उस पर x-एक्सिस एक रेमीफाइड कवर है जिसके द्वारा दिए गए रेमीफिकेशन लोकस हैं

$x(x-1)(x-2)=0.$

ऐसा इसलिए है क्योंकि इन तीन मूल्यों के लिए x फाइबर दोहरा बिंदु है $y^{2}=0,$ जबकि किसी अन्य मूल्य के लिए x, फाइबर में दो अलग-अलग बिंदु होते हैं (बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में)।

यह प्रक्षेपण एक बीजगणितीय विविधता के कार्य क्षेत्र के दो डिग्री के बीजगणितीय विस्तार को प्रेरित करता है: इसके अलावा, यदि हम अंतर्निहित क्रमविनिमेय छल्लों के अंश क्षेत्रों को लेते हैं, तो हमें आकारिकी मिलती है

$\mathbb {C} (x)\to \mathbb {C} (x)[y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))$

इसलिए यह प्रक्षेपण एक डिग्री 2 शाखित आवरण है। इसे प्रक्षेपी रेखा के संगत प्रक्षेपी अण्डाकार वक्र के एक डिग्री 2 शाखित आवरण का निर्माण करने के लिए समरूप बनाया जा सकता है।

समतल बीजगणितीय वक्र

पिछले उदाहरण को निम्नलिखित तरीके से किसी भी बीजगणितीय समतल वक्र के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। होने देना C समीकरण द्वारा परिभाषित समतल वक्र हो f(x,y) = 0, कहाँ f दो अनिर्धारकों में एक वियोज्य बहुपद और अलघुकरणीय बहुपद बहुपद है। अगर n की डिग्री है f में y, तो फाइबर के होते हैं n के मानों की परिमित संख्या को छोड़कर विशिष्ट बिंदु x. इस प्रकार, यह प्रक्षेपण डिग्री का एक शाखित आवरण है n.

के असाधारण मूल्य x के गुणांक की जड़ें हैं $y^{n}$ में f, और के विवेचक की जड़ें f इसके संबंध में y.

एक जड़ के ऊपर r विवेचक का, कम से कम एक शाखायुक्त बिंदु होता है, जो या तो एक महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) या बीजगणितीय किस्म का एक विलक्षण बिंदु होता है। अगर r के गुणांक का एक मूल भी है $y^{n}$ में f, तो यह शाखित बिंदु अनंत पर बिंदु है।

एक जड़ के ऊपर s के गुणांक का $y^{n}$ में f, वक्र C की एक अनंत शाखा है, और फाइबर at s से कम है n अंक। हालाँकि, यदि कोई प्रक्षेपण को अनुमानित पूर्णता तक बढ़ाता है C और यह x-अक्ष, और यदि s विवेचक की जड़ नहीं है, प्रक्षेपण पड़ोस के ऊपर एक आवरण बन जाता है s.

तथ्य यह है कि यह प्रक्षेपण डिग्री का एक शाखित आवरण है n बीजगणितीय विविधता के कार्य क्षेत्र पर विचार करके भी देखा जा सकता है। वास्तव में, यह प्रक्षेपण डिग्री के क्षेत्र विस्तार से मेल खाता है n

$\mathbb {C} (x)\to \mathbb {C} (x)[y]/f(x,y).$

भिन्न प्रभाव

हम अलग-अलग रेमीफिकेशन डिग्री के साथ लाइन के शाखित आवरणों का सामान्यीकरण भी कर सकते हैं। प्रपत्र के बहुपद पर विचार करें

$f(x,y)=g(x)$

जैसा कि हम अलग-अलग बिंदु चुनते हैं $x=\alpha$, के लुप्त होने वाले स्थान द्वारा दिए गए तंतु $f(\alpha ,y)-g(\alpha )$ अलग होना। किसी भी बिंदु पर जहां के गुणनखंड में रैखिक शब्दों में से एक की बहुलता $f(\alpha ,y)-g(\alpha )$ एक से बढ़ता है, एक असर होता है।

योजना सैद्धांतिक उदाहरण

अण्डाकार वक्र

वक्रों के आकारिकी योजनाओं के शाखायुक्त आवरणों के कई उदाहरण प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, एक सजातीय अण्डाकार वक्र से एक रेखा तक आकारिकी

${\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [x,y]}/{(y^{2}-x(x-1)(x-2)}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x])$

द्वारा दिए गए शाखास्थल लोकस के साथ एक शाखित आवरण है

$X={\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [x]}/{(x(x-1)(x-2))}\right)$

ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी भी बिंदु पर $X$ में $\mathbb {A} ^{1}$ फाइबर योजना है

${\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [y]}/{(y^{2})}\right)$

साथ ही, यदि हम अंतर्निहित क्रमविनिमेय वलयों के भिन्न क्षेत्रों को लेते हैं, तो हमें क्षेत्र समाकारिता प्राप्त होती है

$\mathbb {C} (x)\to {\mathbb {C} (x)[y]}/{(y^{2}-x(x-1)(x-2))},$

जो डिग्री दो का बीजगणितीय विस्तार है; इसलिए हमें एफ़िन लाइन के लिए एक अंडाकार वक्र का एक डिग्री 2 शाखित आवरण मिला। इसे प्रक्षेपी अण्डाकार वक्र के आकारिकी के निर्माण के लिए समरूप बनाया जा सकता है $\mathbb {P} ^{1}$.

अतिअण्डाकार वक्र

एक हाइपरेलिप्टिक वक्र उपरोक्त डिग्री का सामान्यीकरण प्रदान करता है $2$ एफ़िन लाइन का कवर, परिभाषित एफ़िन योजना पर विचार करके $\mathbb {C}$ रूप के बहुपद द्वारा

$y^{2}-\prod (x-a_{i})$ कहाँ $a_{i}\neq a_{j}$ के लिए $i\neq j$

एफाइन लाइन की उच्च डिग्री कवरिंग

हम आकृतिवाद लेकर पिछले उदाहरण का सामान्यीकरण कर सकते हैं

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f(y)-g(x))}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x])$

कहाँ $g(x)$ कोई दोहराया जड़ नहीं है। फिर शाखाकरण ठिकाना द्वारा दिया जाता है

$X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{(f(x))}}\right)$

जहां फाइबर द्वारा दिया जाता है

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [y]}{(f(y))}}\right)$

फिर, हमें अंश क्षेत्रों का एक प्रेरित आकार मिलता है

$\mathbb {C} (x)\to {\frac {\mathbb {C} (x)[y]}{(f(y)-g(x))}}$

वहाँ है एक $\mathbb {C} (x)$-मॉड्यूल समरूपता लक्ष्य के साथ

$\mathbb {C} (x)\oplus \mathbb {C} (x)\cdot y\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} (x)\cdot y^{{\text{deg}}(f(y))}$

इसलिए आवरण डिग्री का है ${\text{deg}}(f)$.

अतिअण्डाकार वक्र

सुपरएलिप्टिक वक्र हाइपरेलिप्टिक कर्व्स का एक सामान्यीकरण है और उदाहरणों के पिछले परिवार का एक विशेषज्ञता है क्योंकि वे एफ़िन योजनाओं द्वारा दिए गए हैं $X/\mathbb {C}$ रूप के बहुपदों से

$y^{k}-f(x)$ कहाँ $k>2$ और $f(x)$ कोई दोहराया जड़ नहीं है।

प्रोजेक्टिव स्पेस के रेमीफाइड कवरिंग

उदाहरणों का एक और उपयोगी वर्ग प्रोजेक्टिव स्पेस के रेमीफाइड कवरिंग से आता है। एक सजातीय बहुपद दिया गया है $f\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]$ हम एक शाखायुक्त आवरण का निर्माण कर सकते हैं $\mathbb {P} ^{n}$ शाखास्थल के साथ

${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{f(x)}}\right)$

प्रक्षेपी योजनाओं के आकारिकी पर विचार करके

${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}][y]}{y^{{\text{deg}}(f)}-f(x)}}\right)\to \mathbb {P} ^{n}$

फिर, यह डिग्री का एक आवरण होगा ${\text{deg}}(f)$.

अनुप्रयोग

शाखित आवरण $C\to X$ परिवर्तनों के समरूपता समूह के साथ आते हैं $G$. चूंकि समरूपता समूह में रेमीफिकेशन लोकस के बिंदुओं पर स्टेबलाइज़र होते हैं, शाखाओं वाले आवरणों का उपयोग ऑर्बिफॉल्ड्स, या स्टैक (गणित) के उदाहरणों के निर्माण के लिए किया जा सकता है। डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक्स।

यह भी देखें

• एटेल मोर्फिज्म
• ऑर्बिफोल्ड
• ढेर (गणित)

संदर्भ

• Dimca, Alexandru (1992), Singularities and Topology of Hypersurfaces, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97709-6
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052
• Osserman, Brian, Branched Covers of the Riemann Sphere (PDF)