मैग्नस विस्तार

गणित और भौतिकी को विल्हेम मैग्नस (1907-1990) के नाम पर रखा गया था।मैग्नस विस्तार एक रेखीय ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। पहले क्रम के सजातीय रैखिक अंतर समीकरण के समाधान में एक घातीय निरूपण के रूप में प्रदान करता है। विशेष रूप से यह अलग-अलग गुणांकों के साथ रैखिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली मौलिक आव्यूह (रैखिक अंतर समीकरण) को प्रस्तुत करता हैं। $n$ विभिन्न गुणांकों के साथ रैखिक निरूपण में सामान्य प्रस्तुत करता है, घातांक को एक अनंत श्रृंखला के रूप में एकत्रित किया जाता है, जिसकी शर्तों में एकाधिक इंटीग्रल और नेस्टेड कम्यूटेटर के रूप में शामिल होते हैं।

मैग्नस दृष्टिकोण और इसकी व्याख्या

हम $n \times n$ गुणांक आव्यूह $A (t)$ , को देखते हुए रैखिक सरल अंतर समीकरण से जुड़ी प्रारंभिक-मूल्य समस्या को हल करना चाहते है।

Y'(t)=A(t)Y(t),\quad Y(t_{0})=Y_{0}

अज्ञात के लिए $n$ -आयामी वेक्टर फलन $Y (t)$ .

जब n = 1, समाधान केवल पढ़ता है

Y(t)=\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}A(s)\,ds\right)Y_{0}.

यह अभी भी n > 1 के लिए मान्य है, यदि आव्यूह At1 At2 = At2 At1 को t t1 और t2 के मानों के किसी भी जोड़े के लिए संतुष्ट करता है। यदि आव्यूह ए टी से स्वतंत्र है। हालाँकि, सामान्य स्थिति में, उपरोक्त अभिव्यक्ति की अब समस्या का समाधान नहीं है।

आव्यूह प्रारंभिक-मूल्य समस्या को हल करने के लिए मैग्नस द्वारा प्रस्तुत किया गया दृष्टिकोण है,यह एक निश्चित n × n आव्यूह क्रिया Ω(t, t0) के घातांक के माध्यम से समाधान को व्यक्त करता है.

Y(t)=\exp {\big (}\Omega (t,t_{0}){\big )}\,Y_{0},

जिसे बाद में श्रृंखला (गणित) के विस्तार रूप में बनाया गया है

\Omega (t)=\sum _{k=1}^{\infty }\Omega _{k}(t),

जहां सरलता से लिखने का अभ्यास है $Ω(t)$ के लिए $Ω(t, t 0)$ और t₀ = 0.के रूप में बनाया गया है।

मैग्नस ने इसकी सराहना की $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}d/dt (eΩ) e−Ω = A(t)$ , पॉइनकेयर हौसडॉर्फ आव्यूह इकाई का उपयोग करते है| इसलिए वह Ω के व्युत्पन्न समय को बर्नौली संख्याओं के उत्पादन ,फलनऔर Ω के आसन्न एंडोमोर्फिज्म से संबंधित कर सकता है।

\Omega '={\frac {\operatorname {ad} _{\Omega }}{\exp(\operatorname {ad} _{\Omega })-1}}A,

सीबीएच विस्तार के निरंतर एनालॉग $A$ के संदर्भ में $Ω$ के लिए पुनरावर्ती रूप से हल करने के लिए बनाया गया है जैसा कि बाद के खंड में बताया गया है।

आव्यूह के रैखिक प्रारंभिक-मूल्य समस्या के समाधान के लिए उपरोक्त समीकरण मैग्नस विस्तार या मैग्नस श्रृंखला का गठन करता है। इस श्रृंखला के पहले चार पदों को पढ़ते है।

\begin{aligned} Ω_{1} (t) & = \int_{0}^{t} A (t_{1}) d t_{1}, \\ Ω_{2} (t) & = \frac{1}{2} \int_{0}^{t} d t_{1} \int_{0}^{t_{1}} d t_{2} [A (t_{1}), A (t_{2})], \\ Ω_{3} (t) & = \frac{1}{6} \int_{0}^{t} d t_{1} \int_{0}^{t_{1}} d t_{2} \int_{0}^{t_{2}} d t_{3} ([A (t_{1}), [A (t_{2}), A (t_{3})]] + [A (t_{3}), [A (t_{2}), A (t_{1})]]), \\ Ω_{4} (t) & = \frac{1}{12} \int_{0}^{t} d t_{1} \int_{0}^{t_{1}} d t_{2} \int_{0}^{t_{2}} d t_{3} \int_{0}^{t_{}} \end{aligned}

कहाँ

[A, B] \equiv A B - B A

A और B का आव्यूह कम्यूटेटर है। इन समीकरणों की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है:

Ω 1 (t)

अदिश में घातांक के साथ बिल्कुल मेल खाता है (

n

= 1) स्थिति, लेकिन यह समीकरण संपूर्ण समाधान नहीं दे सकता। यदि कोई घातीय प्रतिनिधित्व (झूठ समूह) पर जोर देता है, तो घातांक को सही करने की आवश्यकता है। शेष मैग्नस श्रृंखला उस सुधार को व्यवस्थित रूप से प्रदान करती है:

Ω

या इसके कुछ भाग समाधान पर लाइ समूह के लाई बीजगणित में हैं। अनुप्रयोगों में, मैग्नस श्रृंखला को संभवतः ही कभी जोड़ सकते हैं, और अनुमानित समाधान प्राप्त करने के लिए इसे कम करना पड़ता है। मैग्नस प्रस्ताव का मुख्य लाभ यह है कि काट-छाँट की गई श्रृंखला अधिकांशतः महत्वपूर्ण गुणात्मक गुणों को सटीक समाधान के साथ साझा करती है, अन्य पारंपरिक गड़बड़ी सिद्धांत सिद्धांतों के साथ भिन्नता पर। उदाहरण के लिए, मौलिक यांत्रिकी में समय के विकास के सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति चरित्र को सन्निकटन के हर क्रम में संरक्षित किया जाता है। इसी प्रकार, क्वांटम यांत्रिकी में समय विकास ऑपरेटर के एकात्मक संचालक चरित्र को भी संरक्षित किया जाता है (इसके विपरीत, उदाहरण के लिए, उसी समस्या को हल करने वाली डायसन श्रृंखला के लिए)।

विस्तार का अभिसरण

गणितीय दृष्टिकोण से, अभिसरण समस्या निम्न है: एक निश्चित आव्यूह दिया गया है

A (t)

, घातांक कब कर सकता है

Ω(t)

मैग्नस श्रृंखला के योग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है? अभिसरण श्रृंखला के लिए इस श्रृंखला के लिए एक पर्याप्त स्थिति

t \in [0, T)

है

\int _{0}^{T}\|A(s)\|_{2}\,ds<\pi ,

कहाँ $\|\cdot \|_{2}$ एक आव्यूह मानदंड को दर्शाता है। यह परिणाम इस अर्थ में सामान्य है कि कोई विशिष्ट मैट्रिसेस का निर्माण कर सकता है $A (t)$ जिसके लिए श्रृंखला किसी के लिए भिन्न हो जाती है $t > T$ .

मैग्नस जनरेटर

मैग्नस विस्तार में सभी शर्तों को उत्पन्न करने के लिए एक पुनरावर्ती प्रक्रिया मेट्रिसेस का उपयोग करती है $S n (k)$ के माध्यम से पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया

S_{n}^{(j)}=\sum _{m=1}^{n-j}\left[\Omega _{m},S_{n-m}^{(j-1)}\right],\quad 2\leq j\leq n-1,

S_{n}^{(1)}=\left[\Omega _{n-1},A\right],\quad S_{n}^{(n-1)}=\operatorname {ad} _{\Omega _{1}}^{n-1}(A),

जो फिर प्रस्तुत करता है

\Omega _{1}=\int _{0}^{t}A(\tau )\,d\tau ,

\Omega _{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {B_{j}}{j!}}\int _{0}^{t}S_{n}^{(j)}(\tau )\,d\tau ,\quad n\geq 2.

वह पढ़ा रहा है^{क</सुप>_Ω पुनरावर्तक कम्यूटेटर के लिए एक आशुलिपि है (झूठे बीजगणित का संलग्न प्रतिनिधित्व देखें):}

\operatorname {ad} _{\Omega }^{0}A=A,\quad \operatorname {ad} _{\Omega }^{k+1}A=[\Omega ,\operatorname {ad} _{\Omega }^{k}A],

जबकि $B j$ के साथ Bernoulli नंबर हैं $B 1 = -1/2$ .

अंत में, जब इस पुनरावर्तन पर स्पष्ट रूप से काम किया जाता है, तो इसे व्यक्त करना संभव है $Ω n (t)$ एन -1 नेस्टेड कम्यूटेटर के एन-फोल्ड इंटीग्रल के रैखिक संयोजन के रूप में शामिल है $n$ आव्यूह $A$ :

\Omega _{n}(t)=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {B_{j}}{j!}}\sum _{k_{1}+\cdots +k_{j}=n-1 \atop k_{1}\geq 1,\ldots ,k_{j}\geq 1}\int _{0}^{t}\operatorname {ad} _{\Omega _{k_{1}}(\tau )}\operatorname {ad} _{\Omega _{k_{2}}(\tau )}\cdots \operatorname {ad} _{\Omega _{k_{j}}(\tau )}A(\tau )\,d\tau ,\quad n\geq 2,

जो अधिक जटिल हो जाता है $n$ .

स्टोकेस्टिक केस

स्टोकेस्टिक साधारण अंतर समीकरणों का विस्तार

स्टोकेस्टिक मामले के विस्तार के लिए चलो ${\textstyle \left(W_{t}\right)_{t\in [0,T]}}$ एक हो ${\textstyle \mathbb {R} ^{q}}$ -आयामी एक प्रकार कि गति, ${\textstyle q\in \mathbb {N} _{>0}}$ , प्रायिकता स्थान पर ${\textstyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)}$ परिमित समय क्षितिज के साथ ${\textstyle T>0}$ और प्राकृतिक निस्पंदन। अब, रैखिक आव्यूह -मूल्यवान स्टोचैस्टिक इटो डिफरेंशियल इक्वेशन पर विचार करें (आइंस्टीन के सूचकांक पर समीकरण सम्मेलन के साथ) $j$ )

dX_{t}=B_{t}X_{t}dt+A_{t}^{(j)}X_{t}dW_{t}^{j},\quad X_{0}=I_{d},\qquad d\in \mathbb {N} _{>0},

कहाँ ${\textstyle B_{\cdot },A_{\cdot }^{(1)},\dots ,A_{\cdot }^{(j)}}$ उत्तरोत्तर मापने योग्य हैं ${\textstyle d\times d}$ -वैल्यूड बाउंड स्टचास्तिक प्रोसेसेज़ और ${\textstyle I_{d}}$ इकाई आव्यूह है। स्टोचैस्टिक सेटिंग के कारण परिवर्तन के साथ नियतात्मक मामले में उसी दृष्टिकोण का पालन करना^[1] संबंधित आव्यूह लघुगणक एक इटो-प्रक्रिया के रूप में निकलेगा, जिसके पहले दो विस्तार आदेश द्वारा दिए गए हैं ${\textstyle Y_{t}^{(1)}=Y_{t}^{(1,0)}+Y_{t}^{(0,1)}}$ और ${\textstyle Y_{t}^{(2)}=Y_{t}^{(2,0)}+Y_{t}^{(1,1)}+Y_{t}^{(0,2)}}$ , कहाँ आइंस्टीन के योग सम्मेलन के साथ $i$ और $j$

\begin{aligned} Y_{t}^{(0, 0)} & = 0, \\ Y_{t}^{(1, 0)} & = \int_{0}^{t} A_{s}^{(j)} d W_{s}^{j}, \\ Y_{t}^{(0, 1)} & = \int_{0}^{t} B_{s} d s, \\ Y_{t}^{(2, 0)} & = - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} {(A_{s}^{(j)})}^{2} d s + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} [A_{s}^{(j)}, \int_{0}^{s} A_{r}^{(i)} d W_{r}^{i}] d W_{s}^{j}, \\ Y_{t}^{(1, 1)} & = \frac{1}{2} \int_{0}^{t} [B_{s}, \int_{0}^{s} A_{r}^{(j)} d W_{r}] d s + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} [A_{s}^{(j)}, \int_{0}^{s} B_{r} d r] d W_{s}^{j}, \\ Y_{t}^{(0, 2)} & = \frac{1}{2} \int_{0}^{t} [B_{s}, \int_{0}^{s} \end{aligned}

विस्तार का अभिसरण

स्टोकेस्टिक सेटिंग में अभिसरण अब रुकने के समय के अधीन होगा

{\textstyle \tau }

और पहला अभिसरण परिणाम इसके द्वारा दिया जाता है:^[2] गुणांकों पर पिछली धारणा के अनुसार एक मजबूत समाधान उपलब्ध है

{\textstyle X=(X_{t})_{t\in [0,T]}}

, साथ ही एक सख्ती से सकारात्मक रुकने का समय

{\textstyle \tau \leq T}

ऐसा है कि:

${\textstyle X_{t}}$ एक वास्तविक लघुगणक है ${\textstyle Y_{t}}$ समय तक ${\textstyle \tau }$ , अर्थात

$X_{t}=e^{Y_{t}},\qquad 0\leq t<\tau ;$
निम्नलिखित प्रतिनिधित्व धारण करता है ${\textstyle \mathbb {P} }$ -लगभग निश्चित रूप से:

$Y_{t}=\sum _{n=0}^{\infty }Y_{t}^{(n)},\qquad 0\leq t<\tau ,$

कहाँ ${\textstyle Y^{(n)}}$ है $n$ -वाँ शब्द स्टोचैस्टिक मैग्नस विस्तार में जैसा कि उपखंड मैग्नस विस्तार सूत्र में नीचे परिभाषित किया गया है;
एक सकारात्मक स्थिरांक उपलब्ध है $C$ , मात्र पर निर्भर है ${\textstyle \|A^{(1)}\|_{T},\dots ,\|A^{(q)}\|_{T},\|B\|_{T},T,d}$ , साथ ${\textstyle \|A_{\cdot }\|_{T}=\|\|A_{t}\|_{F}\|_{L^{\infty }(\Omega \times [0,T])}}$ , ऐसा कि

$\mathbb {P} (\tau \leq t)\leq Ct,\qquad t\in [0,T].$

मैग्नस विस्तार सूत्र

स्टोचैस्टिक मैग्नस विस्तार के लिए सामान्य विस्तार सूत्र द्वारा दिया गया है:

Y_{t}=\sum _{n=0}^{\infty }Y_{t}^{(n)}\quad {\text{with}}\quad Y_{t}^{(n)}:=\sum _{r=0}^{n}Y_{t}^{(r,n-r)},

जहां सामान्य शब्द ${\textstyle Y^{(r,n-r)}}$ प्रपत्र की एक इटो-प्रक्रिया है:

Y_{t}^{(r,n-r)}=\int _{0}^{t}\mu _{s}^{r,n-r}ds+\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{r,n-r,j}dW_{s}^{j},\qquad n\in \mathbb {N} _{0},\ r=0,\dots ,n,

शर्तें ${\textstyle \sigma ^{r,n-r,j},\mu ^{r,n-r}}$ पुनरावर्ती के रूप में परिभाषित किया गया है

{\begin{aligned}\sigma _{s}^{r,n-r,j}&:=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\beta _{i}}{i!}}S_{s}^{r-1,n-r,i}{\big (}A^{(j)}{\big )},\\\mu _{s}^{r,n-r}&:=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\beta _{i}}{i!}}S_{s}^{r,n-r-1,i}(B)-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{q}\sum _{i=0}^{n-2}{\frac {\beta _{i}}{i!}}\sum _{q_{1}=2}^{r}\sum _{q_{2}=0}^{n-r}S^{r-q_{1},n-r-q_{2},i}{\big (}Q^{q_{1},q_{2},j}{\big )},\end{aligned}}

साथ

\begin{aligned} Q_{s}^{q_{1}, q_{2}, j} := \sum_{i_{1} = 2}^{q_{1}} \sum_{i_{2} = 0}^{q_{2}} \sum_{h_{1} = 1}^{i_{1} - 1} \sum_{h_{2} = 0}^{i_{2}} & \sum_{p_{1} = 0}^{q_{1} - i_{1}} \sum_{p_{2} = 0}^{q_{2} - i_{2}} \sum_{m_{1} = 0}^{p_{1} + p_{2}} \sum_{m_{2} = 0}^{q_{1} - i_{1} - p_{1} + q_{2} - i_{2} - p_{2}} \\ (\frac{S_{s}^{p_{1}, p_{2}, m_{1}} (σ_{s}^{h_{1}, h_{2}, j})}{(m_{1} + 1)!} \frac{S_{s}^{q_{1} - i_{1} - p_{1}, q_{2} - i_{2} - p_{2}, m_{2}} (σ_{s}^{i_{1} - h_{1}, i_{2} - h_{2}, j})}{(m_{2} + 1)!} \\ + [S_{s}^{p_{1}, p_{2}, m_{1}} (σ_{s}^{i_{1} - h_{1}, i_{2} - h_{2 <}} \end{aligned}

और ऑपरेटरों के साथ

S

के रूप में परिभाषित किया जा रहा है

{\begin{aligned}S_{s}^{r-1,n-r,0}(A)&:={\begin{cases}A&{\text{if }}r=n=1,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}\\S_{s}^{r-1,n-r,i}(A)&:=\sum _{\begin{array}{c}(j_{1},k_{1}),\dots ,(j_{i},k_{i})\in \mathbb {N} _{0}^{2}\\j_{1}+\cdots +j_{i}=r-1\\k_{1}+\cdots +k_{i}=n-r\end{array}}{\big [}Y_{s}^{(j_{1},k_{1})},{\big [}\dots ,{\big [}Y_{s}^{(j_{i},k_{i})},A_{s}{\big ]}\dots {\big ]}{\big ]}\\&=\sum _{\begin{array}{c}(j_{1},k_{1}),\dots ,(j_{i},k_{i})\in \mathbb {N} _{0}^{2}\\j_{1}+\cdots +j_{i}=r-1\\k_{1}+\cdots k_{i}=n-r\end{array}}\operatorname {ad} _{Y_{s}^{(j_{1},k_{1})}}\circ \cdots \circ \operatorname {ad} _{Y_{s}^{(j_{i},k_{i})}}(A_{s}),\qquad i\in \mathbb {N} .\end{aligned}}

अनुप्रयोग

1960 के दशक के बाद से, परमाणु भौतिकी और आणविक भौतिकी से लेकर परमाणु चुंबकीय अनुनाद तक, भौतिकी और रसायन विज्ञान के कई क्षेत्रों में मैग्नस विस्तार को एक प्रेरक उपकरण के रूप में सफलतापूर्वक लागू किया गया है।^[3] और क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स। इसका उपयोग 1998 से आव्यूह रैखिक अंतर समीकरणों के संख्यात्मक एकीकरण के लिए व्यावहारिक एल्गोरिदम बनाने के लिए एक उपकरण के रूप में भी किया गया है। जैसा कि वे मैग्नस विस्तार से प्राप्त करते हैं समस्या के गुणात्मक लक्षणों का संरक्षण, संबंधित योजनाएं ज्यामितीय इंटीग्रेटर के प्रोटोटाइपिक उदाहरण हैं।

यह भी देखें

बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र
घातीय मानचित्र का व्युत्पन्न

↑ Kamm, Pagliarani & Pascucci 2020
↑ Kamm, Pagliarani & Pascucci 2020, Theorem 1.1
↑ Haeberlen, U.; Waugh, J.S. (1968). "चुंबकीय अनुनाद में सुसंगत औसत प्रभाव". Phys. Rev. 175 (2): 453–467. Bibcode:1968PhRv..175..453H. doi:10.1103/PhysRev.175.453.

संदर्भ

Magnus, W. (1954). "On the exponential solution of differential equations for a linear operator". Comm. Pure Appl. Math. VII (4): 649–673. doi:10.1002/cpa.3160070404.
Blanes, S.; Casas, F.; Oteo, J.A.; Ros, J. (1998). "Magnus and Fer expansions for matrix differential equations: The convergence problem". J. Phys. A: Math. Gen. 31 (1): 259–268. Bibcode:1998JPhA...31..259B. doi:10.1088/0305-4470/31/1/023.
Iserles, A.; Nørsett, S. P. (1999). "On the solution of linear differential equations in Lie groups". Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 357 (1754): 983–1019. Bibcode:1999RSPTA.357..983I. CiteSeerX 10.1.1.15.4614. doi:10.1098/rsta.1999.0362. S2CID 90949835.
Blanes, S.; Casas, F.; Oteo, J.A.; Ros, J. (2009). "The Magnus expansion and some of its applications". Phys. Rep. 470 (5–6): 151–238. arXiv:0810.5488. Bibcode:2009PhR...470..151B. doi:10.1016/j.physrep.2008.11.001. S2CID 115177329.
Kamm, K.; Pagliarani, S.; Pascucci, A. (2021). "On the Stochastic Magnus Expansion and Its Application to SPDEs". Journal of Scientific Computing. 89 (3): 56. arXiv:2001.01098. doi:10.1007/s10915-021-01633-6. S2CID 211259118.

[1] Kamm, Pagliarani & Pascucci 2020

[2] Kamm, Pagliarani & Pascucci 2020, Theorem 1.1

[3] Haeberlen, U.; Waugh, J.S. (1968). "चुंबकीय अनुनाद में सुसंगत औसत प्रभाव". Phys. Rev. 175 (2): 453–467. Bibcode:1968PhRv..175..453H. doi:10.1103/PhysRev.175.453.

[1]

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