एलेक्जेंडरसन

अलेक्जेंडर की चाल, जिसे अलेक्जेंडर चाल के रूप में भी जाना जाता है, ज्यामितीय टोपोलॉजी में एक मूल परिणाम है, जिसका नाम जेम्स वाडेल अलेक्जेंडर II|जे के नाम पर रखा गया है। डब्ल्यू अलेक्जेंडर।

कथन

एन-डायमेंशनल बॉल (गणित) के दो होमियोमोर्फिज्म $D^{n}$ जो सीमा (टोपोलॉजी) क्षेत्र पर सहमत हैं $S^{n-1}$ होमोटॉपी # आइसोटोपी हैं।

अधिक आम तौर पर, डी के दो होमोमोर्फिज्मⁿ जो सीमा पर समस्थानिक हैं समस्थानिक हैं।

प्रमाण

बेस केस: हर होमोमोर्फिज़्म जो सीमा को ठीक करता है, सीमा के सापेक्ष पहचान के लिए समस्थानिक है।

अगर $f\colon D^{n}\to D^{n}$ संतुष्ट $f(x)=x{\text{ for all }}x\in S^{n-1}$, फिर f को पहचान से जोड़ने वाली एक समस्थानिक द्वारा दिया जाता है

$J(x,t)={\begin{cases}tf(x/t),&{\text{if }}0\leq \|x\|<t,\\x,&{\text{if }}t\leq \|x\|\leq 1.\end{cases}}$

नेत्रहीन, होमोमोर्फिज्म सीमा से 'सीधा बाहर' है, 'निचोड़' $f$ मूल के नीचे। विलियम थर्स्टन ने इसे सभी उलझनों को एक बिंदु पर जोड़ने की बात कही है। मूल 2-पेज पेपर में, जे. डब्ल्यू. अलेक्जेंडर बताते हैं कि प्रत्येक के लिए $t>0$ रूपान्तरण $J_{t}$ प्रतिकृति $f$ एक अलग पैमाने पर, त्रिज्या की डिस्क पर $t$, इस प्रकार के रूप में $t\rightarrow 0$ यह अपेक्षा करना उचित है $J_{t}$ पहचान में विलीन हो जाता है।

सूक्ष्मता यह है कि पर $t=0$, $f$ गायब हो जाता है : जर्म (गणित) मूल रूप से एक असीम रूप से फैला हुआ संस्करण से कूदता है $f$ पहचान के लिए। होमोटोपी में प्रत्येक चरण को सुचारू (सुचारू संक्रमण) किया जा सकता है, लेकिन होमोटोपी (समग्र मानचित्र) में एक विलक्षणता है $(x,t)=(0,0)$. यह रेखांकित करता है कि अलेक्जेंडर ट्रिक एक टुकड़ा-टुकड़ा रैखिक कई गुना कंस्ट्रक्शन है, लेकिन स्मूथ नहीं है।

सामान्य स्थिति: सीमा पर समस्थानिक का तात्पर्य समस्थानिक से है

अगर $f,g\colon D^{n}\to D^{n}$ दो होमियोमॉर्फिज़्म हैं जो सहमत हैं $S^{n-1}$, तब $g^{-1}f$ पर पहचान है $S^{n-1}$, इसलिए हमारे पास एक आइसोटोप है $J$ पहचान से $g^{-1}f$. वो नक्शा $gJ$ तब से एक आइसोटोप है $g$ को $f$.

रेडियल एक्सटेंशन

कुछ लेखक अलेक्जेंडर ट्रिक शब्द का उपयोग इस कथन के लिए करते हैं कि प्रत्येक होमोमोर्फिज्म का $S^{n-1}$ संपूर्ण गेंद के एक होमोमोर्फिज्म तक बढ़ाया जा सकता है $D^{n}$.

हालांकि, ऊपर चर्चा किए गए परिणाम की तुलना में इसे साबित करना बहुत आसान है: इसे रेडियल एक्सटेंशन (या शंक्वाकार) कहा जाता है और यह भी सच है कि टुकड़े-टुकड़े रैखिक होमोमोर्फिज्म | टुकड़े-टुकड़े-रैखिक रूप से, लेकिन सुचारू रूप से नहीं।

ठोस रूप से, चलो $f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}$ एक होमोमोर्फिज्म हो, फिर

$F\colon D^{n}\to D^{n}{\text{ with }}F(rx)=rf(x){\text{ for all }}r\in [0,1){\text{ and }}x\in S^{n-1}$ गेंद के होमियोमोर्फिज्म को परिभाषित करता है।

विदेशी गोले

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यह भी देखें

• क्लचिंग निर्माण

संदर्भ

• Hansen, Vagn Lundsgaard (1989). Braids and coverings: selected topics. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 18. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511613098. ISBN 0-521-38757-4. MR 1247697.
• Alexander, J. W. (1923). "On the deformation of an n-cell". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 9 (12): 406–407. Bibcode:1923PNAS....9..406A. doi:10.1073/pnas.9.12.406. PMC 1085470. PMID 16586918.