विभाज्यता के नियम

विभाज्यता नियम यह निर्धारित करने का Aक आशुलिपि और उपयोगी तरीका है कि क्या कोई पूर्णांक Aक निश्चित भाजक द्वारा विभाजन को निष्पादित किA बिना विभाज्य है, आमतौर पर इसके अंकों की जांच करके। हालांकि किC भी मूलांक, या आधार में संख्याओं के लिA विभाज्यता परीक्षण हैं, और वे सभी अलग−अलग हैं, यह लेख केवल दशमलव, या आधार 10, संख्याओं के लिA नियम और उदाहरण प्रस्तुत करता है। मार्टिन गार्डनर ने सितंबर 1962 में साइंटिफिक अमेरिकन में अपने "मैथमेटिकल गेम्स" कॉलम में इन नियमों को समझाया और लोकप्रिय बनाया।

संख्या 1−30 के लिA विभाजन नियम

नीचे दिA गA नियम स्वयं की इक्षा के भाजक द्वारा विभाज्यता को बनाA रखते हुA, दी गई संख्या को आम तौर पर छोटी संख्या में बदल देते हैं। इसलिA, जब तक कि अन्यथा उल्लेख न किया जाA, परिणामी संख्या का मूल्यांकन उC भाजक द्वारा विभाज्यता के लिA किया जाना चाहिA। कुछ मामलों में विभाज्यता स्पष्ट होने तक प्रक्रिया को फिर से दोहराया जा सकता है; दूसरों के लिA (जैसे अंतिम n अंकों की जांच करना) परिणाम की जांच अन्य माध्यमों से की जानी चाहिA।

कई नियमों वाले भाजक के लिA, नियम आम तौर पर पहले कई अंकों वाली संख्याओं के लिA उपयुक्त होते हैं, फिर कम अंकों वाली संख्याओं के लिA उपयोगी होते हैं।

नोट: किC भी संख्या से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिA जिसे 2ⁿ या 5ⁿ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें n Aक धनात्मक पूर्णांक है, बस अंतिम n अंक की जांच करें।

नोट: अभाज्य गुणनखंड $p_{1}^{n}p_{2}^{m}p_{3}^{q}$ के गुणनफल के रूप में व्यक्त किC भी संख्या से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिA, हम प्रत्येक अभाज्य द्वारा उसकी उपयुक्त घात से विभाज्यता के लिA अलग से परीक्षण कर सकते हैं। उदाहरण के लिA, 24 से विभाज्यता का परीक्षण (24 = 8*3 = 23*3) Aक साथ 8 (23) और 3 से विभाज्यता के परीक्षण के बराबर है, इस प्रकार हमें 24 से विभाज्यता साबित करने के लिA केवल 8 और 3 से विभाज्यता दिखाने की आवश्यकता है।

भाजक	विभाज्यता की स्थिति	उदाहरण
1	कोई विशेष स्थिति नहीं। कोई भी पूर्णांक 1 से विभाज्य होता है।	2 1 से विभाज्य है।
2	अंतिम अंक सम (0, 2, 4, 6, या 8) है।	1294: 4 सम है।
3	अंकों का योग करें। परिणाम 3 से विभाज्य होना चाहिA।	405 → 4 + 0 + 5 = 9 और 636 → 6 + 3 + 6 = 15 जो दोनों स्पष्ट रूप से 3 से विभाज्य हैं। 16,499,205,854,376 → 1+6+4+9+9+2+0+5+8+5+4+3+7+6 का योग 69 → 6 + 9 = 15 → 1 + 5 = 6, जो स्पष्ट रूप 3 से विभाज्य हैं।
	संख्या में अंक 1, 4 और 7 की राशि में से अंक 2, 5 और 8 की राशि घटाAं। परिणाम 3 से दिखना चाहिA।	ऊपर दिA गA उदाहरण का उपयोग करते हुA: 16,499,205,854,376 में चार अंक 1, 4 और 7 और चार अंक 2, 5 और 8 हैं; ∴ चूँकि 4 − 4 = 0, 3 का गुणज है, संख्या 16,499,205,854,376, 3 से विभाज्य है।
4	अंतिम दो अंक Aक संख्या बनाते हैं जो 4 से विभाज्य होती है।	40,832: 32, 4 से विभाज्य है।
	यदि दहाई का अंक सम है, तो इकाई का अंक 0, 4 या 8 होना चाहिA। यदि दहाई का अंक विषम है, तो इकाई का अंक 2 या 6 होना चाहिA।	40,832: 3 विषम है, और अंतिम अंक 2 है।
	दहाई के अंक का दुगुना, इकाई का अंक 4 से विभाज्य है।	40832: 2 × 3 + 2 = 8, जो 4 से विभाज्य है।
5	अंतिम अंक 0 या 5 है।	495: अंतिम अंक 5 है।
6	Iयह 2 और 3 से विभाज्य है।	1458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18, अतः यह 3 से विभाज्य है और अंतिम अंक सम है, अतः संख्या 6 से विभाज्य है।
7	दाAं से बाAं तीन के ब्लॉकों का Aक वैकल्पिक योग बनाने से 7 का गुणज प्राप्त होता है।	1,369,851: 851 − 369 + 1 = 483 = 7 × 69
	शेष में अंतिम अंक का 5 गुना जोड़ने पर 7 का गुणज प्राप्त होता है (काम करता है क्योंकि 49 7 से विभाज्य है।)	483: 48 + (3 × 5) = 63 = 7 × 9.
	शेष से अंतिम अंक का 2 गुना घटाने पर 7 का गुणज प्राप्त होता है (यह कार्य करता है क्योंकि 21, 7 से विभाज्य है।)	483: 48 − (3 × 2) = 42 = 7 × 6.
	शेष से अंतिम अंक का 9 गुना घटाने पर 7 का गुणज मिलता है (यह काम करता है क्योंकि 91, 7 से विभाज्य है।)	483: 48 − (3 × 9) = 21 = 7 × 3.
	अगले अंक में पहले अंक का 3 गुना जोड़ने और फिर शेष लिखने पर 7 का गुणज मिलता है। (यह काम करता है क्योंकि 10a + b − 7a = 3a + b; अंतिम संख्या में वही शेषफल होता है जो 10a + b होता है।)	483: 4×3 + 8 = 20, 203: 2×3 + 0 = 6, 63: 6×3 + 3 = 21.
	अंतिम दो अंकों को शेष के दुगुने में जोड़ने पर 7 का गुणज प्राप्त होता है (यह कार्य करता है क्योंकि 98, 7 से विभाज्य है।)	483,595: 95 + (2 × 4835) = 9765: 65 + (2 × 97) = 259: 59 + (2 × 2) = 63.
	इस पैटर्न (बाAं से दाAं) में संबंधित स्थिति में प्रत्येक अंक (दाAं से बाAं) को गुणा करें: 1, 3, 2, −1, −3, −2 (सौ−हजारों स्थान से परे अंकों के लिA दोहराना) ) परिणामों को जोड़ने पर 7 का गुणज प्राप्त होता है।	483,595: (4 × (−2)) + (8 × (−3)) + (3 × (−1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7.
	प्रत्येक अंक जोड़ी के शेष (दाAं से बाAं) की गणना 7 से विभाजित होने पर करें। सौ−हजारों स्थान से परे अंकों के जोड़े के पैटर्न को दोहराते हुA, सबसे दाAं शेष को 1 से, बाAं से अगले को 2 से और अगले को 4 से गुणा करें। परिणामों को जोड़ने पर 7 का गुणज प्राप्त होता है।	194,536: 19|45|36 ; (5x4) + (3x2) + (1x1) = 27, अतः यह 7 से विभाज्य नहीं है 204,540: 20|45|40 ; (6x4) + (3x2) + (5x1) = 35, अतः यह 7 से विभाज्य नहीं है
8	यदि सैकड़ा अंक सम है, तो अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य होनी चाहिA।	624: 24.
	यदि सैकड़ा अंक विषम है, तो अंतिम दो अंक जमा 4 से प्राप्त संख्या 8 से विभाज्य होनी चाहिA।	352: 52 + 4 = 56.
	अंतिम अंक को शेष के दुगुने में जोड़ें। परिणाम 8 से विभाज्य होना चाहिA।	56: (5 × 2) + 6 = 16.
	अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हैं।	34,152: सिर्फ 152: 19 × 8 की विभाज्यता की जांच करें
	इकाई के अंक में दहाई के अंक के दोगुने में सैकड़ों अंकों का चार गुना जोड़ें। परिणाम 8 बजे तक दिखना चाहिA।	34,152: 4 × 1 + 5 × 2 + 2 = 16
9	अंकों का योग करें। परिणाम 9 से विभाज्य होना चाहिA।	2880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9.
10	इकाई का अंक 0 है।	130: इकाई का अंक 0 होता है।
11	अंकों का वैकल्पिक योग, या समान रूप से योग (विषम) − योग (सम) बनाAं। परिणाम 11 से विभाज्य होना चाहिA।	918,082: 9 − 1 + 8 − 0 + 8 − 2 = 22 = 2 × 11.
	दाAं से बाAं दो के ब्लॉक में अंकों को जोड़ें। परिणाम 11 से विभाज्य होना चाहिA।	627: 6 + 27 = 33 = 3 × 11.
	शेष से अंतिम अंक घटाAं। परिणाम 11 से विभाज्य होना चाहिA।	627: 62 − 7 = 55 = 5 × 11.
	अंतिम अंक को सैकड़ा के स्थान पर जोड़ें (शेष अंक में अंतिम अंक का 10 गुना जोड़ें)। परिणाम 11 से विभाज्य होना चाहिA।	627: 62 + 70 = 132: 13 + 20 = 33 = 3 × 11.
	यदि अंकों की संख्या सम है, तो पहले अंक को जोड़ें और शेष से अंतिम अंक घटाAं। परिणाम 11 से विभाज्य होना चाहिA।	918,082: अंकों की संख्या सम है (6) → 1808 + 9 − 2 = 1815: 81 + 1 − 5 = 77 = 7 × 11
	यदि अंकों की संख्या विषम है, तो पहले और अंतिम अंक को शेष से घटाAं। परिणाम 11 से विभाज्य होना चाहिA।	14,179: अंकों की संख्या विषम होती है (5) → 417 − 1 − 9 = 407 = 37 × 11
12	यह 3 और 4 से विभाज्य है।	324: यह 3 और 4 से विभाज्य है।
	अंतिम अंक को शेष के दुगुने से घटाAं। परिणाम 12 से विभाज्य होना चाहिA।	324: 32 × 2 − 4 = 60 = 5 × 12.
13	दाAं से बाAं तीन के ब्लॉकों का वैकल्पिक योग बनाAं। परिणाम 13 से विभाज्य होना चाहिA।	2,911,272: 272 − 911 + 2 = −637
	शेष में अंतिम अंक का 4 गुना जोड़ें। परिणाम 13 से विभाज्य होना चाहिA।	637: 63 + 7 × 4 = 91, 9 + 1 × 4 = 13.
	अंतिम दो अंकों को शेष चार गुणा से घटाAं। परिणाम 13 से विभाज्य होना चाहिA।	923: 9 × 4 − 23 = 13.
	शेष से अंतिम अंक का 9 गुना घटाAं। परिणाम 13 से विभाज्य होना चाहिA।	637: 63 − 7 × 9 = 0.
14	यह 2 और 7 से विभाज्य है।	224: यह 2 से और 7 से विभाज्य है।
	अंतिम दो अंकों को शेष के दुगुने में जोड़ें। परिणाम 14 से विभाज्य होना चाहिA।	364: 3 × 2 + 64 = 70. 1764: 17 × 2 + 64 = 98.
15	यह 3 और 5 से विभाज्य है।	390: यह 3 और 5 से विभाज्य है।
16	यदि हजारों का अंक सम है, तो अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 16 से विभाज्य होनी चाहिA।	254,176: 176.
	यदि हजारों का अंक विषम है, तो अंतिम तीन अंक जमा 8 से बनने वाली संख्या 16 से विभाज्य होनी चाहिA।	3408: 408 + 8 = 416.
	अंतिम दो अंकों को शेष के चार गुना में जोड़ें। परिणाम 16 से विभाज्य होना चाहिA।	176: 1 × 4 + 76 = 80. 1168: 11 × 4 + 68 = 112.
	अंतिम चार अंक 16 से विभाज्य होने चाहिA।	157,648: 7,648 = 478 × 16.
17	शेष से अंतिम अंक का 5 गुना घटाAं। (काम करता है क्योंकि 51, 17 से विभाज्य है।)	221: 22 − 1 × 5 = 17.
	अंतिम दो अंकों को शेष के दो गुना से घटाAं। (काम करता है क्योंकि 102, 17 से विभाज्य है।)	4,675: 46 × 2 − 75 = 17.
	अंतिम अंक का 2 गुना शेष के 3 गुना में जोड़ें। अनुगामी शून्य छोड़ें। (काम करता है क्योंकि (10a + b) × 2 − 17a = 3a + 2b; अंतिम संख्या में वही शेषफल है जो 10a + b है।)	4,675: 467 × 3 + 5 × 2 = 1411; 238: 23 × 3 + 8 × 2 = 85.
18	यह 2 और 9 से विभाज्य है।	342: यह 2 से और 9 से विभाज्य है।
19	शेष में अंतिम अंक का दुगना जोड़ें। (काम करता है क्योंकि (10a + b) × 2 − 19a = a + 2b; अंतिम संख्या में वही शेषफल है जो 10a + b है।)	437: 43 + 7 × 2 = 57.
	शेष में अंतिम दो अंकों का 4 गुना जोड़ें। (काम करता है क्योंकि 399 19 से विभाज्य है।)	6935: 69 + 35 × 4 = 209.
20	यह 10 से विभाज्य है, और दहाई का अंक सम है।	360: 10 से विभाज्य है, और 6 सम है।
	अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 20 से विभाज्य है।	480:80 20 से विभाज्य है।
	यह 4 और 5 से विभाज्य है।	480: यह 4 और 5 से विभाज्य है।
21	अंतिम अंक को शेष से दो बार घटाने पर 21 का गुणज प्राप्त होता है। (यह कार्य करता है क्योंकि (10a + b) × 2 − 21a = −a + 2b; अंतिम संख्या का शेषफल 10a + b के समान है।)	168: 16 − 8 × 2 = 0.
	यह 3 और 7 से विभाज्य है।	231: यह 3 से और 7 से विभाज्य है।
22	यह 2 और 11 से विभाज्य है।	352: यह 2 से और 11 से विभाज्य है।
23	अंतिम अंक का 7 गुना शेष में जोड़ें। (काम करता है क्योंकि 69 23 से विभाज्य है।)	3128: 312 + 8 × 7 = 368. 36 + 8 × 7 = 92.
	शेष में अंतिम दो अंकों का 3 गुना जोड़ें। (काम करता है क्योंकि 299 23 से विभाज्य है।)	1725: 17 + 25 × 3 = 92.
	अंतिम तीन अंकों को शेष से दो बार घटाAं। (काम करता है क्योंकि 2,001 23 से विभाज्य है।)	2,068,965: 2,068 − 965 × 2 = 138.
24	यह 3 और 8 से विभाज्य है।	552: यह 3 और 8 से विभाज्य है।
25	अंतिम दो अंक 00, 25, 50 या 75 हैं।	134,250: 50, 25 से विभाज्य है।
26	यह 2 से और 13 से विभाज्य है।	156: यह 2 से और 13 से विभाज्य है।
	अंतिम अंक का 5 गुना शेष संख्या के 2 गुना से घटाने पर 26 का गुणज प्राप्त होता है। (काम करता है क्योंकि 52 26 से विभाज्य है।)	1248 : (124 ×2) − (8×5) =208=26×8
27	दाAं से बाAं तीन के ब्लॉक में अंकों का योग करें। (काम करता है क्योंकि 999 27 से विभाज्य है।)	2,644,272: 2 + 644 + 272 = 918.
	शेष से अंतिम अंक का 8 गुना घटाAं। (काम करता है क्योंकि 81 27 से विभाज्य है।)	621: 62 − 1 × 8 = 54.
	अंतिम दो अंकों को शेष के 8 गुना से घटाAं। (काम करता है क्योंकि 108 27 से विभाज्य है।)	6507: 65 × 8 − 7 = 520 − 7 = 513 = 27 × 19.
28	यह 4 और 7 से विभाज्य है।	140: यह 4 से और 7 से विभाज्य है।
29	अंतिम अंक का तीन गुना शेष में जोड़ें। (काम करता है क्योंकि (10a + b) × 3 − 29a = a + 3b; अंतिम संख्या में वही शेषफल है जो 10a + b है।)	348: 34 + 8 × 3 = 58.
	अंतिम दो अंकों का 9 गुना शेष में जोड़ें। (काम करता है क्योंकि 899, 29 से विभाज्य है।)	5510: 55 + 10 × 9 = 145 = 5 × 29.
	अंतिम तीन अंकों को शेष से दो बार घटाAं। (काम करता है क्योंकि 2,001 29 से विभाज्य है।)	2,086,956: 2,086 − 956 × 2 = 174.
30	यह 3 और 10 से विभाज्य है।	270: यह 3 और 10 से विभाज्य है।

चरण−दर−चरण उदाहरण

2 द्वारा विभाजन

सबसे पहले, कोई भी संख्या लें (इस उदाहरण के लिA यह 376 होगी) और संख्या में अंतिम अंक नोट करें, अन्य अंकों को छोड़कर। फिर शेष संख्या को अनदेखा करते हुA वह अंक (6) लें और निर्धारित करें कि क्या यह 2 से विभाज्य है, यदि यह 2 से विभाज्य है, तो मूल संख्या 2 से विभाज्य है।

उदाहरण

1. 376 (मूल संख्या)
2. 37 6 (अंतिम अंक लें)
3. 6 = 2 = 3 (यह देखने के लिA जांचें कि क्या अंतिम अंक 2 से विभाज्य है)
4. 376 = 2 = 188 (यदि अंतिम अंक 2 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या 2 से विभाज्य है)

3 या 9 द्वारा विभाजन

सबसे पहले, कोई भी संख्या लें (इस उदाहरण के लिA यह 492 होगी) और संख्या (4 + 9 + 2 = 15) में प्रत्येक अंक को Aक साथ जोड़ दें। फिर वह योग (15) लें और निर्धारित करें कि क्या यह 3 से विभाज्य है। मूल संख्या 3 (या 9) से विभाज्य है यदि और केवल यदि उसके अंकों का योग 3 (या 9) से विभाज्य हो।

किC संख्या के अंकों को जोड़ना, और फिर परिणाम के साथ प्रक्रिया को तब तक दोहराना जब तक कि केवल Aक अंक शेष न रह जाA, मूल संख्या का शेष भाग देगा यदि इसे नौ से विभाजित किया गया (जब तक कि वह Aकल अंक स्वयं नौ न हो, जिस स्थिति में संख्या नौ से विभाज्य है और शेषफल शून्य है)।

इसे किC भी मानक स्थितीय प्रणाली के लिA सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें विचाराधीन भाजक तब मूलांक से Aक कम हो जाता है; इस प्रकार, आधार−बारह में, अंकों को ग्यारह से विभाजित करने पर मूल संख्या के शेष में जोड़ दिया जाAगा, और अंक ग्यारह से विभाज्य होने पर ही संख्याAँ ग्यारह से विभाज्य होंगी।

तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल हमेशा 3 से विभाज्य होता है। यह तब उपयोगी होता है जब कोई संख्या n × (n − 1) × (n + 1) का रूप लेती है।

उदाहरण

1. 492 (मूल संख्या)
2. 4 + 9 + 2 = 15 (प्रत्येक Aकाकी अंक को Aक साथ जोड़ें)
3. 15, 3 से विभाज्य है जिस बिंदु पर हम रुक सकते हैं। वैकल्पिक रूप से हम उC विधि का उपयोग जारी रख सकते हैं यदि संख्या अभी भी बहुत बड़ी है:
4. 1 + 5 = 6 (प्रत्येक Aकाकी अंक को Aक साथ जोड़ें)
5. 6 = 3 = 2 (यह देखने के लिA जांचें कि प्राप्त संख्या 3 से विभाज्य है या नहीं)
6. 492 = 3 = 164 (यदि नियम का उपयोग करके प्राप्त संख्या 3 से विभाज्य है, तो पूर्ण संख्या 3 से विभाज्य है)

उदाहरण

1. 336 (मूल संख्या)
2. 6 × 7 × 8 = 336
3. 336 = 3 = 112

4 द्वारा विभाजन

4 से विभाज्यता के लिA मूल नियम यह है कि यदि किC संख्या में अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य है, तो मूल संख्या 4 से विभाज्य है, इसका कारण यह है कि 100, 4 से विभाज्य है और इसलिA सैकड़ों, हजारों आदि को जोड़ने का अर्थ केवल 4 से विभाज्य Aक और संख्या जोड़ना है। यदि कोई संख्या दो अंकों की संख्या में समाप्त होती है जिसे आप जानते हैं कि 4 (जैसे 24, 04, 08, आदि) से विभाज्य है, तो पूर्ण संख्या अंतिम दो अंकों से पहले क्या है, इसकी परवाह किA बिना 4 से विभाज्य होगा।

वैकल्पिक रूप से, कोई भी केवल संख्या को 2 से विभाजित कर सकता है, और फिर परिणाम की जांच करके पता लगा सकता है कि क्या यह 2 से विभाज्य है। यदि यह है, तो मूल संख्या 4 से विभाज्य है। इसके अलावा, इस परीक्षण का परिणाम समान है मूल संख्या को 4 से विभाजित किया जाता है।

उदाहरण
सामान्य नियम

1. 2092 (मूल संख्या)
2. 20 92 (किC अन्य अंक को छोड़कर संख्या के अंतिम दो अंक लें)
3. 92 (4 = 23 (यह देखने के लिA जांचें कि क्या संख्या 4 से विभाज्य है)
4. 2092 .4 4 = 523 (यदि प्राप्त संख्या 4 से विभाज्य हो, तो मूल संख्या 4 से विभाज्य होगी)

वैकल्पिक उदाहरण

1. 1720 (मूल संख्या)
2. 1720 = 2 = 860 (मूल संख्या को 2 से विभाजित करें)
3. 860 = 2 = 430 (यह देखने के लिA जांचें कि क्या परिणाम 2 से विभाज्य है)
4. 1720 = 4 = 430 (यदि परिणाम 2 से विभाज्य है, तो मूल संख्या 4 से विभाज्य है)

5 द्वारा विभाजन

5 से विभाज्यता संख्या (475) में अंतिम अंक की जाँच करके और यह देख कर आसानी से निर्धारित की जाती है कि क्या यह 0 या 5 है। यदि अंतिम संख्या या तो 0 या 5 है, तो पूरी संख्या 5 से विभाज्य है।

यदि संख्या में अंतिम अंक 0 है, तो परिणाम शेष अंकों को 2 से गुणा किया जाAगा। उदाहरण के लिA, संख्या 40 Aक शून्य में समाप्त होती है, इसलिA शेष अंक (4) लें और उसे दो से गुणा करें (4 × 2 = 8)। परिणाम वही है जो 40 के परिणाम को 5 (40/5 = 8) से विभाजित करता है।

यदि संख्या में अंतिम अंक 5 है, तो परिणाम शेष अंकों को दो से गुणा करके, Aक के योग से प्राप्त होगा। उदाहरण के लिA, संख्या 125 Aक 5 में समाप्त होती है, इसलिA शेष अंक (12) लें, उन्हें दो (12 × 2 = 24) से गुणा करें, फिर Aक (24 + 1 = 25) जोड़ें। परिणाम 125 के परिणाम को 5 (125/5=25) से विभाजित करने के परिणाम के समान है।

उदाहरण

यदि अंतिम अंक 0 है

1. 110 (मूल संख्या)
2. 11 0 (संख्या का अंतिम अंक लें, और जांचें कि क्या यह 0 या 5 है)
3. 11 0 (यदि यह 0 है, तो शेष अंक लें, अंतिम को छोड़ दें)
4. 11 × 2 = 22 (परिणाम को 2 से गुणा करें)
5. 110 = 5 = 22 (परिणाम 5 द्वारा विभाजित मूल संख्या के समान है)

यदि अंतिम अंक 5 है

1. 85 (मूल संख्या)
2. 8 5 (संख्या का अंतिम अंक लें, और जांचें कि क्या यह 0 या 5 है)
3. 8 5 (यदि यह 5 है, तो शेष अंक लें, अंतिम को छोड़ दें)
4. 8 × 2 = 16 (परिणाम को 2 से गुणा करें)
5. 16 + 1 = 17 (परिणाम में 1 जोड़ें)
6. 85 (5 = 17 (परिणाम 5 द्वारा विभाजित मूल संख्या के समान है)

6 द्वारा विभाजन

6 द्वारा विभाजन मूल संख्या की जाँच करके निर्धारित की जाती है कि क्या यह Aक सम संख्या (2 से विभाज्य) और 3 से विभाज्य है या नहीं। यह प्रयोग करने के लिA सर्वोत्तम परीक्षण है।

यदि संख्या छह से विभाज्य है, तो मूल संख्या (246) लें और इसे दो से विभाजित करें (246 2 = 123)। फिर, वह परिणाम लें और उसे तीन (123 3 = 41) से भाग दें। यह परिणाम मूल संख्या के छह (246 6 = 41) से विभाजित होने के समान है।

उदाहरण

सामान्य नियम

1. 324 (मूल संख्या)
2. 324 = 3 = 108 (यह देखने के लिA जांचें कि क्या मूल संख्या 3 से विभाज्य है)
3. 324 = 2 = 162 या 108 2 = 54 (यह देखने के लिA जांचें कि क्या मूल संख्या या पिछले समीकरण का परिणाम 2 से विभाज्य है)
4. 324 = 6 = 54 (यदि अंतिम चरण में कोई भी परीक्षण सत्य है, तो मूल संख्या 6 से विभाज्य है। साथ ही, दूसरे परीक्षण का परिणाम वही परिणाम देता है जो मूल संख्या 6 से विभाजित होता है)

6 से भाग देने पर किC संख्या का शेषफल ज्ञात करना

(1, −2, −2, −2, −2, और −2 शेष के लिA जारी है) कोई अवधि नहीं। −− न्यूनतम परिमाण अनुक्रम (1, 4, 4, 4, 4, और 4 शेष के लिA जारी है) −− सकारात्मक क्रम क्रम में सर्वाधिक बाAं अंक से सर्वाधिक दाAं अंक को गुणा करें और क्रम में दूसरे सर्वाधिक बाAं अंक से दूसरे सर्वाधिक दाAं अंक को गुणा करें और इC तरह आगे भी। इसके बाद, सभी मानों के योग की गणना करें और शेष को 6 से भाग दें।

उदाहरण: 1036125837 को 6 से विभाजित करने पर शेषफल क्या है?

सर्वाधिक दाहिने अंक का गुणन = 1 × 7 = 7

दूसरे सर्वाधिक दाहिने अंक का गुणन = 3 × −2 = −6

तीसरा सर्वाधिक दाहिने अंक = −16

चौथा सर्वाधिक दाहिने अंक = −10

पांचवां सर्वाधिक दाहिने अंक = −4

छठा सर्वाधिक दाहिने अंक = −2

सातवें सर्वाधिक दाहिने अंक = −12

आठवें सर्वाधिक दाहिने अंक = −6

नौवें सर्वाधिक दाहिने अंक = 0

दसवें सर्वाधिक दाहिने अंक = −2

योग = −51 −51 ≡ 3 (मॉड 6) शेष = 3

7 द्वारा विभाजन

7 से विभाज्यता का परीक्षण पुनरावर्ती विधि द्वारा किया जा सकता है। 10x + y के रूप की कोई संख्या 7 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि x − 2y 7 से विभाज्य है। दूसरे शब्दों में, शेष अंकों से बनी संख्या से अंतिम अंक का दोगुना घटाAं। ऐसा तब तक करते रहें जब तक कि कोई संख्या प्राप्त न हो जाA जिसके लिA यह ज्ञात हो कि क्या यह 7 से विभाज्य है। मूल संख्या 7 से विभाज्य है यदि और केवल यदि इस प्रक्रिया का उपयोग करके प्राप्त संख्या 7 से विभाज्य है। उदाहरण के लिA, संख्या 371: 37 − (2×1) = 37 − 2 = 35; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = −7; इस प्रकार, चूंकि −7, 7 से विभाज्य है, 371, 7 से विभाज्य है।

इC प्रकार 10x + y के रूप की Aक संख्या 7 से विभाज्य है यदि और केवल यदि x + 5y 7 से विभाज्य है। इसलिA शेष अंकों से बनी संख्या में अंतिम अंक का पांच गुना जोड़ें, और ऐसा तब तक करते रहें जब तक कि Aक संख्या प्राप्त न हो जाA, जिसके लिA यह ज्ञात हो कि क्या यह 7 से विभाज्य है।

Aक अन्य विधि 3 से गुणा है। 10x + y के रूप की किC संख्या में 7 से 3x + y से विभाजित करने पर वही शेषफल प्राप्त होता है। किC को मूल संख्या के सर्वाधिक बाAं अंक को 3 से गुणा करना होगा, अगला अंक जोड़ना होगा, शेष को 7 से विभाजित करने पर लेना होगा और शुरुआत से जारी रखना होगा: 3 से गुणा करना, अगला अंक जोड़ना, आदि। उदाहरण के लिA, संख्या 371: 3×3 + 7 = 16 शेष 2, और 2×3 + 1 = 7। इस विधि का उपयोग 7 से शेष भाग ज्ञात करने के लिA किया जा सकता है।

7 से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिA Aक अधिक जटिल कलन विधि (Aल्गोरिथ्म) इस तथ्य का उपयोग करता है कि 10⁰ ≡ 1, 10¹ ≡ 3, 10² ≡ 2, 10³ ≡ 6, 10⁴ ≡ 4, 10⁵ ≡ 5, 10⁶ ≡ 1, ...(मॉड 7)। संख्या के प्रत्येक अंक (371) को प्रतिलोम क्रम (173) में लें, उन्हें क्रमिक रूप से अंक 1, 3, 2, 6, 4, 5 से गुणा करें, जब तक आवश्यक हो, गुणकों के इस क्रम के साथ दोहराते रहें (1, 3, 2 , 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, ...), और गुणनफल को (1×1 + 7×3 + 3×2 = 1 + 21 + 6 = 28) जोड़ते रहें। मूल संख्या 7 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि इस प्रक्रिया का उपयोग करके प्राप्त संख्या 7 से विभाज्य है (इसलिA 371, 28 से 7 से विभाज्य है)।

गुणा करने की आवश्यकता को दूर करके इस विधि को सरल बनाया जा सकता है। इस सरलीकरण के साथ केवल उपरोक्त अनुक्रम (132645...) को याद रखना और जोड़ना और घटाना है, लेकिन हमेशा Aक अंकों की संख्या के साथ काम करना है।

सरलीकरण इस प्रकार है:

• उदाहरण के लिA संख्या 371 लें
• 7, 8 या 9 की सभी पुनरावृत्तियों को क्रमशः 0, 1 और 2 में बदलें। इस उदाहरण में, हम प्राप्त करते हैं: 301। यह दूसरा चरण छोड़ दिया जा सकता है, सर्वाधिक बाAं अंक को छोड़कर, लेकिन इसके बाद बाद में गणना की सुविधा हो सकती है।
• अब क्रमांक 13264513... में पहले अंक (3) को निम्नलिखित अंक में बदलें हमारे उदाहरण में, 3, 2 में बदले जाता है।
• परिणाम को पिछले चरण (2) में संख्या के दूसरे अंक में जोड़ें, और परिणाम को दोनों अंकों के लिA प्रतिस्थापित करें, शेष सभी अंकों को अपरिवर्तित छोड़ दें: 2 + 0 = 2। तो 301, 21 में बदले जाता है।
• प्रक्रिया को तब तक दोहराAं जब तक कि आपके पास 7 का Aक पहचानने योग्य गुणक न हो, या सुनिश्चित करने के लिA, 0 और 6 के बीच की कोई संख्या हो। इसलिA, 21 से शुरू (जो कि 7 का Aक पहचानने योग्य गुणक है), पहला अंक (2) लें और इसे उपरोक्त क्रम में निम्नलिखित में परिवर्तित करें: 2, 6 में बदले जाता है, फिर इसे दूसरे अंक में जोड़ें: 6 + 1 = 7।
• यदि किC भी बिंदु पर पहला अंक 8 या 9 है, तो ये क्रमशः 1 या 2 हो जाते हैं। लेकिन यदि यह 7 है तो यह 0 हो जाना चाहिA, केवल अगर कोई अन्य अंक का पालन न करें। अन्यथा, इसे बस छोड़ दिया जाना चाहिA। इसका कारण यह है कि 7, 0 में बदल गया होगा, और दशमलव बिंदु से पहले कम से कम दो अंकों वाली संख्याAं 0 से शुरू नहीं होती हैं, जो कि व्यर्थ है। इसके अनुसार हमारा 7, 0 में बदल जाता है।

यदि इस प्रक्रिया के माध्यम से आप Aक 0 या 7 का कोई भी पहचानने योग्य गुणक प्राप्त करते हैं, तो मूल संख्या 7 का गुणज है। यदि आप 1 से 6 तक कोई संख्या प्राप्त करते हैं, तो यह इंगित करेगा कि आपको 7 का गुणज प्राप्त करने के लिA मूल संख्या से कितना घटाना चाहिA। दूसरे शब्दों में, आप संख्या को 7 से विभाजित करने पर शेषफल पाAंगे। उदाहरण के लिA, संख्या 186 लें:

• सबसे पहले, 8 को 1:116 में बदलें।
• अब, अनुक्रम (3) में निम्नलिखित अंक में 1 को बदलें, इसे दूसरे अंक में जोड़ें, और दोनों के बजाय परिणाम 3 + 1 = 4 लिखें। तो 116 अब 46 में बदल जाता है।
• प्रक्रिया को दोहराAं, क्योंकि संख्या 7 से बड़ी है। अब, 4, 5 में बदल जाता है, जिसे 6 में जोड़ा जाना चाहिA। अर्थात 11।
• प्रक्रिया को Aक बार और दोहराAं: 1, 3 में बदल जाता है, जो दूसरे अंक (1): 3 + 1 = 4 में जुड़ जाता है।

अब हमारे पास 7 से छोटी Aक संख्या है और यह संख्या (4) 186/7 को विभाजित करने का शेषफल है। अत: 186 − 4, जो कि 182 है, 7 का गुणज होना चाहिA।

नोट: इसका कारण यह है कि यदि हमारे पास: a+b=c और b किC भी दी गई संख्या n का गुणज है, तो a और c अनिवार्य रूप से n से विभाजित करने पर समान शेष उत्पन्न करेंगे। दूसरे शब्दों में, 2 + 7 = 9 में, 7, 7 से विभाज्य है। अतः 2 और 9 का शेष समान होना चाहिA, जब 7 से विभाजित किया जाता है। शेष 2 हो।

इसलिA, यदि कोई संख्या n, 7 का गुणज है (अर्थात: n/7 का शेषफल 0 है), तो 7 के गुणजों को जोड़ने (या घटाने) से वह गुण नहीं बदल सकता।

यह प्रक्रिया क्या करती है, जैसा कि अधिकांश विभाज्यता नियमों के लिA ऊपर बताया गया है, बस मूल संख्या से 7 के छोटे−छोटे गुणकों को घटाना है, जब तक कि Aक ऐC संख्या तक न पहुंच जाA जो हमारे लिA यह याद रखने के लिA पर्याप्त हो कि क्या यह 7 का गुणज है। यदि 1 निम्नलिखित दशमलव स्थिति में 3 बन जाता है, तो यह 10×10ⁿ को 3×10ⁿ में परिवर्तित करने जैसा ही है। और यह वास्तव में 10×10ⁿ से 7×10ⁿ (स्पष्ट रूप से 7 का गुणज) घटाने के समान है।

• 20 × 10ⁿ − 6×10ⁿ=14×10ⁿ
• 60 × 10ⁿ − 4×10ⁿ=56×10ⁿ
• 40 × 10ⁿ − 5×10ⁿ=35×10ⁿ
• 50 × 10ⁿ − 1×10ⁿ=49×10ⁿ

पहली विधि उदाहरण

1050 → 105 − 0 = 105 → 10 − 10 = 0। उत्तर: 1050, 7 से विभाज्य है।

दूसरी विधि उदाहरण

1050 → 0501 (विपरीत) → 0×1 + 5×3 + 0×2 + 1×6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (गुणा करें और जोड़ें)। उत्तर: 1050 7 से विभाज्य है।

आश्लिष्टता द्वारा विभाजन की वैदिक विधि

सात से विभाज्यता का परीक्षण Aकधिका द्वारा गुणा करके किया जा सकता है। भाजक सात को सात से गुणा करके नौ परिवार में परिवर्तित करें। 7×7=49. Aक जोड़ें, इकाइयों के अंक को छोड़ दें और, 5, Aक्हादिका को गुणक के रूप में लें। दाईं ओर से शुरू करें। 5 से गुणा करें, उत्पाद को बाईं ओर के अगले अंक में जोड़ें। उस परिणाम को उस अंक के नीचे Aक पंक्ति पर सेट करें। इकाई के अंक को पांच से गुणा करने और उस गुणनफल को दहाई की संख्या में जोड़ने की उस विधि को दोहराAं। परिणाम को अगले अंक में बाईं ओर जोड़ें। उस परिणाम को अंक के नीचे लिखिA। अंत तक जारी रखें। यदि परिणाम शून्य है या सात का गुणज है, तो हाँ, वह संख्या सात से विभाज्य है। अन्यथा ऐसा नहीं है। यह वैदिक आदर्श, Aक−पंक्ति अंकन का अनुसरण करता है।

वैदिक विधि उदाहरण:

क्या 438,722,025 सात से विभाज्य है? गुणक = 5।
 4 3 8 7 2 2 2 0 2 5
42 37 46 37 6 40 37 27
हां

7 से विभाज्यता की पोहलमैन−द्रव्यमान विधि

पोहलमैन−मास विधि Aक शीघ्र हल प्रदान करती है जो यह निर्धारित कर सकती है कि अधिकांश पूर्णांक तीन चरणों में सात या उससे कम हैं। यह विधि गणित प्रतियोगिता जैसे MATHCOUNTS में उपयोगी हो सकती है, जहां स्प्रिंट राउंड में परिगणक (कैलकुलेटर) के बिना हल निर्धारित करने के लिA समय Aक कारक है।

चरण A: यदि पूर्णांक 1000 या उससे कम है, तो शेष अंकों से बनी संख्या से अंतिम अंक का दोगुना घटाAं। यदि परिणाम सात का गुणज है, तो मूल संख्या भी है (और इसके विपरीत)। उदाहरण के लिA:

112 −> 11 −(2 × 2) = 11 −4 = 7 हां
98 −> 9 −(8 × 2) = 9 −16 = −−7 हां
634 −> 63 −(4 × 2) = 63 −8 = 55 नहीं

क्योंकि 1001 सात से विभाज्य है, 1, 2, या 3 अंकों के दोहराA जाने वाले सेटों के लिA Aक रोचक पैटर्न विकसित होता है जो 6−अंकीय संख्याAँ (अग्रणी शून्य की अनुमति है) बनाते हैं, जिसमें ऐC सभी संख्याAँ सात से विभाज्य होती हैं। उदाहरण के लिA:

001 001 = 1,001 / 7 = 143
010 010 = 10,010 / 7 = 1,430
011 011 = 11,011 / 7 = 1,573
100 100 = 100,100 / 7 = 14,300
101 101 = 101,101 / 7 = 14,443
110 110 = 110,110 / 7 = 15,730

01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,443
10 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430

111,111 / 7 = 15,873
222,222 / 7 = 31,746
999,999 / 7 = 142,857

576,576 / 7 = 82,368

उपरोक्त सभी उदाहरणों के लिA, अंतिम तीन में से पहले तीन अंकों को घटाकर सात के गुणज में परिणाम प्राप्त करें। ध्यान दें कि अग्रणी शून्यों को 6 अंकों का पैटर्न बनाने की अनुमति है

यह घटना B और C के चरणों के लिA आधार बनाती है।

चरण B: यदि पूर्णांक 1001 और Aक मिलियन के बीच है, तो 1, 2, या 3 अंकों का Aक पुनरावृत्ति पैटर्न खोजें जो पूर्णांक के करीब Aक 6−अंकीय संख्या बनाता है (अग्रणी शून्य की अनुमति है और आपको पैटर्न की कल्पना करने में मदद कर सकता है) ) यदि धनात्मक अंतर 1000 से कम है, तो चरण A लागू करें। यह अंतिम तीन अंकों में से पहले तीन अंक घटाकर किया जा सकता है। उदाहरण के लिA

341,355 −341,341 = 14 −> 1 −(4 × 2) = 1 −8 = −−7 हां
 67,326 −067,067 = 259 −> 25 −(9 × 2) = 25 −18 = 7 हां

तथ्य यह है कि 999,999 7 का गुणज है, जिसका उपयोग Aक मिलियन से बड़े पूर्णांकों की विभाज्यता को निर्धारित करने के लिA किया जा सकता है, पूर्णांक को 6−अंकीय संख्या तक कम करके जिसे चरण B का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। यह आसानी से शेष अंकों को जोड़कर किया जा सकता है पहले छह से अंतिम छह तक और चरण A के साथ अनुसरण करें

चरण C: यदि पूर्णांक Aक मिलियन से बड़ा है, तो 999,999 के निकटतम गुणज को घटाAँ और फिर चरण B लागू करें। इससे भी बड़ी संख्याओं के लिA, 12−अंकों (999,999,999,999) जैसे बड़े सेटों का उपयोग करें और इC तरह। फिर, पूर्णांक को छोटी संख्या में तोड़ें जिसे चरण B का उपयोग करके हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिA:

22,862,420 −(999,999 × 22) = 22,862,420 −21,999,978 −> 862,420 + 22 = 862,442
   862,442 −> 862 −442 (चरण बी) = 420 −> 42 −(0 × 2) (चरण A) = 42 हां

यह सात से विभाज्यता निर्धारित करने के लिA तीन अंकों के Aकांतर सेट को जोड़ने और घटाने की अनुमति देता है। इन पैटर्नों को समझने से आप सात की विभाज्यता की शीघ्र गणना कर सकते हैं जैसा कि निम्नलिखित उदाहरणों में देखा गया है:

7 से विभाज्यता की पोहलमैन−द्रव्यमान विधि, उदाहरण:

क्या 98 सात से विभाज्य है?
98 −> 9 −(8 × 2) = 9 −16 = (7 हां (चरण A)

क्या 634 सात से विभाज्य है?
634 −> 63 −(4 × 2) = 63 −8 = 55 नहीं (चरण A)

355,341 सात से विभाज्य है?
355,341 −341,341 = 14,000 (चरण B) −> 014 −000 (चरण B) −> 14 = 1 −(4 × 2) (चरण A) = 1 −8 = −−7 हां

क्या 42,341,530 सात से विभाज्य है?
42,341,530 −> 341,530 + 42 = 341,572 (चरण C)
341,572 − 341,341 = 231 (चरण बी)
231 −> 23 −(1 × 2) = 23 −2 = 21 हां (चरण A)

शीघ्र वैकल्पिक जोड़ और घटाव का उपयोग करना:
 42,341,530 −> 530 −341 + 42 = 189 + 42 = 231 −> 23 −(1 × 2) = 21 हां

7 द्वारा विभाजन की 3 द्वारा गुणा विधि, उदाहरण:

क्या 98 सात से विभाज्य है?
98 −> 9 शेष 2 −> 2 × 3 + 8 = 14 हाँ

क्या 634 सात से विभाज्य है?
634 −> 6 × 3 + 3 = 21 −> शेष 0 −> 0 × 3 + 4 = 4 नहीं

क्या 355,341 सात से विभाज्य है?
3 * 3 + 5 = 14 −> शेष 0 −> 0 × 3 + 5 = 5 −> 5 × 3 + 3 = 18 −> शेष 4 −> 4 × 3 + 4 = 16 −> शेष 2 −> 2 × 3 + 1 = 7 हाँ

1036125837 के शेषफल को 7 से विभाजित करने पर ज्ञात कीजिए
1 × 3 + 0 = 3
3 × 3 + 3 = 12 शेष 5
5 × 3 + 6 = 21 शेष 0
0 × 3 + 1 = 1
1 × 3 + 2 = 5
5 × 3 + 5 = 20 शेष 6
6 × 3 + 8 = 26 शेष 5
5 × 3 + 3 = 18 शेष 4
4 × 3 + 7 = 19 शेष 5
उत्तर 5 है

7 से भाग देने पर किसी संख्या का शेषफल ज्ञात करना

7 − (1, 3, 2, −1, −3, −2, चक्र अगले छह अंकों के लिए पुनरावृत्ति है) अवधि: 6 अंक। आवर्ती संख्याएं: 1, 3, 2, −1, −3, −2
न्यूनतम परिमाण अनुक्रम
(1, 3, 2, 6, 4, 5, अगले छह अंकों के लिए चक्र पुनरावृत्ति है) अवधि: 6 अंक। आवर्ती संख्या: 1, 3, 2, 6, 4, 5
धनात्मक अनुक्रम

क्रम में सबसे बाएं अंक से दाएं सबसे अंक को गुणा करें और अनुक्रम में दूसरे बाएं सबसे अंक से दूसरे दाएं सबसे अंक को गुणा करें और इसी तरह और इसी तरह के लिए। इसके बाद, सभी मानों के योग की गणना कीजिए और 7 का मापांक लीजिए।
उदाहरण: 1036125837 को 7 से विभाजित करने पर शेषफल क्या है?

सबसे दाहिने अंक का गुणन = 1 × 7 = 7

दूसरे सबसे दाहिने अंक का गुणन = 3 × 3 = 9

तीसरा सबसे दाहिना अंक = 8 × 2 = 16

चौथा सबसे दाहिना अंक = 5 × −1 = −5

पांचवां सबसे दाहिना अंक = 2 × −3 = −6

छठा सबसे दाहिना अंक = 1 × −2 = −2

सातवां सबसे दाहिना अंक = 6 × 1 = 6

आठवां सबसे दाहिना अंक = 3 × 3 = 9

नौवां सबसे दाहिना अंक = 0

दसवां सबसे दाहिना अंक = 1 × −1 = −1

योग = 33

33 मापांक 7 = 5

शेष = 5

7 से विभाज्यता की अंक जोड़ी विधि

इस विधि में अंकों के जोड़े पर 1, −3, 2 पैटर्न का उपयोग किया जाता है। अर्थात्, किसी भी संख्या की सात से विभाज्यता का परीक्षण पहले संख्या को अंकों के जोड़े में विभाजित करके और फिर तीन अंकों के जोड़े (छह अंक) पर एल्गोरिथ्म को लागू करके किया जा सकता है। जब संख्या छह अंकों से छोटी हो, तब शून्य को दाईं ओर तब तक भरें जब तक कि छह अंक न हो जाएं। जब संख्या छह अंकों से बड़ी हो, तो चक्र को अगले छह अंकों के समूह पर दोहराएं और फिर परिणाम जोड़ें। जब तक परिणाम एक छोटी संख्या न हो तब तक एल्गोरिथ्म को दोहराएं। मूल संख्या सात से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि इस एल्गोरिथम का उपयोग करके प्राप्त संख्या सात से विभाज्य है। यह विधि बड़ी संख्या के लिए विशेष रूप से उपयुक्त है।

उदाहरण 1:
परीक्षण की जाने वाली संख्या 157514 है। पहले हम संख्या को तीन अंकों के जोड़े में विभाजित करते हैं: 15, 75 और 14।
फिर हम एल्गोरिथम लगाते है: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182
चूंकि परिणामी 182 छह अंकों से कम है, इसलिए हम शून्य को दाईं ओर तब तक जोड़ते हैं जब तक कि यह छह अंक न हो जाए।
फिर हम अपना एल्गोरिथम फिर से लगाते है: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = −42
परिणाम −42 सात से विभाज्य है, इस प्रकार मूल संख्या 157514 सात से विभाज्य है।

उदाहरण 2:
परीक्षण की जाने वाली संख्या 15751537186 ​​है।
(1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = −180 + 103 = −77
परिणाम −77 सात से विभाज्य है, इस प्रकार मूल संख्या 15751537186 सात से विभाज्य है।

विधि

यह एक गैर−पुनरावर्ती विधि है जिसे 7 से विभाजित करने पर किसी संख्या से शेषफल प्राप्त करने के लिए:

1. इकाई के स्थान से शुरू करके अंकों के जोड़े में संख्या को अलग करें। यदि आवश्यक हो तो अंतिम जोड़ी को पूरा करने के लिए संख्या को 0 के साथ जोड़ें।
2. प्रत्येक अंक जोड़ी द्वारा 7 से विभाजित करने पर शेषफलों की गणना करें।
3. अनुक्रम 1, 2, 4, 1, 2, 4, ... से शेष को उपयुक्त गुणक से गुणा करें: इकाई स्थान और दहाई के स्थान वाले अंकों के युग्म में से शेष को 1, सैकड़ों और हजारों को 2 से गुणा किया जाना चाहिए, दस हज़ार और सौ हज़ार गुणा 4, मिलियन और दस लाख फिर 1 से और इसी तरह।
4. प्रत्येक उत्पाद द्वारा 7 से भाग देने पर शेषफल की गणना करें।
5. इन शेषफलों को जोड़ें।
6. योग का शेष जब 7 से विभाजित किया जाता है, तो दी गई संख्या का शेषफल 7 से विभाजित होने पर प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए:

संख्या 194,536 7 से विभाजित करने पर 6 शेष छोड़ती है।

संख्या 510,517,813 7 से भाग देने पर 1 शेष बचता है।

विधि की शुद्धता का प्रमाण

यह विधि इस प्रेक्षण पर आधारित है कि 7 से विभाजित करने पर 100 के बाद 2 शेष बचता है और चूंकि हम संख्या को अंकों के जोड़े में तोड़ रहे हैं, इसलिए हमारे पास अनिवार्य रूप से 100 की घात है।

1 मॉड 7 = 1

100 मॉड 7 = 2

10,000 मॉड 7 = 2^2 = 4

1,000,000 मॉड 7 = 2^3 = 8;8 मॉड 7 = 1

10,0000,000 मॉड 7 = 2^4 = 16;16 मॉड 7 = 2

1,000,0000,000 मॉड 7 = 2^5 = 32;32 मॉड 7 = 4

और इसी तरह आगे भी।

विधि की शुद्धता को निम्नलिखित समानता श्रृंखला द्वारा स्थापित किया जाता है:

माना N दी गई संख्या है ${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}$।

${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}\mod 7$

=$[\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1})\times 10^{2k-2}]{\bmod {7}}$

= $\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}\times 10^{2k-2}){\bmod {7}}$

= $\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}{\bmod {7}})\times (10^{2k-2}{\bmod {7}})$

13 द्वारा विभाजन

शेष परीक्षण 13 (1, −3, −4, −1, 3, 4, चक्र चलता रहता है।) यदि आप ऋणात्मक संख्याओं के साथ सहज नहीं हैं, तो इस क्रम का उपयोग करें। (1, 10, 9, 12, 3, 4)

ऊपर दिखाए गए क्रम में सबसे बायीं सबसे बड़ी संख्या के साथ संख्या के दायें सबसे अंक को गुणा करें और दूसरे दायें सबसे अंक को क्रम में संख्या के दूसरे बायें सबसे अंक से गुणा करें। चक्र चलता रहता है।

उदाहरण: 321 को 13 से भाग देने पर शेषफल क्या है?
पहले अनुक्रम का उपयोग से,
उत्तर: 1 × 1 + 2 × −3 + 3 × −4 = −1
शेषफल = −17 मॉड 13 = 9

उदाहरण: 1234567 को 13 से भाग देने पर शेषफल क्या है?
दूसरे अनुक्रम का उपयोग से,
उत्तर: 7 × 1 + 6 × 10 + 5 × 9 + 4 × 12 + 3 × 3 + 2 × 4 + 1 × 1 = 178 मॉड 13 = 9
शेषफल = 9

30 के बाद

भाजक के प्रकार के आधार पर संख्याओं की विभाज्यता गुण दो प्रकार से निर्धारित किए जा सकते हैं।

समग्र भाजक

एक संख्या किसी दिए गए भाजक से विभाज्य होती है यदि वह अपने प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम शक्ति से विभाज्य हो। उदाहरण के लिए, 36 से विभाज्यता निर्धारित करने के लिए, 4 से और 9 से विभाज्यता की जांच करें। ध्यान दें कि 3 और 12, या 2 और 18 की जाँच पर्याप्त नहीं होगी। अभाज्य कारकों की तालिका उपयोगी हो सकती है।

एक समग्र भाजक के पास एक ही प्रक्रिया का उपयोग करके एक नियम भी हो सकता है, जैसा कि नीचे दिए गए एक प्रमुख विभाजक के लिए है, इस चेतावनी के साथ कि इसमें शामिल जोड़तोड़ किसी भी कारक का परिचय नहीं दे सकता है जो कि विभाजक में मौजूद है। उदाहरण के लिए, कोई 14 के लिए एक नियम नहीं बना सकता है जिसमें समीकरण को 7 से गुणा करना शामिल है। यह अभाज्य विभाजकों के लिए कोई समस्या नहीं है क्योंकि उनके पास कोई छोटा गुणनखंड नहीं है।

अभाज्य भाजक

लक्ष्य 10 मोडुलो के व्युत्क्रम को विचाराधीन अभाज्य ज्ञात करना है (2 या 5 के लिए काम नहीं करता है) और उस अभाज्य द्वारा मूल संख्या की विभाज्यता बनाने के लिए गुणक के रूप में इसका उपयोग नए की विभाज्यता पर निर्भर करता है (आमतौर पर छोटा) ) एक ही अभाज्य संख्या द्वारा। उदाहरण के तौर पर 31 का प्रयोग करते हुए, चूंकि 10 × (−3) = −30 = 1 मॉड 31, हमें ऊपर दी गई तालिका में y - 3x का उपयोग करने का नियम प्राप्त होता है। इसी तरह, चूंकि 10 × (28) = 280 = 1 मॉड 31 भी, हम उसी तरह का एक पूरक नियम y + 28x प्राप्त करते हैं - जोड़ या घटाव की हमारी पसंद छोटे मूल्य की अंकगणितीय सुविधा द्वारा निर्धारित की जाती है। वास्तव में, 2 और 5 के अलावा अभाज्य भाजक के लिए यह नियम वास्तव में किसी भी पूर्णांक से विभाज्यता के लिए एक नियम है जो अपेक्षाकृत अभाज्य है 10 (33 और 39 सहित, नीचे दी गई तालिका देखें)। यही कारण है कि किसी भी संख्या के लिए ऊपर और नीचे की तालिका में अंतिम विभाज्यता की स्थिति अपेक्षाकृत अभाज्य 10 के लिए एक ही तरह का रूप है (बाकी संख्या से अंतिम अंक के कुछ गुणकों को जोड़ें या घटाएं)।

उल्लेखनीय उदाहरण

निम्नलिखित तालिका कुछ अन्य उल्लेखनीय भाजक के लिए नियम प्रदान करती है:

भाजक	विभाज्यता की स्थिति	उदाहरण
31	अंतिम अंक को शेष से तीन गुना घटाएं।	837: 83 − 3×7 = 62
32	अंतिम पांच अंकों से बनी संख्या 32 से विभाज्य है।	25,135,520: 35,520=1110×32
	यदि दस हजार का अंक सम है, तो अंतिम चार अंकों से बनी संख्या की जाँच करें।	41,312: 1312.
	यदि दस हजार का अंक विषम है, तो अंतिम चार अंक जमा 16 से बनी संख्या की जांच करें।	254,176: 4176+16 = 4192.
	अंतिम दो अंकों को बाकी के 4 गुना में जोड़ें।	1312: (13×4) + 12 = 64.
33	शेष में अंतिम अंक का 10 गुना जोड़ें।	627: 62 + 10×7 = 132, 13 + 10×2 = 33.
	दाएं से बाएं दो के ब्लॉक में अंकों को जोड़ें।	2145: 21 + 45 = 66.
	यह 3 और 11 से विभाज्य है।	627: 6−2+7 = 11 and 6 + 2 + 7 = 15 = 3 × 5
35	यह 7 और 5 से विभाज्य है।	595: 59 - (2×5) = 49 = 7×7। और संख्या 5 में समाप्त होती है।
37	अंकों को दाएं से बाएं तीन के ब्लॉक में लें और प्रत्येक ब्लॉक को जोड़ें।	2,651,272: 2 + 651 + 272 = 925. 925 = 37×25.
	शेष से अंतिम अंक का 11 गुना घटाएं।	925: 92 − (5×11) = 37.
39	यह 3 और 13 से विभाज्य है।	351: 35 − 1 = 34 और 3 + 5 + 4 = 12 = 3 × 4
	शेष में अंतिम अंक का 4 गुना जोड़ें।	351: 35 + (1 × 4) = 39
41	दाएं से बाएं पांच के ब्लॉक में अंकों का योग करें।	72,841,536,727: 7 + 28,415 + 36,727 = 65,149 = 41×1,589.
	शेष से अंतिम अंक का 4 गुना घटाएं।	738: 73 − 8 × 4 = 41.
43	शेष में अंतिम अंक का 13 गुना जोड़ें।	36,249: 3624 + 9 × 13 = 3741, 374 + 1 × 13 = 387, 38 + 7 × 13 = 129, 12 + 9 × 13 = 129 = 43 × 3.
	शेष से अंतिम दो अंकों का 3 गुना घटाएं।	36,249: 362 − 49 × 3 = 215 = 43 × 5.
45	यह 9 और 5 से विभाज्य है।	2025: 5 और 2+0+2+5=9 में समाप्त।
47	शेष से अंतिम अंक का 14 गुना घटाएं।	1,642,979: 164297 − 9 × 14 = 164171, 16417 − 14 = 16403, 1640 − 3 × 14 = 1598, 159 − 8 × 14 = 47.
	अंतिम दो अंकों को शेष के 6 गुना में जोड़ें।	705: 7 × 6 + 5 = 47.
49	अंतिम अंक का 5 गुना शेष में जोड़ें।	1,127: 112+(7×5)=147. 147: 14 + (7×5) = 49
	अंतिम दो अंकों को शेष के 2 गुना में जोड़ें।	588: 5 × 2 + 88 = 98.
50	अंतिम दो अंक 00 या 50 हैं।	134,250: 50.
51	संख्या 3 और 17 से विभाज्य होनी चाहिए।	459: 4 × 2 − 59 = −51, और 4 + 5 + 9 = 18 = 3 × 6
	शेष से अंतिम अंक का 5 गुना घटाएं।	204: 20−(4×5)=0
	अंतिम दो अंकों को शेष के 2 गुणा से घटाएं।	459: 4 × 2 − 59 = −51.
53	शेष में अंतिम अंक का 16 गुना जोड़ें।	3657: 365+(7×16)=477 = 9 × 53
	अंतिम दो अंकों को बाकी के 6 गुना से घटाएं।	5777: 57 × 6 − 77 = 265.
55	संख्या 0 या 5 पर समाप्त होने वाले 11 से विभाज्य होनी चाहिए।	605: 5 में समाप्त होता है और 60−5= 55 = 11×5।
57	संख्या 3 और 19 से विभाज्य होनी चाहिए।	3591: 359 + 1 × 2 = 361 = 19 × 19, और 3 + 5 + 9 + 1 = 15 = 3 × 5
	शेष से अंतिम अंक का 17 गुना घटाएं।	3591: 359 − 17 = 342, 34 − 2 × 17 = 0.
59	अंतिम अंक का 6 गुना शेष में जोड़ें।	295: 29 + 5×6= 59
61	शेष से अंतिम अंक का 6 गुना घटाएं।	732: 73−(2×6)=61
64	अंतिम छह अंकों से बनी संख्या 64 से विभाज्य होनी चाहिए।	2,640,000: 640,000 64 से विभाज्य है।
65	संख्या 0 या 5 पर समाप्त होने वाले 13 से विभाज्य होनी चाहिए।	3,185: 318 + (5×4) = 338 = 13×26। और संख्या 5 में समाप्त होती है।
67	अंतिम दो अंकों को शेष से दो बार घटाएं।	9112: 91 − 12×2= 67
	शेष से अंतिम अंक का 20 गुना घटाएं।	4489: 448−9×20=448−180=268.
69	संख्या 3 और 23 से विभाज्य होनी चाहिए।	345: 3 + 4 + 5 = 12 = 3 × 4, और 34 + 5 × 9 = 69 = 3 × 23
	अंतिम अंक का 7 गुना शेष में जोड़ें।	345: 34 + 5×7 = 69
71	शेष से अंतिम अंक का 7 गुना घटाएं।	852: 85−(2×7)=71
73	दाएं से बाएं चार के ब्लॉकों का वैकल्पिक योग बनाएं।	220,241: 241 − 22 = 219.
	शेष से अंतिम अंक का 22 गुना जोड़ें।	5329: 532 + 22 × 9 = 730, 7 + 22 × 3 = 73.
75	अंतिम दो अंक 00, 25, 50 या 75 हैं, और सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए।	3675: 75 अंत में है और 3 + 6 + 7 + 5 = 21 = 3×7।
77	संख्या 7 और 11 से विभाज्य है।	693: 69 − 3 = 66 = 11 × 6, और 69 − (6 × 2) = 63 = 7 × 9
	दाएं से बाएं तीन के ब्लॉकों का वैकल्पिक योग बनाएं।	76,923: 923 − 76 = 847.
79	शेष में अंतिम अंक का 8 गुना जोड़ें।	711: 71 + 1×8= 79
81	शेष से अंतिम अंक का 8 गुना घटाएं।	162: 16−(2×8)=0
83	शेष में अंतिम अंक का 25 गुना जोड़ें।	581: 58+(1×25)=83
	अंतिम तीन अंकों को बाकी के चार गुना में जोड़ें।	38,014: (4×38) + 14 = 166
85	संख्या 0 या 5 पर समाप्त होने वाले 17 से विभाज्य होनी चाहिए।	30,855: 3085 - 25 = 3060 = 17×180। और संख्या 5 में समाप्त होती है।
87	संख्या 29 से विभाज्य होनी चाहिए और उसके सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए।	2088: 208 + (8 × 3) = 232. 232 = 8 × 29 2 + 0 + 8 + 8 = 18 = 3 × 6
	शेष से अंतिम अंक का 26 गुना घटाएं।	15138: 1513 − 8 × 26 = 1305, 130 − 5 × 26 = 0.
89	शेष में अंतिम अंक का 9 गुना जोड़ें।	801: 80 + 1×9 = 89
	अंतिम दो अंकों को शेष के ग्यारह गुना में जोड़ें।	712: 12 + (7×11) = 89
91	शेष से अंतिम अंक का 9 गुना घटाएं।	182: 18 − (2×9) = 0
	दाएं से बाएं तीन के ब्लॉकों का वैकल्पिक योग बनाएं।	5,274,997: 5 − 274 + 997 = 728
	संख्या 7 और 13 से विभाज्य है।	8281: 828+4 = 832. 83+8=91 828−2=826. 82−12=70.
95	संख्या 19 से 0 या 5 पर समाप्त होने वाली संख्या से विभाज्य होनी चाहिए।	51,585: 5158 + 10 = 5168, 516 + 16 = 532, 53 + 4 = 57 = 19×3। और संख्या 5 में समाप्त होती है।
97	शेष से अंतिम अंक का 29 गुना घटाएं।	291: 29 − (1×29) = 0
	अंतिम दो अंकों को बाकी के 3 गुना में जोड़ें।	485: (3×4)+ 85 = 97
99	संख्या 9 और 11 से विभाज्य है।	891: 89 − 1 = 88. 8 + 9 + 1 = 18.
	दाएं से बाएं दो के ब्लॉक में अंकों को जोड़ें।	144,837: 14 + 48 + 37 = 99.
100	कम से कम दो शून्य के साथ समाप्त होता है।	14100: इसके अंत में दो शून्य होते हैं।
101	दाएं से बाएं दो के ब्लॉकों का वैकल्पिक योग बनाएं।	40,299: 4 − 2 + 99 = 101.
103	शेष में अंतिम अंक का 31 गुना जोड़ें।	585658: 58565 + (8×31) = 58813. 58813 : 103 = 571
	अंतिम दो अंकों को बाकी के 3 गुना से घटाएं।	5356: (53×3) − 56 = 103
107	शेष से अंतिम अंक का 32 गुना घटाएं।	428: 42 − (8×32) = −214
	अंतिम दो अंकों को शेष के 7 गुना से घटाएं।	1712: 17 × 7 − 12 = 107
109	शेष में अंतिम अंक का 11 गुना जोड़ें।	654: 65 + (11×4) = 109
111	दाएं से बाएं तीन के ब्लॉक में अंकों को जोड़ें।	1,370,184: 1 + 370 + 184 = 555
113	शेष से अंतिम अंक का 34 गुना जोड़ें।	3842: 384 + 34 × 2 = 452, 45 + 34 × 2 = 113.
121	शेष से अंतिम अंक का 12 गुना घटाएं।	847: 84 − 12 × 7 = 0
125	अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 125 से विभाज्य होनी चाहिए।	2,125: 125, 125 से विभाज्य है।
127	शेष से अंतिम अंक का 38 गुना घटाएं।	4953: 495 − 38 × 3 = 381, 38 − 38 × 1 = 0.
128	अंतिम सात अंकों से बनी संख्या 128 से विभाज्य होनी चाहिए।
131	शेष से अंतिम अंक का 13 गुना घटाएं।	1834: 183 − 13 × 4 = 131, 13 − 13 = 0.
137	दाएं से बाएं चार के ब्लॉकों का वैकल्पिक योग बनाएं।	340,171: 171 − 34 = 137.
139	शेष से अंतिम अंक का 14 गुना जोड़ें।	1946: 194 + 14 × 6 = 278, 27 + 14 × 8 = 139.
143	दाएं से बाएं तीन के ब्लॉकों का वैकल्पिक योग बनाएं।	1,774,487: 1 − 774 + 487 = −286
	शेष में अंतिम अंक का 43 गुना जोड़ें।	6149: 614 + 43 × 9 = 1001, 100 + 43 = 143.
	संख्या 11 और 13 से विभाज्य होनी चाहिए।	2,431: 243 − 1 = 242. 242 = 11 × 22. 243 + 4 = 247. 247 = 13 × 19
149	शेष से अंतिम अंक का 15 गुना जोड़ें।	2235: 223 + 15 × 5 = 298, 29 + 15 × 8 = 149.
151	शेष से अंतिम अंक का 15 गुना घटाएं।	66,893: 6689 − 15 × 3 = 6644 = 151×44.
157	Subtract 47 times the last digit from the rest.	7536: 753 − 47 × 6 = 471, 47 − 47 = 0.
163	Add 49 times the last digit to the rest.	26,569: 2656 + 441 = 3097 = 163×19.
167	Subtract 5 times the last two digits from the rest.	53,774: 537 − 5 × 74 = 167.
173	Add 52 times the last digit to the rest.	8996: 899 + 52 × 6 = 1211, 121 + 52 = 173.
179	Add 18 times the last digit to the rest.	3222: 322 + 18 × 2 = 358, 35 + 18 × 8 = 179.
181	Subtract 18 times the last digit from the rest.	3258: 325 − 18 × 8 = 181, 18 − 18 = 0.
191	Subtract 19 times the last digit from the rest.	3629: 362 − 19 × 9 = 191, 19 − 19 = 0.
193	Add 58 times the last digit to the rest.	11194: 1119 + 58 × 4 = 1351, 135 + 58 = 193.
197	Subtract 59 times the last digit from the rest.	11820: 118 − 59 × 2 = 0.
199	Add 20 times the last digit to the rest.	3980: 39 + 20 × 8 = 199.
200	Last two digits of the number are "00", and the third last digit is an even number.	34,400: The third last digit is 4, and the last two digits are zeroes.
211	Subtract 21 times the last digit from the rest.	44521: 4452 − 21 × 1 = 4431, 443 − 21 × 1 = 422, 42 − 21 × 2 = 0.
223	Add 67 times the last digit to the rest.	49729: 4972 + 67 × 9 = 5575, 557 + 67 × 5 = 892, 89 + 67 × 2 = 223.
225	Number must be divisible by 9 ending in "00", "25", "50", or "75".	15,075: 75 is at the end and 1 + 5 + 0 + 7 + 5 = 18 = 2×9.
227	Subtract 68 times the last digit from the rest.	51756: 5175 − 68 × 6 = 4767, 476 − 68 × 7 = 0.
229	Add 23 times the last digit to the rest.	52441: 5244 + 23 × 1 = 5267, 526 + 23 × 7 = 687, 68 + 23 × 7 = 229.
233	Add 70 times the last digit to the rest.	54289: 5428 + 70 × 9 = 6058, 605 + 70 × 8 = 1165, 116 + 70 × 5 = 466, 46 + 70 × 6 = 466 = 233 × 2.
239	Take the digits in blocks of seven from right to left and add each block.	1,560,000,083: 156 + 83 = 239.
	Add 24 times the last digit to the rest.	57121: 5712 + 24 × 1 = 5736, 573 + 24 × 6 = 717, 71 + 24 × 7 = 239.
241	Subtract 24 times the last digit from the rest.	58081: 5808 − 24 × 1 = 5784, 578 − 24 × 4 = 482, 48 − 24 × 2 = 0.
250	The number formed by the last three digits must be divisible by 250.	1,327,750: 750 is divisible by 250.
251	Subtract 25 times the last digit from the rest.	63001: 6300 − 25 × 1 = 6275, 627 − 25 × 5 = 502, 50 − 25 × 2 = 0.
256	The number formed by the last eight digits must be divisible by 256.
257	Subtract 77 times the last digit from the rest.	66049: 6604 − 77 × 9 = 5911, 591 − 77 × 1 = 514 = 257 × 2.
263	Add 79 times the last digit to the rest.	69169: 6916 + 79 × 9 = 7627, 762 + 79 × 7 = 1315, 131 + 79 × 5 = 526, 52 + 79 × 6 = 526 = 263 × 2.
269	Add 27 times the last digit to the rest.	72361: 7236 + 27 × 1 = 7263, 726 + 27 × 3 = 807, 80 + 27 × 7 = 269.
271	Take the digits in blocks of five from right to left and add each block.	77,925,613,961: 7 + 79,256 + 13,961 = 93,224 = 271×344.
	Subtract 27 times the last digit from the rest.	73441: 7344 − 27 × 1 = 7317, 731 − 27 × 7 = 542, 54 − 27 × 2 = 0.
277	Subtract 83 times the last digit from the rest.	76729: 7672 − 83 × 9 = 6925, 692 − 83 × 5 = 277.
281	Subtract 28 times the last digit from the rest.	78961: 7896 − 28 × 1 = 7868, 786 − 28 × 8 = 562, 56 − 28 × 2 = 0.
283	Add 85 times the last digit to the rest.	80089: 8008 + 85 × 9 = 8773, 877 + 85 × 3 = 1132, 113 + 85 × 2 = 283.
293	Add 88 times the last digit to the rest.	85849: 8584 + 88 × 9 = 9376, 937 + 88 × 6 = 1465, 146 + 88 × 5 = 586, 58 + 88 × 6 = 586 = 293 × 2.
300	Last two digits of the number are "00", and the result of sum the digits must be divisible by 3.	3,300: The result of sum the digits is 6, and the last two digits are zeroes.
329	Add 33 times the last digit to the rest.	9541:954+1×33=954+33=987. 987=3×329.
331	Subtract 33 times the last digit from the rest.	22177: 2217−231=1986. 1986=6×331.
333	Add the digits in blocks of three from right to left.	410,922: 410 + 922 = 1,332
369	Take the digits in blocks of five from right to left and add each block.	50243409: 43409+502=43911. 43911=369×119.
	Add 37 times the last digit to the rest.	8487: 848+7×37=848+259=1107.
375	The number formed by the last three digits must be divisible by 125 and the sum of all digits is a multiple of 3.	140,625: 625 = 125×5 and 1 + 4 + 0 + 6 + 2 + 5 = 18 = 6×3.
499	Add the last three digits to two times the rest.	74,351: 74 × 2 + 351 = 499.
500	Ends with 000 or 500.	47,500 is divisible by 500.
512	The number formed by the last nine digits must be divisible by 512.
625	Ends in 0000, 0625, 1250, 1875, 2500, 3125, 3750, 4375, 5000, 5625, 6250, 6875, 7500, 8125, 8750 or 9375. Or, the number formed by the last four digits is divisible by 625.	567,886,875: 6875.
983	Add the last three digits to seventeen times the rest.	64878: 64×17+878=1966. 1966=2×983
987	Add the last three digits to thirteen times the rest.	30597: 30×13+597=987
	Number must be divisible by 329 with the sum of all digits being divisible by 3.	547785: 5+4+7+7+8+5=36. 36=3×12 54778+5×33=54943. 5494+3×33=5593. 559+3×33=658. 658=2×329.
989	Add the last three digits to eleven times the rest.	21758: 21 × 11 = 231; 758 + 231 = 989
	Number must be divisible by 23 and 43.	1978: 197+56=253. 253=11×23 197+104=301. 301=7×43.
993	Add the last three digits to seven times the rest.	986049: 49+6902=6951. 6951=7×993.
	Number must be divisible by 331 with the sum of all digits being divisible by 3.	8937: 8+7=15. 15=3×5. (Note: 9 and 3 don't have to be in the sum, they are divisible by 3.) 893−231=662. 662=2×331.
997	Add the last three digits to three times the rest.	157,526: 157 × 3 + 526= 997
999	Add the digits in blocks of three from right to left.	235,764: 235 + 764 = 999
1000	Ends with at least three zeros.	2000 ends with 3 zeros

सामान्यीकृत विभाजन नियम

डी द्वारा विभाजन के लिA परीक्षण करने के लिA, जहां डी 1, 3, 7, या 9 में समाप्त होता है, निम्न विधि का उपयोग किया जा सकता है।9 में डी समाप्त होने के किC भी बहु को खोजें। (यदि डी क्रमशः 1, 3, 7, या 9 में समाप्त होता है, तो 9, 3, 7, या 1 से गुणा करें) फिर 1 जोड़ें और 10 से विभाजित करें, परिणाम को Aम के रूप में दर्शाते हैं।तब Aक संख्या n = 10t + q d द्वारा विभाज्य है यदि और केवल यदि MQ + T D. द्वारा विभाज्य है। यदि संख्या बहुत बड़ी है,^e = 1 or 10^e= −1 (मॉड डी)।संख्याओं के योग (या वैकल्पिक योग) में मूल Aक के समान विभाजन होता है।

उदाहरण के लिA, यह निर्धारित करने के लिA कि क्या 913 = 10 × 91+3 11 से विभाज्य है, यह पता करें कि M = (11 × 9+1) = 10 = 10. तो MQ+T = 10 × 3+91 = 121;यह 11 से विभाज्य है (भागफल 11 के साथ), इसलिA 913 भी 11 द्वारा विभाज्य है। Aक अन्य उदाहरण के रूप में, यह निर्धारित करने के लिA कि क्या 689 = 10 × 68 + 9 53 से विभाज्य है, यह पाते हैं कि Aम = (53 × 3 + 1) ÷ ÷ ÷10 = 16. तब MQ + T = 16 × 9 + 68 = 212, जो 53 (भागफल 4 के साथ) द्वारा विभाज्य है;तो 689 भी 53 से विभाज्य है।

वैकल्पिक रूप से, कोई भी संख्या q = 10c + d n = 10a + b द्वारा विभाज्य है, जैसे कि GCD (n, 2, 5) = 1, यदि C + D (n) d = a के लिA कुछ पूर्णांक a, जहां: $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ अनुक्रम के पहले कुछ शब्द, D (n) द्वारा उत्पन्न 1, 1, 5, 1, 10, 4, 12, 2, ... (अनुक्रम A333448 OEIS में)।

डी (Aन) और इसके द्वारा उत्पन्न अनुक्रम का टुकड़ा बुद्धिमान रूप पहली बार मार्च 2020 में बल्गेरियाई गणितज्ञ इवान स्टोयकोव द्वारा प्रकाशित किया गया था।

प्रमाण

सबूत बुनियादी बीजगणित का उपयोग कर

कई सरल नियमों का उत्पादन केवल बीजगणितीय हेरफेर का उपयोग करके किया जा सकता है, द्विपद बनाकर और उन्हें फिर से व्यवस्थित किया जा सकता है।प्रत्येक अंक के योग के रूप में Aक संख्या लिखकर 10 प्रत्येक अंक की शक्ति को व्यक्तिगत रूप से हेरफेर किया जा सकता है।

मामला जहां सभी अंकों को अभिव्यक्त किया जाता है

यह विधि दिव्य के लिA काम करती है जो 10 & nbsp; − & nbsp; 1 = 9 के कारक हैं।

Aक उदाहरण के रूप में 3 का उपयोग करते हुA, 3 9 & nbsp; = & nbsp; 10 & nbsp; − & nbsp; 1 को विभाजित करता है।इसका मत $10\equiv 1{\pmod {3}}$ (मॉड्यूलर अंकगणित देखें)।10 की सभी उच्च शक्तियों के लिA समान: $10^{n}\equiv 1^{n}\equiv 1{\pmod {3}}$ वे सभी 1 मोडुलो के लिA बधाई हैं। 3। चूंकि दो चीजें जो कि बधाई देने वाले मोडुलो 3 हैं, या तो दोनों 3 से विभाज्य हैं या दोनों नहीं, हम उन मूल्यों को इंटरचेंज कर सकते हैं जो बधाई modulo 3 हैं। इसलिA, निम्नलिखित जैसे संख्या में, हम प्रतिस्थापित कर सकते हैं, हम प्रतिस्थापित कर सकते हैं।10 की सभी शक्तियां 1:

$100\cdot a+10\cdot b+1\cdot c\equiv (1)a+(1)b+(1)c{\pmod {3}}$

जो बिल्कुल अंकों का योग है।

मामला जहां अंकों के वैकल्पिक योग का उपयोग किया जाता है

यह विधि दिव्य के लिA काम करती है जो 10 + 1 = 11 के कारक हैं।

Aक उदाहरण के रूप में 11 का उपयोग करते हुA, 11 11 & nbsp; = & nbsp; 10 & nbsp;+& nbsp; 1 को विभाजित करता है।इसका मत $10\equiv -1{\pmod {11}}$।10 की उच्च शक्तियों के लिA, वे भी शक्तियों के लिA 1 के अनुरूप हैं और विषम शक्तियों के लिA −1 के अनुरूप हैं:

$10^{n}\equiv (-1)^{n}\equiv {\begin{cases}1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\-1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\end{cases}}{\pmod {11}}.$

पिछले मामले की तरह, हम 10 की शक्तियों को बधाई मूल्यों के साथ स्थानापन्न कर सकते हैं:

$1000\cdot a+100\cdot b+10\cdot c+1\cdot d\equiv (-1)a+(1)b+(-1)c+(1)d{\pmod {11}}$

जो विषम पदों पर अंकों के योग और यहां तक कि पदों पर अंकों के योग के बीच भी अंतर है।

मामला जहां केवल अंतिम अंक (Aस) मामला है

यह विभाजकों पर लागू होता है जो 10 की शक्ति का Aक कारक है। यह इसलिA है क्योंकि आधार की पर्याप्त उच्च शक्तियां विभाजक के गुणक हैं, और इसे समाप्त किया जा सकता है।

उदाहरण के लिA, आधार 10 में, 10 के कारक¹ include 2, 5, and 10. Therefore, divisibility by 2, 5, and 10 only depend on whether the last 1 digit is divisible by those divisors. The factors of 10²4 और 25 को शामिल करें, और उन लोगों द्वारा विभाजन केवल पिछले 2 अंकों पर निर्भर करते हैं।

मामला जहां केवल अंतिम अंक (ओं) को हटा दिया जाता है

अधिकांश संख्याAँ 9 या 10 को समान रूप से विभाजित नहीं करती हैं, लेकिन 10 की उच्च शक्ति को विभाजित करती हैंⁿ or 10ⁿ& nbsp; − & nbsp; 1।इस मामले में संख्या अभी भी 10 की शक्तियों में लिखी गई है, लेकिन पूरी तरह से विस्तारित नहीं है।

उदाहरण के लिA, 7 9 या 10 को विभाजित नहीं करता है, लेकिन 98 को विभाजित करता है, जो 100 के करीब है। इस प्रकार, आगे बढ़ें

$100\cdot a+b$

जहां इस मामले में कोई पूर्णांक है, और बी 0 से 99 तक हो सकता है।

$(98+2)\cdot a+b$

और फिर से विस्तार कर रहा है

$98\cdot a+2\cdot a+b,$

और 7 के ज्ञात कई को समाप्त करने के बाद, परिणाम है

$2\cdot a+b,$

जो नियम है कि सभी द्वारा गठित संख्या को दोगुना कर दिया जाA, लेकिन अंतिम दो अंकों को जोड़ें।

मामला जहां अंतिम अंक (ओं) को Aक कारक से गुणा किया जाता है

संख्या का प्रतिनिधित्व भी किC भी संख्या से अपेक्षाकृत प्राइम से गुणा किया जा सकता है, जो इसकी विभाजन को बदले बिना भाजक को अपेक्षाकृत प्राइम करता है।यह देखने के बाद कि 7 21 को विभाजित करता है, हम निम्नलिखित प्रदर्शन कर सकते हैं:

$10\cdot a+b,$

2 से गुणा करने के बाद, यह बन जाता है

$20\cdot a+2\cdot b,$

और फिर

$(21-1)\cdot a+2\cdot b.$

21 को समाप्त करना देता है

$-1\cdot a+2\cdot b,$

और −1 द्वारा गुणा करना देता है

$a-2\cdot b.$

या तो पिछले दो नियमों का उपयोग किया जा सकता है, जिसके आधार पर प्रदर्शन करना आसान है।वे नियम के अनुरूप हैं जो बाकी से अंतिम अंक से दोगुना घटाते हैं।

सबूत मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग करके

यह खंड मूल विधि का वर्णन करेगा;सभी नियमों को Aक ही प्रक्रिया के बाद प्राप्त किया जा सकता है।निम्नलिखित को मॉड्यूलर अंकगणित में Aक बुनियादी ग्राउंडिंग की आवश्यकता होती है;2 और 5 के अलावा अन्य विभाजन के लिA सबूत इस मूल तथ्य पर आराम करते हैं कि 10 मॉड Aम उल्टा है यदि 10 और Aम अपेक्षाकृत प्रमुख हैं।

'2 के लिAⁿ or 5ⁿ:

केवल अंतिम N अंकों की जाँच करने की आवश्यकता है।

$10^{n}=2^{n}\cdot 5^{n}\equiv 0{\pmod {2^{n}\mathrm {\ or\ } 5^{n}}}$

के रूप में x का प्रतिनिधित्व करते हैं $10^{n}\cdot y+z,$

$x=10^{n}\cdot y+z\equiv z{\pmod {2^{n}\mathrm {\ or\ } 5^{n}}}$

और x की विभाजन z के समान है।

'7 के लिA:'

चूंकि 10 × 5 & nbsp; 2 & nbsp;10 × (−2) & nbsp; 2 & nbsp; 1 & nbsp; (mod & nbsp; 7) हम निम्नलिखित कर सकते हैं:

के रूप में x का प्रतिनिधित्व करते हैं $10\cdot y+z,$

$-2x\equiv y-2z{\pmod {7}},$

तो x 7 से विभाज्य है यदि और केवल अगर y − 2z 7 से विभाज्य है।

यह भी देखें

• शून्य से विभाजन
• समता (गणित)

स्रोत

• Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Vol. 1. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3.
• Kisačanin, Branislav (1998). Mathematical problems and proofs: combinatorics, number theory, and geometry. Plenum Press. ISBN 978-0-306-45967-2.
• Richmond, Bettina; Richmond, Thomas (2009). A Discrete Transition to Advanced Mathematics. Pure and Applied Undergraduate Texts. Vol. 3. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4789-3.

बाहरी संबंध

• Divisibility Criteria at cut−the−knot
• Stupid Divisibility Tricks Divisibility rules for 2–100.

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