कार्यात्मक एकीकरण

Not to be confused with functional integration (neurobiology).

कार्यात्मक एकीकरण गणित और भौतिकी में परिणामों का एक संग्रह है जहां अभिन्न का डोमेन अब अंतरिक्ष का क्षेत्र नहीं है, बल्कि एक कार्य स्थान है। आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन में, और कणों और क्षेत्रों के क्वांटम यांत्रिकी के पथ अभिन्न सूत्रीकरण में, कार्यात्मक अभिन्नता संभाव्यता में उत्पन्न होती है।

एक साधारण इंटीग्रल (लेबेसेग एकीकरण के अर्थ में) में इंटीग्रेटेड (इंटीग्रैंड) और स्पेस का एक क्षेत्र होता है, जिस पर फंक्शन (इंटीग्रेशन का डोमेन) को इंटीग्रेट किया जाता है। एकीकरण की प्रक्रिया में एकीकरण के डोमेन के प्रत्येक बिंदु के लिए इंटीग्रैंड के मूल्यों को जोड़ना शामिल है। इस प्रक्रिया को कठोर बनाने के लिए एक सीमित प्रक्रिया की आवश्यकता होती है, जहाँ एकीकरण के क्षेत्र को छोटे और छोटे क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है। प्रत्येक छोटे क्षेत्र के लिए, समाकलन का मान अधिक भिन्न नहीं हो सकता है, इसलिए इसे एकल मान से बदला जा सकता है। एक कार्यात्मक अभिन्न में एकीकरण का डोमेन कार्यों का एक स्थान है। प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए, इंटीग्रैंड जोड़ने के लिए एक मान लौटाता है। इस प्रक्रिया को कठोर बनाने से ऐसी चुनौतियाँ सामने आती हैं जो वर्तमान शोध का विषय बनी रहती हैं।

1919 के एक लेख में पर्सी जॉन डेनियल द्वारा कार्यात्मक एकीकरण विकसित किया गया था और एक प्रकार कि गति पर 1921 के अपने लेखों की पराकाष्ठा के अध्ययन की एक श्रृंखला में नॉर्बर्ट वीनर। उन्होंने एक कण के यादृच्छिक पथ की संभावना निर्दिष्ट करने के लिए एक कठोर विधि (अब वीनर माप के रूप में जाना जाता है) विकसित की। रिचर्ड फेनमैन ने एक और कार्यात्मक अभिन्न, पथ अभिन्न सूत्रीकरण विकसित किया, जो सिस्टम के क्वांटम गुणों की गणना के लिए उपयोगी है। फेनमैन के पथ अभिन्न में, एक कण के लिए एक अद्वितीय प्रक्षेपवक्र की शास्त्रीय धारणा को शास्त्रीय पथों के अनंत योग द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, प्रत्येक को इसके शास्त्रीय गुणों के अनुसार अलग-अलग भारित किया जाता है।

सैद्धांतिक भौतिकी में परिमाणीकरण तकनीकों के लिए कार्यात्मक एकीकरण केंद्रीय है। कार्यात्मक इंटीग्रल के बीजगणितीय गुणों का उपयोग क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स और कण भौतिकी के मानक मॉडल में गुणों की गणना करने के लिए उपयोग की जाने वाली श्रृंखला को विकसित करने के लिए किया जाता है।

कार्यात्मक एकीकरण

जबकि मानक रीमैन इंटीग्रल x के मानों की एक सतत श्रेणी पर एक फ़ंक्शन f(x) का योग करता है, कार्यात्मक एकीकरण एक कार्यात्मक (गणित) G[f] का योग करता है, जिसे एक निरंतर सीमा पर एक फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के रूप में माना जा सकता है (या स्थान) कार्यों का च। अधिकांश प्रकार्यात्मक समाकलों का ठीक-ठीक मूल्यांकन नहीं किया जा सकता है, लेकिन गड़बड़ी विधियों का उपयोग करके मूल्यांकन किया जाना चाहिए। एक कार्यात्मक अभिन्न की औपचारिक परिभाषा है

$$\int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G[f]\prod _{x}df(x)\;.$$

हालाँकि, ज्यादातर मामलों में फलन f(x) को ओर्थोगोनल फलनों की एक अनंत श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है जैसे कि $f(x)=f_{n}H_{n}(x)$, और फिर परिभाषा बन जाती है

$$\int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G(f_{1};f_{2};\ldots )\prod _{n}df_{n}\;,$$

जो थोड़ा और समझ में आता है। इंटीग्रल को कैपिटल के साथ फंक्शनल इंटीग्रल के रूप में दिखाया गया है ${\mathcal {D}}$. कभी-कभी तर्क को वर्ग कोष्ठक में लिखा जाता है ${\mathcal {D}}[f]$, कार्यात्मक एकीकरण माप में फ़ंक्शन की कार्यात्मक निर्भरता को इंगित करने के लिए।

उदाहरण

अधिकांश प्रकार्यात्मक समाकल वास्तव में अनंत होते हैं, लेकिन अक्सर दो संबंधित कार्यात्मक समाकलों के भागफल की सीमा अभी भी परिमित हो सकती है। कार्यात्मक इंटीग्रल जिनका मूल्यांकन किया जा सकता है, आमतौर पर निम्नलिखित गॉसियन अभिन्न से शुरू होते हैं:

${\frac {\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)\cdot K^{-1}(x;y)\cdot J(y)\,dx\,dy\right\rbrace \,,$

जिसमें $K(x;y)=K(y;x)$. जे (एक्स) के संबंध में कार्यात्मक रूप से इसे अलग करके और फिर 0 पर सेट करके यह एफ में एक मोनोमियल द्वारा एक घातीय गुणा हो जाता है। इसे देखने के लिए, आइए निम्नलिखित अंकन का उपयोग करें:

$G[f,J]=-{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\,\quad ,\quad W[J]=\int \exp \lbrace G[f,J]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;.$ इस अंकन के साथ पहले समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

${\dfrac {W[J]}{W[0]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)K^{-1}(x;y)J(y)\,dx\,dy\right\rbrace .$ अब, की परिभाषा के लिए कार्यात्मक डेरिवेटिव लेना $W[J]$ और फिर में मूल्यांकन $J=0$, एक प्राप्त करता है:

${\dfrac {\delta }{\delta J(a)}}W[J]{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,$

${\dfrac {\delta ^{2}W[J]}{\delta J(a)\delta J(b)}}{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)f(b)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,$

$\qquad \qquad \qquad \qquad \vdots$ जिसका परिणाम अपेक्षित है। अधिक से अधिक, पहले समीकरण का उपयोग करके एक उपयोगी परिणाम पर आता है:

${\dfrac {\delta ^{2}}{\delta J(a)\delta J(b)}}\left({\dfrac {W[J]}{W[0]}}\right){\Bigg |}_{J=0}=K^{-1}(a;b)\;;$

इन परिणामों को एक साथ रखकर और हमारे पास मूल अंकन का समर्थन करते हुए:

${\frac {\displaystyle \int f(a)f(b)\exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=K^{-1}(a;b)\,.$ एक अन्य उपयोगी इंटीग्रल कार्यात्मक डेल्टा समारोह है:

$\int \exp \left\lbrace \int _{\mathbb {R} }f(x)g(x)dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]=\delta [g]=\prod _{x}\delta {\big (}g(x){\big )},$

जो बाधाओं को निर्दिष्ट करने के लिए उपयोगी है। Grassmann संख्या | Grassmann- मूल्यवान कार्यों पर कार्यात्मक इंटीग्रल भी किया जा सकता है $\psi (x)$, कहाँ $\psi (x)\psi (y)=-\psi (y)\psi (x)$, जो क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में फरमिओन्स से जुड़ी गणनाओं के लिए उपयोगी है।

पथ अभिन्न के लिए दृष्टिकोण

कार्यात्मक समाकल जहां एकीकरण के स्थान में पथ होते हैं (ν = 1) को कई अलग-अलग तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। परिभाषाएं दो अलग-अलग वर्गों में आती हैं: वीनर प्रक्रिया से प्राप्त निर्माण | वीनर का सिद्धांत एक माप (गणित) के आधार पर एक अभिन्नता उत्पन्न करता है, जबकि फेनमैन के पथ अभिन्न के बाद के निर्माण नहीं होते हैं। इन दो व्यापक विभाजनों के भीतर भी, समाकल समान नहीं हैं, अर्थात, उन्हें विभिन्न वर्गों के कार्यों के लिए अलग-अलग परिभाषित किया गया है।

वीनर इंटीग्रल

वीनर प्रक्रिया में, ब्राउनियन गति पथों के एक वर्ग को एक प्रायिकता सौंपी जाती है। वर्ग में पथ w होते हैं जो एक निश्चित समय में अंतरिक्ष के एक छोटे से क्षेत्र से जाने के लिए जाने जाते हैं। अंतरिक्ष के विभिन्न क्षेत्रों के माध्यम से पारित होने को एक दूसरे से स्वतंत्र माना जाता है, और ब्राउनियन पथ के किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी को सामान्य वितरण माना जाता है। गाऊसी-वितरित एक विचरण के साथ जो समय टी पर निर्भर करता है और एक प्रसार स्थिरांक डी पर :

$\Pr {\big (}w(s+t),t\mid w(s),s{\big )}={\frac {1}{\sqrt {2\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {\|w(s+t)-w(s)\|^{2}}{2Dt}}\right).$

पथों के वर्ग के लिए प्रायिकता एक क्षेत्र में शुरू होने और फिर अगले क्षेत्र में होने की संभावनाओं को गुणा करके पाई जा सकती है। कई छोटे क्षेत्रों की सीमा पर विचार करके वीनर माप विकसित किया जा सकता है।

• इतो और स्ट्रैटोनोविच कलन

फेनमैन इंटीग्रल

• ट्रोटर फॉर्मूला, या झूठ उत्पाद सूत्र
• बाती के घूमने का काक विचार।
• x-dot-dot-squared या i S[x] + x-dot-squared का उपयोग करना।
• कार्टियर डेविट-मोरेट उपायों के बजाय इंटीग्रेटर्स पर निर्भर करता है

लेवी इंटीग्रल

• आंशिक क्वांटम यांत्रिकी
• आंशिक श्रोडिंगर समीकरण
• लेवी प्रक्रिया
• आंशिक सांख्यिकीय यांत्रिकी

यह भी देखें

• पथ अभिन्न सूत्रीकरण
• विभाजन समारोह (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत)
• काठी बिंदु सन्निकटन

अग्रिम पठन

• Jean Zinn-Justin (2009), Scholarpedia 4(2):8674.
• Kleinert, Hagen, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2004); Paperback ISBN 981-238-107-4 (also available online: PDF-files)
• Laskin, Nick (2000). "Fractional quantum mechanics". Physical Review E. 62 (3): 3135–3145. arXiv:0811.1769. Bibcode:2000PhRvE..62.3135L. doi:10.1103/PhysRevE.62.3135. PMID 11088808. S2CID 15480739.
• Laskin, Nick (2002). "Fractional Schrödinger equation". Physical Review E. 66 (5): 056108. arXiv:quant-ph/0206098. Bibcode:2002PhRvE..66e6108L. doi:10.1103/PhysRevE.66.056108. PMID 12513557. S2CID 7520956.
• Minlos, R. A. (2001) [1994], "Integral over trajectories", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• O. G. Smolyanov, E. T. Shavgulidze. Continual integrals. Moscow, Moscow State University Press, 1990. (in Russian). http://lib.mexmat.ru/books/5132
• Victor Popov, Functional Integrals in Quantum Field Theory and Statistical Physics, Springer 1983
• Sergio Albeverio, Sonia Mazzucchi, A unified approach to infinite-dimensional integration, Reviews in Mathematical Physics, 28, 1650005 (2016)