गैर रेखीय सिग्मा मॉडल

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, एक अरैखिक σ मॉडल एक अदिश क्षेत्र का वर्णन करता है Σ जो लक्ष्य मैनिफोल्ड  T कहे जाने वाले अरेखीय मैनिफोल्ड में मान लेता है। गैर-रैखिक σ-मॉडल किसके द्वारा पेश किया गया था Gell-Mann & Lévy (1960, section 6), जिन्होंने इसे अपने मॉडल में σ नामक एक स्पिनलेस मेसन के अनुरूप क्षेत्र के नाम पर रखा। यह लेख मुख्य रूप से गैर-रैखिक सिग्मा मॉडल के परिमाणीकरण से संबंधित है; कृपया सामान्य परिभाषाओं और शास्त्रीय (गैर-क्वांटम) योगों और परिणामों के लिए सिग्मा मॉडल पर आधार लेख देखें।

विवरण

लक्ष्य मैनिफोल्ड टी एक रिमेंनियन मीट्रिक जी से लैस है। Σ Minkowski स्पेस M (या कोई अन्य स्पेस) से T तक का अलग करने योग्य मैप है।

लैग्रेंजियन घनत्व समकालीन चिराल रूप में द्वारा दिया गया है

${\mathcal {L}}={1 \over 2}g(\partial ^{\mu }\Sigma ,\partial _{\mu }\Sigma )-V(\Sigma )$

जहां हमने एक + − − − मीट्रिक हस्ताक्षर और आंशिक डेरिवेटिव का उपयोग किया है ∂Σ टी × एम के जेट बंडल के एक खंड द्वारा दिया गया है और V क्षमता है।

निर्देशांक अंकन में, निर्देशांक के साथ Σ^a, a = 1, ..., n जहां n, T का आयाम है,

${\mathcal {L}}={1 \over 2}g_{ab}(\Sigma )(\partial ^{\mu }\Sigma ^{a})(\partial _{\mu }\Sigma ^{b})-V(\Sigma ).$

दो से अधिक आयामों में, गैर-रैखिक σ मॉडल में एक आयामपूर्ण युग्मन स्थिरांक होता है और इस प्रकार यह अनुत्पादक रूप से पुन: सामान्य नहीं होता है। फिर भी, वे जाली निर्माण में दोनों के पुनर्संरचना समूह के एक गैर-तुच्छ पराबैंगनी निश्चित बिंदु को प्रदर्शित करते हैं और मूल रूप से केनेथ जी. विल्सन द्वारा प्रस्तावित दोहरे विस्तार में। दोनों दृष्टिकोणों में, एन-वेक्टर मॉडल के लिए पाया गया गैर-तुच्छ पुन: सामान्यीकरण-समूह निश्चित बिंदु। ओ (एन) -सममित मॉडल को केवल वर्णन करने के लिए देखा जाता है, दो से अधिक आयामों में, महत्वपूर्ण बिंदु अव्यवस्थित चरण से आदेश को अलग करता है . इसके अलावा, बेहतर जाली या क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत भविष्यवाणियों की तुलना महत्वपूर्ण घटनाओं पर प्रयोगशाला प्रयोगों से की जा सकती है, क्योंकि ओ (एन) मॉडल भौतिक हाइजेनबर्ग फेरोमैग्नेट्स और संबंधित प्रणालियों का वर्णन करता है। उपरोक्त परिणाम दो आयामों के ऊपर ओ (एन) -सिमेट्रिक मॉडल के भौतिक व्यवहार का सही ढंग से वर्णन करने में और जाली फॉर्मूलेशन जैसे अधिक परिष्कृत गैर-परेशान करने वाले तरीकों की आवश्यकता के लिए भोले-भाले गड़बड़ी सिद्धांत की विफलता की ओर इशारा करते हैं।

इसका मतलब है कि वे केवल प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत के रूप में उत्पन्न हो सकते हैं। दूरी के पैमाने पर नई भौतिकी की आवश्यकता होती है, जहां दो बिंदुओं से जुड़ा सहसंबंध कार्य उसी क्रम का होता है, जैसा कि लक्ष्य की वक्रता कई गुना होती है। इसे सिद्धांत की यूवी पूर्णता कहा जाता है। आंतरिक सममिति समूह G * के साथ अरैखिक σ मॉडल का एक विशेष वर्ग है। यदि G एक लाइ समूह है और H एक लाइ उपसमूह है, तो भागफल स्थान (टोपोलॉजी) G/H कई गुना है (कुछ तकनीकी प्रतिबंधों के अधीन जैसे H एक बंद उपसमुच्चय है) और G या अन्य में एक सजातीय स्थान भी है शब्द, जी का एक गैर-रैखिक अहसास। कई मामलों में, जी/एच को रिमेंनियन मीट्रिक से लैस किया जा सकता है जो जी-इनवेरिएंट है। यह हमेशा होता है, उदाहरण के लिए, यदि G कॉम्पैक्ट समूह है। G/H के साथ एक गैर-रैखिक σ मॉडल एक G-इनवेरिएंट रिमेंनियन मीट्रिक के साथ कई गुना लक्ष्य के रूप में और एक शून्य क्षमता को भागफल स्थान (या कोसेट स्थान) गैर-रैखिक कहा जाता है σ नमूना।

कार्यात्मक एकीकरण की गणना करते समय, कार्यात्मक माप को g के निर्धारक के वर्गमूल द्वारा भारित करने की आवश्यकता होती है,

${\sqrt {\det g}}{\mathcal {D}}\Sigma .$

नवीनीकरण

यह मॉडल स्ट्रिंग थ्योरी में प्रासंगिक साबित हुआ जहां द्वि-आयामी मैनिफोल्ड को worldsheet नाम दिया गया है। इसकी सामान्यीकृत पुनर्सामान्यीकरण की सराहना डेनियल फ्राइडन द्वारा प्रदान की गई थी। उन्होंने दिखाया कि सिद्धांत रूप में गड़बड़ी सिद्धांत के प्रमुख क्रम में एक पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण को स्वीकार करता है

$\lambda {\frac {\partial g_{ab}}{\partial \lambda }}=\beta _{ab}(T^{-1}g)=R_{ab}+O(T^{2})~,$

R_ab टारगेट मैनिफोल्ड का रिक्की टेंसर होना।

यह एक निश्चित बिंदु के रूप में कई गुना लक्ष्य के लिए आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों का पालन करते हुए, रिक्की प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है। इस तरह के एक निश्चित बिंदु का अस्तित्व प्रासंगिक है, जैसा कि यह अनुदान देता है, गड़बड़ी सिद्धांत के इस क्रम में, क्वांटम सुधार के कारण अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत खो नहीं जाता है, ताकि इस मॉडल का क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत समझदार (असामान्य) हो।

फ्लेवर-चिराल विसंगतियों का प्रतिनिधित्व करने वाले नॉनलाइनियर इंटरैक्शन को जोड़ने से वेस-जुमिनो-विटन मॉडल में परिणाम मिलता है, कौन teleparallelism (जियोमेट्रोस्टेसिस) के कारण मरोड़ टेंसर को शामिल करने के लिए प्रवाह की ज्यामिति को बढ़ाता है, पुनर्सामान्यता को संरक्षित करता है और एक इन्फ्रारेड निश्चित बिंदु तक ले जाता है।

Further information: Ricci flow

ओ (3) गैर रेखीय सिग्मा मॉडल

इसके सामयिक गुणों के कारण विशेष रुचि का एक प्रसिद्ध उदाहरण, O(3) अरैखिक है σ-मॉडल 1 +1 आयामों में, Lagrangian घनत्व के साथ

${\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\ \partial ^{\mu }{\hat {n}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {n}}$

जहां एन = (एन₁, एन₂, एन₃) बाधा के साथ n̂⋅n̂=1 और μ=1,2।

यह मॉडल टोपोलॉजिकल परिमित क्रिया समाधान के लिए अनुमति देता है, क्योंकि अनंत स्थान-समय पर लैग्रैंगियन घनत्व गायब हो जाना चाहिए, जिसका अर्थ है n̂ = अनंत पर स्थिर। इसलिए, परिमित-क्रिया समाधान के वर्ग में, एक बिंदु के रूप में अनंत पर बिंदुओं की पहचान की जा सकती है, अर्थात अंतरिक्ष-समय को रीमैन क्षेत्र के साथ पहचाना जा सकता है।

चूँकि n̂-क्षेत्र एक गोले पर भी रहता है, मानचित्रण S²→ S² साक्ष्य के रूप में है, जिसके समाधानों को 2-गोले के दूसरे होमोटॉपी समूह द्वारा वर्गीकृत किया गया है: इन समाधानों को O(3) इंस्टेंटन कहा जाता है।

इस मॉडल को 1+2 आयामों में भी माना जा सकता है, जहां टोपोलॉजी अब केवल स्थानिक स्लाइस से आती है। इन्हें अनंत पर एक बिंदु के साथ R^2 के रूप में तैयार किया गया है, और इसलिए 1+1 आयामों में O(3) इंस्टेंटॉन के समान टोपोलॉजी है। उन्हें सिग्मा मॉडल गांठ कहा जाता है।

यह भी देखें

• सिग्मा मॉडल
• चिराल मॉडल
• लिटिल हिग्स
• स्किर्मियन, गैर-रैखिक सिग्मा मॉडल में एक सॉलिटॉन
• पॉलाकोव क्रिया
• WZW मॉडल
• फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक, एक मीट्रिक जिसका उपयोग अक्सर गैर-रैखिक सिग्मा मॉडल के साथ किया जाता है
• रिक्की प्रवाह
• स्केल इनवेरियन

बाहरी संबंध

• Ketov, Sergei (2009). "Nonlinear Sigma model". Scholarpedia. 4 (1): 8508. Bibcode:2009SchpJ...4.8508K. doi:10.4249/scholarpedia.8508.
• Kulshreshtha, U.; Kulshreshtha, D. S. (2002). "Front-Form Hamiltonian, Path Integral, and BRST Formulations of the Nonlinear Sigma Model". International Journal of Theoretical Physics. 41 (10): 1941–1956. doi:10.1023/A:1021009008129. S2CID 115710780.