ऑर्थोसेंट्रिक सिस्टम

ऑर्थोसेंट्रिक सिस्टम। कोई भी बिंदु अन्य तीन द्वारा गठित त्रिभुज का ऑर्थोसेंटर है।

ज्यामिति में, एक ऑर्थोसेन्ट्रिक प्रणाली एक विमान (गणित) पर चार बिंदु (ज्यामिति) का एक सेट (गणित) है, जिनमें से एक अन्य तीन द्वारा गठित त्रिभुज का orthocenter है। समतुल्य रूप से, बिंदुओं के बीच असंयुक्त युग्मों से गुजरने वाली रेखाएँ लंबवत होती हैं, और चार बिंदुओं में से किन्हीं तीन बिंदुओं से गुजरने वाले चार वृत्तों की त्रिज्या समान होती है।

यदि चार बिंदु एक ऑर्थोसेन्ट्रिक प्रणाली बनाते हैं, तो चार बिंदुओं में से प्रत्येक अन्य तीन का ऑर्थोसेंटर होता है। इन चार संभावित त्रिकोणों में नौ बिंदुओं वाला एक ही चक्र होगा। नतीजतन, इन चार संभावित त्रिकोणों में सभी एक ही परिधि के साथ परिवृत्त होने चाहिए।

सामान्य नौ-बिंदु वृत्त

कॉमन नौ-पॉइंट सर्कल, जहां O, O₄, A₄ अन्य तीन ऑर्थोसेन्ट्रिक बिंदुओं से बने त्रिभुज के क्रमशः नौ-बिंदु केंद्र, परिधि और ऑर्थोसेंटर हैं A₁, A₂, A₃.

इस सामान्य नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र चार ऑर्थोसेन्ट्रिक बिंदुओं के केंद्र में स्थित है। सामान्य नौ-बिंदु वृत्त की त्रिज्या नौ-बिंदु केंद्र से छह कनेक्टर्स में से किसी के मध्य बिंदु तक की दूरी है जो ऑर्थोसेंट्रिक बिंदुओं के किसी भी जोड़े से जुड़ती है जिसके माध्यम से सामान्य नौ-बिंदु वृत्त गुजरता है। नौ-बिंदु चक्र चार संभावित त्रिकोणों की ऊंचाई के चरणों में तीन ऑर्थोगोनल चौराहों से भी गुजरता है।

यह सामान्य नौ-बिंदु केंद्र कनेक्टर के मध्य बिंदु पर स्थित होता है जो किसी भी ओर्थोसेन्ट्रिक बिंदु को अन्य तीन ऑर्थोसेन्ट्रिक बिंदुओं से बने त्रिभुज के परिकेंद्र से जोड़ता है।

सामान्य नौ-बिंदु वाला वृत्त सभी 16 अंतःवृत्तों और चार त्रिभुजों के बहिर्वृत्तों के लिए स्पर्शरेखा है, जिनके कोने ओर्थोसेंट्रिक सिस्टम बनाते हैं।

सामान्य ऑर्थोथिक त्रिभुज, इसका अंत: केंद्र और इसके excenter

यदि छह कनेक्टर जो ओर्थोसेंट्रिक बिंदुओं के किसी भी जोड़े से जुड़ते हैं, उन्हें छह रेखाओं तक बढ़ाया जाता है जो एक दूसरे को काटते हैं, तो वे सात प्रतिच्छेदन बिंदु उत्पन्न करते हैं। इनमें से चार बिंदु मूल ऑर्थोसेन्ट्रिक बिंदु हैं और अतिरिक्त तीन बिंदु ऊंचाई के चरणों में ओर्थोगोनल चौराहे हैं। एक त्रिकोण में इन तीन ऑर्थोगोनल बिंदुओं में शामिल होने से एक ओर्थिक त्रिकोण उत्पन्न होता है जो चार ओर्थोकेन्ट्रिक बिंदुओं से बने सभी चार संभावित त्रिकोणों के लिए एक समय में तीन लेता है।

इस सामान्य ऑर्थोसेन्ट्रिक त्रिभुज का अंत:केंद्र मूल चार ऑर्थोसेन्ट्रिक बिंदुओं में से एक होना चाहिए। इसके अलावा, शेष तीन बिंदु इस सामान्य ऑर्थोक त्रिकोण के एक्सेंटर्स बन जाते हैं। ऑर्थोसेन्ट्रिक बिंदु जो ओर्थिक त्रिभुज का केंद्र बन जाता है, वह ऑर्थोसेन्ट्रिक बिंदु सामान्य नौ-बिंदु केंद्र के सबसे निकट होता है। ऑर्थोकेंट्रिक त्रिकोण और मूल चार ऑर्थोसेन्ट्रिक बिंदुओं के बीच यह संबंध सीधे इस तथ्य की ओर जाता है कि एक संदर्भ त्रिकोण के केंद्र में और एक्सेंटर्स एक ऑर्थोसेन्ट्रिक सिस्टम बनाते हैं।

ऑर्थोसेन्ट्रिक बिंदुओं में से एक को दूसरों से अलग करना सामान्य है, विशेष रूप से वह जो ऑर्थोथिक त्रिभुज का केंद्र है; यह एक चिह्नित है H संदर्भ त्रिकोण के रूप में चुने गए बाहरी तीन ऑर्थोसेन्ट्रिक बिंदुओं के ऑर्थोसेंटर के रूप में △ABC. इस सामान्यीकृत विन्यास में, बिंदु H हमेशा त्रिभुज के अंदर रहेगा △ABC, और त्रिभुज के सभी कोण △ABC तीव्र होगा। ऊपर बताए गए चार संभावित त्रिभुज तब त्रिभुज हैं △ABC, △ABH, △ACH, △BCH. ऊपर संदर्भित छह कनेक्टर हैं AB, AC, BC, AH, BH, CH. ऊपर बताए गए सात चौराहे हैं A, B, C, H (मूल ओर्थोसेन्ट्रिक बिंदु), और H_A, H_B, H_C (त्रिकोण की ऊंचाई के पैर △ABC और ऑर्थोक त्रिभुज के शीर्ष)।

ऑर्थोसेन्ट्रिक सिस्टम और इसके ऑर्थोथिक अक्ष

सामान्यीकृत ऑर्थोसेन्ट्रिक प्रणाली से जुड़ा ऑर्थोथिक अक्ष A, B, C, H, कहाँ △ABC संदर्भ त्रिकोण है, एक रेखा है जो तीन चौराहे बिंदुओं से होकर गुजरती है जब ओर्थिक त्रिकोण का प्रत्येक पक्ष संदर्भ त्रिकोण के प्रत्येक पक्ष से मिलता है। अब तीन अन्य संभावित त्रिभुजों पर विचार करें, △ABH, △ACH, △BCH. उनमें से प्रत्येक का अपना ऑर्थोथिक अक्ष है।

यूलर लाइन्स और होमोथेटिक ऑर्थोसेन्ट्रिक सिस्टम्स

ऑर्थोसेंट्रिक सिस्टम। कहाँ O₁, O₂, O₃, O₄ लम्बकेन्द्र बिन्दुओं से बने चार संभावित त्रिभुजों का परिकेन्द्र हैं A₁, A₂, A₃, A₄.

चलो वेक्टर (ज्यामिति) a, b, c, h चार ऑर्थोसेन्ट्रिक बिंदुओं में से प्रत्येक की स्थिति निर्धारित करें और दें n = (a + b + c + h) / 4 की स्थिति सदिश हो N, सामान्य नौ-बिंदु केंद्र। चार ऑर्थोसेन्ट्रिक बिंदुओं में से प्रत्येक को उनके सामान्य नौ-बिंदु केंद्र से मिलाएं और उन्हें चार रेखाओं में विस्तारित करें। ये चार रेखाएँ अब उन चार संभावित त्रिभुजों की यूलर रेखाओं का प्रतिनिधित्व करती हैं जहाँ विस्तारित रेखा है HN त्रिभुज की यूलर रेखा है △ABC और विस्तारित लाइन AN त्रिभुज की यूलर रेखा है △BCH आदि। यदि एक बिंदु P यूलर लाइन पर चुना गया है HN संदर्भ त्रिकोण का △ABC एक स्थिति वेक्टर के साथ p ऐसा है कि p = n + α(h – n) कहाँ α चार ऑर्थोसेन्ट्रिक बिंदुओं और तीन और बिंदुओं की स्थिति से स्वतंत्र एक शुद्ध स्थिरांक है P_A, P_B, P_C ऐसा है कि p_a = n + α(a – n) आदि, फिर P, P_A, P_B, P_C एक ऑर्थोसेन्ट्रिक सिस्टम बनाते हैं। यह जेनरेटेड ऑर्थोसेन्ट्रिक सिस्टम हमेशा चार बिंदुओं की मूल प्रणाली के लिए होमोथेटिक परिवर्तन होता है जिसमें सामान्य नौ-बिंदु केंद्र होमोथेटिक केंद्र और α का अनुपात होता है: विक्ट: सिमिलिट्यूड।

कब P को केन्द्रक के रूप में चुना जाता है G, तब α = –⅓. कब P को परिकेन्द्र के रूप में चुना गया है O, तब α = –1 और उत्पन्न ऑर्थोसेन्ट्रिक प्रणाली मूल प्रणाली के साथ-साथ नौ-बिंदु केंद्र के बारे में इसका प्रतिबिंब होने के साथ-साथ सर्वांगसमता (ज्यामिति) है। इस विन्यास में P_A, P_B, P_C मूल संदर्भ त्रिकोण का एक जॉनसन हलकों बनाते हैं △ABC. परिणामस्वरूप चारों त्रिभुजों के परिवृत्त △ABC, △ABH, △ACH, △BCH सभी समान हैं और जॉनसन मंडलियों का एक सेट बनाते हैं जैसा कि आसन्न चित्र में दिखाया गया है।

और गुण

ऑर्थोसेन्ट्रिक सिस्टम की चार यूलर लाइनें ऑर्थोसेन्ट्रिक सिस्टम के चार ऑर्थोथिक अक्षों के लिए ऑर्थोगोनल हैं।

मूल चार ऑर्थोसेन्ट्रिक बिंदुओं में से किसी भी जोड़ी में शामिल होने वाले छह कनेक्टर कनेक्टर्स के जोड़े का उत्पादन करेंगे जो एक दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल हैं जैसे कि वे दूरी समीकरणों को पूरा करते हैं

${\overline {AB}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}=4R^{2}$

कहाँ R चार संभव त्रिभुजों की उभयनिष्ठ परिधि है। ज्या के नियम के साथ ये समीकरण सर्वसमिका में परिणत होते हैं

${\frac {\overline {BC}}{\sin A}}={\frac {\overline {AC}}{\sin B}}={\frac {\overline {AB}}{\sin C}}={\frac {\overline {HA}}{|\cos A|}}={\frac {\overline {HB}}{|\cos B|}}={\frac {\overline {HC}}{|\cos C|}}=2R.$

फायरबैक के प्रमेय में कहा गया है कि नौ-बिंदु वाला वृत्त अंतःवृत्त और एक संदर्भ त्रिकोण के तीन बाह्यवृत्तों को स्पर्श करता है। चूंकि नौ-बिंदु चक्र एक ऑर्थोसेन्ट्रिक प्रणाली में सभी चार संभावित त्रिकोणों के लिए आम है, यह चार संभावित त्रिकोणों के अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त वाले 16 मंडलों के लिए स्पर्शरेखा है।

कोई भी शांकव जो चार ऑर्थोसेन्ट्रिक बिंदुओं से होकर गुजरता है, केवल एक आयताकार अतिपरवलय हो सकता है। यह Feuerbach के शांकव प्रमेय का परिणाम है जो बताता है कि एक संदर्भ त्रिकोण के सभी परिमिति के लिए जो इसके लंबकेन्द्र से भी गुजरता है, ऐसे परिकलिक के केंद्र का बिंदुपथ (गणित) नौ-बिंदु वृत्त बनाता है और यह कि परिचारिका केवल आयताकार हो सकती है अतिपरवलय। आयताकार अतिपरवलयों के इस परिवार के परिप्रेक्ष्यों का स्थानपथ हमेशा चार ओर्थिक अक्षों पर स्थित होगा। इसलिए यदि एक आयताकार अतिशयोक्ति को चार ओर्थोसेंट्रिक बिंदुओं के माध्यम से खींचा जाता है, तो इसका सामान्य नौ-बिंदु चक्र पर एक निश्चित केंद्र होगा, लेकिन इसमें चार संभावित त्रिकोणों के प्रत्येक ओर्थिक अक्ष पर चार परिप्रेक्ष्य होंगे। नौ-बिंदु वृत्त पर एक बिंदु जो इस आयताकार अतिपरवलय का केंद्र है, की चार अलग-अलग परिभाषाएँ होंगी जो इस बात पर निर्भर करती हैं कि चार संभावित त्रिभुजों में से कौन सा संदर्भ त्रिकोण के रूप में उपयोग किया जाता है।

अच्छी तरह से प्रलेखित आयताकार अतिपरवलय जो चार ओर्थोसेन्ट्रिक बिंदुओं से होकर गुजरता है, संदर्भ त्रिकोण के Feuerbach, Vaclav Jeřábek|Jerábek और Kieper परिधिपरबोलस हैं △ABC के साथ एक सामान्यीकृत प्रणाली में H ऑर्थोसेंटर के रूप में।

चार संभावित त्रिकोणों में चार खतना और प्रतिष्ठित का एक सेट होता है जिसे ऑर्थोनिक इनकॉनिक्स के रूप में जाना जाता है जो कुछ गुणों को साझा करते हैं। चार संभावित त्रिभुजों के साथ इन इनकॉनिक्स के संपर्क उनके सामान्य ऑर्थिक त्रिकोण के शीर्ष पर होते हैं। एक सामान्यीकृत ऑर्थोसेन्ट्रिक प्रणाली में ऑर्थोनिक इनकॉनिक जो त्रिभुज के किनारों पर स्पर्शरेखा है △ABC एक दीर्घवृत्त है और अन्य तीन संभावित त्रिकोणों के ऑर्थोनिक इनकॉनिक्स हाइपरबोलस हैं। ये चार ऑर्थोनिक इनकॉनिक्स भी एक ही ब्रायनचोन प्रमेय बिंदु को साझा करते हैं H, सामान्य नौ-बिंदु केंद्र के निकटतम ऑर्थोसेन्ट्रिक बिंदु। इन ऑर्थोनिक इनकॉनिक्स के केंद्र सिम्मेडियन बिंदु हैं K चार संभावित त्रिभुजों में से।

कई प्रलेखित क्यूबिक हैं जो एक संदर्भ त्रिकोण और उसके ऑर्थोसेंटर से होकर गुजरते हैं। ऑर्थोक्यूबिक - K006 के रूप में जाना जाने वाला सर्कमक्यूबिक दिलचस्प है क्योंकि यह तीन ऑर्थोसेंट्रिक प्रणालियों के साथ-साथ ऑर्थोक त्रिकोण के तीन कोने (लेकिन ऑर्थोक त्रिकोण के ऑर्थोसेंटर नहीं) से गुजरता है। तीन ऑर्थोसेन्ट्रिक प्रणालियाँ अंत:केंद्र और एक्सेंटर हैं, संदर्भ त्रिभुज और इसका ऑर्थोसेंटर और अंत में संदर्भ त्रिकोण का ऑर्थोसेंटर तीन अन्य चौराहे बिंदुओं के साथ है जो इस क्यूबिक में संदर्भ त्रिकोण के परिवृत्त के साथ है।

ऑर्थोसेन्ट्रिक सिस्टम में दो त्रिकोणों के कोई भी दो ध्रुवीय सर्कल (ज्यामिति) ऑर्थोगोनल हैं।

संदर्भ

• Johnson, Roger A. (1929). Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Houghton Mifflin. Republished as Advanced Euclidean Geometry. Dover. 1960; 2007. See especially Chapter IX. Three Notable Points.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Orthocenter". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Feuerbach's Theorem". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Feuerbach's Conic Theorem". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Feuerbach Hyperbola". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Jerabek Hyperbola". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Kiepert Hyperbola". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Orthic Inconic". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Orthic Axis". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Perspector". MathWorld.
• Bernard Gibert Circumcubic K006
• Clark Kimberling, "Encyclopedia of triangle centers". (Lists some 5000 interesting points associated with any triangle.)