ब्लो अप

This article is about the mathematical concept of blowing up. For information about the physical/chemical process, see Explosion. For other uses of "Blow up", see Blow up (disambiguation).

एफ़ाइन विमान का विस्फोट।

गणित में, ब्लो अप या ब्लोअप एक प्रकार का ज्यामितीय परिवर्तन है जो किसी दिए गए स्थान के उप-स्थान को उस उप-स्थान से बाहर की ओर इशारा करते हुए सभी दिशाओं से बदल देता है। उदाहरण के लिए, एक विमान में एक बिंदु का विस्फोट बिंदु को उस बिंदु पर प्रक्षेपित स्पर्शरेखा स्थान से बदल देता है। रूपक एक विस्फोट का जिक्र करने के बजाय चित्र के हिस्से को बड़ा करने के लिए एक तस्वीर पर ज़ूम इन करने का है।

ब्लोअप द्विवार्षिक ज्यामिति में सबसे मौलिक परिवर्तन हैं, क्योंकि प्रक्षेपी किस्मों के बीच प्रत्येक द्विवार्षिक रूपवाद एक विस्फोट है। कमजोर गुणनखंडन प्रमेय कहता है कि प्रत्येक द्विभाजित मानचित्र को विशेष रूप से सरल ब्लोअप की संरचना के रूप में कारक बनाया जा सकता है। क्रेमोना समूह, विमान के बायरेशनल मोर्फिज़्म का समूह, ब्लोअप द्वारा उत्पन्न होता है।

द्विपक्षीय परिवर्तनों का वर्णन करने में उनके महत्व के अलावा, ब्लूपअप भी नई जगहों के निर्माण का एक महत्वपूर्ण तरीका है। उदाहरण के लिए, विलक्षणताओं के समाधान के लिए अधिकांश प्रक्रियाएँ विलक्षणताओं को तब तक उड़ाते हुए आगे बढ़ती हैं जब तक कि वे सहज न हो जाएँ। इसका एक परिणाम यह है कि ब्लोअप का उपयोग बायरेशनल मैप्स की विलक्षणताओं को हल करने के लिए किया जा सकता है।

शास्त्रीय रूप से, ब्लूपअप को बाहरी रूप से परिभाषित किया गया था, पहले निर्देशांक में एक स्पष्ट निर्माण का उपयोग करके प्रक्षेपण स्थान जैसे रिक्त स्थान पर ब्लूपअप को परिभाषित करके और फिर एम्बेडिंग के संदर्भ में अन्य रिक्त स्थान पर ब्लौअप को परिभाषित करना। यह कुछ शब्दावली में परिलक्षित होता है, जैसे कि शास्त्रीय शब्द मोनोइडल ट्रांसफॉर्मेशन। समकालीन बीजगणितीय ज्यामिति ब्लोइंग को एक बीजगणितीय विविधता पर एक आंतरिक संक्रिया के रूप में मानती है। इस दृष्टिकोण से, एक उप-वर्ग को कार्टियर भाजक में बदलने के लिए एक विस्फोट सार्वभौमिक (श्रेणी सिद्धांत के अर्थ में) तरीका है।

एक ब्लौअप को मोनॉयडल ट्रांसफॉर्मेशन, लोकली क्वाड्रैटिक ट्रांसफॉर्मेशन, डिलेटेशन, σ-प्रोसेस, या हॉफ मैप भी कहा जा सकता है।

एक विमान में एक बिंदु का विस्फोट

विस्फोट का सबसे सरल मामला विमान में एक बिंदु का विस्फोट है। इस उदाहरण में ब्लोइंग की अधिकांश सामान्य विशेषताएं देखी जा सकती हैं।

ब्लौअप का एक घटना पत्राचार के रूप में एक सिंथेटिक विवरण है। याद रखें कि ग्रासमानियन जी (1,2) विमान में एक बिंदु के माध्यम से सभी लाइनों के सेट को पैरामीट्रिज करता है। प्रक्षेपी विमान पी का ब्लौअप² बिंदु P पर, जिसे हम X निरूपित करेंगे, है

$X=\{(Q,\ell )\mid P,\,Q\in \ell \}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {G} (1,2).$

यहाँ Q एक अन्य बिंदु और को दर्शाता है $\ell$ ग्रासमैनियन का एक तत्व है। X एक प्रक्षेपी किस्म है क्योंकि यह प्रक्षेपी किस्मों के उत्पाद की एक बंद उप-किस्म है। यह एक प्राकृतिक आकारिकी π से 'P' तक आता है² जो जोड़ी लेता है $(Q,\ell )$ क्यू के लिए। यह आकृतिवाद सभी बिंदुओं के खुले उपसमुच्चय पर एक समरूपता है $(Q,\ell )$ Q ≠ P के साथ क्योंकि रेखा $\ell$ उन दो बिंदुओं से निर्धारित होता है। जब क्यू = पी, हालांकि, रेखा $\ell$ P से होकर जाने वाली कोई भी रेखा हो सकती है। ये रेखाएँ P से होकर जाने वाली दिशाओं के स्थान के अनुरूप हैं, जो 'P' के समरूपी है।^{1</उप>। इस प्रो1 को असाधारण विभाजक कहा जाता है, और परिभाषा के अनुसार यह प्रक्षेपित सामान्य बंडल #P पर सामान्य परिभाषा है। क्योंकि P एक बिंदु है, सामान्य स्थान स्पर्शरेखा स्थान के समान है, इसलिए असाधारण भाजक आइसोमोर्फिक है P पर प्रक्षेपित स्पर्शरेखा स्थान।}

ब्लूपअप पर निर्देशांक देने के लिए, हम उपरोक्त घटनाओं के पत्राचार के लिए समीकरण लिख सकते हैं। 'पी' दें² सजातीय निर्देशांक [एक्स₀:एक्स₁:एक्स₂] जिसमें P बिंदु है [P₀:पी₁:पी₂]। प्रक्षेपी द्वैत द्वारा, G(1,2) P के लिए तुल्याकारी है², इसलिए हम इसे सजातीय निर्देशांक दे सकते हैं [L₀: एल₁: एल₂]। एक पंक्ति $\ell _{0}=[L_{0}:L_{1}:L_{2}]$ सभी का सेट है [एक्स₀:एक्स₁:एक्स₂] ऐसा है कि X₀L₀ + एक्स₁L₁ + एक्स₂L₂ = 0. इसलिए, विस्फोट के रूप में वर्णित किया जा सकता है

$X=\{([X_{0}:X_{1}:X_{2}],[L_{0}:L_{1}:L_{2}])\mid P_{0}L_{0}+P_{1}L_{1}+P_{2}L_{2}=0,\,X_{0}L_{0}+X_{1}L_{1}+X_{2}L_{2}=0\}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {P} ^{2}.$

ब्लौअप पी से दूर एक आइसोमोर्फिज्म है, और प्रोजेक्टिव प्लेन के बजाय एफाइन प्लेन में काम करके, हम ब्लौअप के लिए सरल समीकरण दे सकते हैं। प्रक्षेपी रूपांतरण के बाद, हम मान सकते हैं कि P = [0:0:1]। एफिन प्लेन एक्स पर निर्देशांक के लिए x और y लिखें₂≠0। हालत पी ∈ $\ell$ तात्पर्य यह है कि एल₂ = 0, इसलिए हम ग्रासमैनियन को P से बदल सकते हैं^{1</उप>। फिर ब्लोअप विविधता है}

$\{((x,y),[z:w])\mid xz+yw=0\}\subseteq \mathbf {A} ^{2}\times \mathbf {P} ^{1}.$

संकेतों में से किसी एक को उलटने के लिए निर्देशांक बदलना अधिक सामान्य है। फिर ब्लूपअप को इस रूप में लिखा जा सकता है

$\left\{((x,y),[z:w])\mid \det {\begin{bmatrix}x&y\\w&z\end{bmatrix}}=0\right\}.$

यह समीकरण पिछले वाले की तुलना में सामान्यीकृत करना आसान है।

अगर हम ग्रासमैनियन के अनंत बिंदु को हटा दें, तो विस्फोट को आसानी से देखा जा सकता है, उदा। w = 1 सेट करके, और 3D स्पेस में मानक सैडल पॉइंट # सैडल सतह y = xz प्राप्त करें।

ब्लौअप को सामान्य स्थान से बिंदु तक सीधे निर्देशांक का उपयोग करके भी वर्णित किया जा सकता है। फिर से हम एफाइन प्लेन 'ए' पर काम करते हैं^{2</उप>। मूल बिंदु के लिए सामान्य स्थान सदिश स्थान m/m है2, जहाँ m = (x, y) मूल बिंदु की उच्चिष्ठ गुणजावली है। बीजगणितीय रूप से, इस सदिश स्थान का प्रक्षेपीकरण इसके सममित बीजगणित का गुणनफल है, अर्थात,}

$X=\operatorname {Proj} \bigoplus _{r=0}^{\infty }\operatorname {Sym} _{k[x,y]}^{r}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}.$

इस उदाहरण में, इसका एक ठोस विवरण है

$X=\operatorname {Proj} k[x,y][z,w]/(xz-yw),$

जहां x और y की डिग्री 0 है और z और w की डिग्री 1 है।

वास्तविक या जटिल संख्याओं के ऊपर, ब्लूपअप का संबंधित योग के रूप में एक सांस्थितिकीय विवरण होता है $\mathbf {P} ^{2}\#\mathbf {P} ^{2}$. मान लें कि पी 'ए' में मूल है² ⊆ पी², और अनंत पर रेखा के लिए L लिखें। 'ए'² \ {0} में उलटा मैप टी है जो (x, y) को (x/(|x|) भेजता है² + |y|²), y/(|x|² + |y|²))। टी इकाई क्षेत्र एस के संबंध में सर्कल उलटा है: यह एस को ठीक करता है, मूल के माध्यम से प्रत्येक पंक्ति को संरक्षित करता है, और बाहर के साथ गोले के अंदर का आदान-प्रदान करता है। टी एक सतत मानचित्र 'पी' तक फैला हुआ है² \ {0} → ए² मूल बिंदु पर अनंत पर रेखा भेजकर। यह विस्तार, जिसे हम टी भी कहते हैं, का उपयोग ब्लौअप के निर्माण के लिए किया जा सकता है। चलो सी यूनिट बॉल के पूरक को दर्शाता है। ब्लौअप एक्स एस के साथ सी की दो प्रतियों को संलग्न करके प्राप्त किया गया कई गुना है। एक्स मानचित्र π से 'पी' के साथ आता है² जो सी की पहली प्रति पर पहचान है और सी की दूसरी प्रति पर टी है। यह नक्शा पी से दूर एक आइसोमोर्फिज्म है, और पी पर फाइबर सी की दूसरी प्रति में अनंतता पर रेखा है। इस रेखा में प्रत्येक बिंदु उत्पत्ति के माध्यम से एक अद्वितीय रेखा से मेल खाता है, इसलिए π से अधिक फाइबर उत्पत्ति के माध्यम से संभावित सामान्य दिशाओं से मेल खाता है।

'सीपी' के लिए² इस प्रक्रिया को एक ओरिएंटेड मैनिफोल्ड का उत्पादन करना चाहिए। ऐसा करने के लिए, सी की दो प्रतियों को विपरीत अभिविन्यास दिया जाना चाहिए। प्रतीकों में, एक्स है $\mathbf {CP} ^{2}\#{\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}$, कहाँ ${\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}$ सीपी है² मानक अभिविन्यास के विपरीत।

जटिल स्थान में बिंदुओं को उड़ाना

जेड को एन-डायमेंशनल जटिल संख्या स्पेस में मूल होने दें, 'सी'^एन. अर्थात्, Z वह बिंदु है जहाँ n निर्देशांक कार्य करता है $x_{1},\ldots ,x_{n}$ साथ ही लुप्त हो जाना। चलो पी^{n - 1} हो (n - 1)-सजातीय निर्देशांक के साथ आयामी जटिल प्रक्षेपी स्थान $y_{1},\ldots ,y_{n}$. होने देना ${\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}$ C का उपसमुच्चय होⁿ × 'पी'^{n - 1} जो एक साथ समीकरणों को संतुष्ट करता है $x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}$ मैं, जे = 1, ..., एन के लिए। प्रक्षेपण

$\pi :\mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}\to \mathbf {C} ^{n}$

स्वाभाविक रूप से एक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन मैप को प्रेरित करता है

$\pi :{\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {C} ^{n}.$

यह नक्शा π (या, अक्सर, अंतरिक्ष ${\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}$) को C का ब्लो-अप (विभिन्न वर्तनी वाला ब्लो अप या ब्लोअप) कहा जाता है^एन.

'असाधारण विभाजक' E को π के तहत ब्लो-अप लोकस Z की व्युत्क्रम छवि के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे देखना आसान है

$E=Z\times \mathbf {P} ^{n-1}\subseteq \mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}$

प्रोजेक्टिव स्पेस की एक प्रति है। यह एक प्रभावी विभाजक (बीजीय ज्यामिति) है। E से दूर, π के बीच एक तुल्याकारिता है ${\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\setminus E$ और सी^{एन </सुप> \ जेड; यह बीच का एक द्विभाजित नक्शा है ${\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}$ और सीएन.}

यदि इसके बजाय हम होलोमोर्फिक प्रक्षेपण पर विचार करें

$q\colon {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {P} ^{n-1}$

हम का टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल प्राप्त करते हैं $\mathbf {P} ^{n-1}$ और हम असाधारण भाजक की पहचान कर सकते हैं $\lbrace Z\rbrace \times \mathbf {P} ^{n-1}$ इसके शून्य खंड के साथ, अर्थात् $\mathbf {0} \colon \mathbf {P} ^{n-1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n-1}}$ जो प्रत्येक बिंदु को असाइन करता है $p$ शून्य तत्व $\mathbf {0} _{p}$ फाइबर ओवर में $p$.

जटिल मैनिफोल्ड्स में सबमनिफोल्ड्स को उड़ाना

अधिक आम तौर पर, कोई भी कोडिमेंशन-के जटिल कई गुना 'सी' का जेड उड़ा सकता है^एन. मान लीजिए कि Z समीकरणों का स्थान है $x_{1}=\cdots =x_{k}=0$, और जाने $y_{1},\ldots ,y_{k}$ पी पर सजातीय निर्देशांक हो^{के - 1</सुपा>. फिर धमाका ${\tilde {\mathbf {C} }}^{n}$ समीकरणों का स्थान है $x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}$ सभी i और j के लिए, अंतरिक्ष 'C' मेंn × 'पी'के - 1</सुपा>.}

आम तौर पर अभी भी, कोई भी इस निर्माण को स्थानीय रूप से लागू करके किसी भी जटिल कई गुना एक्स के किसी भी सबमनीफोल्ड को उड़ा सकता है। प्रभाव, पहले की तरह, असाधारण विभाजक E के साथ ब्लो-अप लोकस Z को बदलने के लिए है। दूसरे शब्दों में, ब्लो-अप मैप

$\pi :{\tilde {X}}\to X$

एक बायरेशनल मैपिंग है, जो ई से दूर, एक आइसोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है, और ई पर, फाइबर 'पी' के साथ स्थानीय रूप से तुच्छ कंपन ^{के - 1</सुपा>. दरअसल, प्रतिबंध $\pi |_{E}:E\to Z$ स्वाभाविक रूप से X में Z के सामान्य बंडल के प्रक्षेपण के रूप में देखा जाता है।}

चूँकि E एक चिकना भाजक है, इसका सामान्य बंडल एक रेखा बंडल है। यह दर्शाना कठिन नहीं है कि E स्वयं को ऋणात्मक रूप से प्रतिच्छेद करता है। इसका मतलब है कि इसके सामान्य बंडल में कोई होलोमोर्फिक सेक्शन नहीं है; E अपने समरूपता (गणित) वर्ग का एकमात्र सहज जटिल प्रतिनिधि है ${\tilde {X}}$. (मान लें कि ई को उसी वर्ग में एक और जटिल सबमेनिफोल्ड से परेशान किया जा सकता है। फिर दो सबमेनिफोल्ड सकारात्मक रूप से छेड़छाड़ करेंगे - जैसा कि जटिल सबमनिफोल्ड हमेशा करते हैं - ई के नकारात्मक आत्म-प्रतिच्छेदन का विरोध करते हैं।) यही कारण है कि विभाजक को असाधारण कहा जाता है।

वी को ज़ेड के अलावा एक्स के कुछ सबमनीफोल्ड होने दें। यदि वी ज़ेड से अलग हो जाता है, तो यह ज़ेड के साथ उड़ने से अनिवार्य रूप से अप्रभावित होता है। हालांकि, अगर यह जेड को छेड़छाड़ करता है, तो विस्फोट में वी के दो अलग-अलग अनुरूप होते हैं ${\tilde {X}}$. एक उचित (या सख्त) परिवर्तन है, जो कि बंद है $\pi ^{-1}(V\setminus Z)$; इसका सामान्य बंडल अंदर है ${\tilde {X}}$ विशिष्ट रूप से X में V से भिन्न है। दूसरा 'कुल परिवर्तन' है, जिसमें कुछ या सभी E शामिल हैं; यह अनिवार्य रूप से सह-समरूपता में V का पुलबैक है।

योजनाओं की धज्जियां उड़ाना

इसकी सबसे बड़ी व्यापकता में ब्लो-अप का पीछा करने के लिए, एक्स को एक योजना (गणित) होने दें, और दें ${\mathcal {I}}$ एक्स पर आदर्शों का एक सुसंगत पूला बनें। एक्स के संबंध में झटका ${\mathcal {I}}$ एक योजना है ${\tilde {X}}$ एक रूपवाद के साथ

$\pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X$

ऐसा है कि $\pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\tilde {X}}$ इस सार्वभौमिक संपत्ति की विशेषता एक उलटा शीफ ​​है: किसी भी आकारिकी के लिए f: Y → X ऐसा है $f^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}$ एक व्युत्क्रमणीय शीफ है, f अद्वितीय रूप से π के माध्यम से कारक है।

नोटिस जो

${\tilde {X}}=\mathbf {Proj} \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}$

यह संपत्ति है; इस तरह से ब्लो-अप का निर्माण किया जाता है। यहाँ प्रोज ग्रेडेड कम्यूटेटिव रिंग पर प्रोज निर्माण है।

असाधारण विभाजक

एक विस्फोट का असाधारण विभाजक $\pi :\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X\to X$ आदर्श शीफ की उलटी छवि द्वारा परिभाषित उपयोजना है ${\mathcal {I}}$, जिसे कभी-कभी दर्शाया जाता है $\pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}$. प्रोज के संदर्भ में ब्लो अप की परिभाषा से यह पता चलता है कि इस उपयोजना ई को आदर्श शीफ द्वारा परिभाषित किया गया है $\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n+1}$. यह आदर्श पूला भी सापेक्ष है ${\mathcal {O}}(1)$ π के लिए।

π असाधारण भाजक से दूर एक समरूपता है, लेकिन असाधारण भाजक को π के असाधारण स्थान में नहीं होना चाहिए। अर्थात्, E पर π एक तुल्याकारिता हो सकती है। उदाहरण के लिए, यह तुच्छ स्थिति में होता है जहाँ ${\mathcal {I}}$ पहले से ही एक उलटा पुलिंदा है। विशेष रूप से, ऐसे मामलों में रूपवाद π अपवादात्मक भाजक का निर्धारण नहीं करता है। एक और स्थिति जहां असाधारण विभाजक की तुलना में असाधारण स्थान सख्ती से छोटा हो सकता है, जब एक्स में विलक्षणताएं होती हैं। उदाहरण के लिए, एक्स को एफ़ाइन कोन ओवर होने दें P¹ × P¹. X को लुप्त स्थान के रूप में दिया जा सकता है xw − yz में एक^{4</उप>। आदर्श (x, y) और (x, z) दो तलों को परिभाषित करता है, जिनमें से प्रत्येक X के शीर्ष से होकर गुजरता है। शीर्ष से दूर, ये तल X में हाइपरसर्फफेस हैं, इसलिए विस्फोट वहां एक समरूपता है। इन विमानों में से किसी एक के विस्फोट का असाधारण स्थान इसलिए शंकु के शीर्ष पर केंद्रित है, और इसके परिणामस्वरूप यह असाधारण विभाजक से सख्ती से छोटा है।}

आगे के उदाहरण

रैखिक उप-स्थानों का ब्लोअप

होने देना $\mathbf {P} ^{n}$ होना n-आयामी प्रोजेक्टिव स्पेस। एक रैखिक उप-स्थान को ठीक करें {{mvar|L}कोडिमेंशन का } d. के विस्फोट का वर्णन करने के कई स्पष्ट तरीके हैं $\mathbf {P} ^{n}$ साथ में L. लगता है कि $\mathbf {P} ^{n}$ निर्देशांक हैं $X_{0},\dots ,X_{n}$. निर्देशांक बदलने के बाद, हम यह मान सकते हैं $L=\{X_{n-d+1}=\dots =X_{n}=0\}$. ब्लूपअप को एम्बेड किया जा सकता है $\mathbf {P} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-d}$. होने देना $Y_{0},\dots ,Y_{n-d}$ दूसरे कारक पर निर्देशांक हो। क्योंकि L एक नियमित अनुक्रम द्वारा परिभाषित किया गया है, ब्लौअप मैट्रिक्स के दो-दो-दो नाबालिगों के गायब होने से निर्धारित होता है

$${\begin{pmatrix}X_{0}&\cdots &X_{n-d}\\Y_{0}&\cdots &Y_{n-d}\end{pmatrix}}.$$

समीकरणों की यह प्रणाली इस बात पर जोर देने के बराबर है कि दो पंक्तियाँ रैखिक रूप से निर्भर हैं। एक बिंदु $P\in \mathbf {P} ^{n}$ में है L अगर और केवल अगर, जब इसके निर्देशांक उपरोक्त मैट्रिक्स की पहली पंक्ति में प्रतिस्थापित किए जाते हैं, तो वह पंक्ति शून्य होती है। इस मामले में कोई शर्त नहीं है Q. यदि, हालांकि, वह पंक्ति गैर-शून्य है, तो रैखिक निर्भरता का अर्थ है कि दूसरी पंक्ति पहली की एक अदिश गुणक है और इसलिए एक अद्वितीय बिंदु है $Q\in \mathbf {P} ^{n-d}$ ऐसा है कि $(P,Q)$ विस्फोट में है।

इस विस्फोट को घटना पत्राचार के रूप में एक सिंथेटिक विवरण भी दिया जा सकता है

$$\{(P,M)\colon P\in M,\,L\subseteq M\}\subseteq \mathbf {P} ^{n}\times \operatorname {Gr} (n,n-d+1),$$

कहाँ $\operatorname {Gr}$ के ग्रासमैनियन को दर्शाता है $(n-d+1)$-आयामी उप-स्थान $\mathbf {P} ^{n}$. पिछले समन्वय के साथ संबंध देखने के लिए, देखें कि सभी का सेट $M\in \operatorname {Gr} (n,n-d+1)$ जिसमें शामिल है L एक प्रोजेक्टिव स्पेस के लिए आइसोमोर्फिक है $\mathbf {P} ^{n-d}$. ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक उपक्षेत्र M का रैखिक जुड़ाव है L और एक बिंदु Q अंदर नही L, और दो अंक Q और Q' वही निर्धारित करें M अगर और केवल अगर उनके प्रक्षेपण के तहत एक ही छवि है $\mathbf {P} ^{n}$ से दूर L. इसलिए, ग्रासमानियन को इसकी एक प्रति द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $\mathbf {P} ^{n-d}$. कब $P\not \in L$, केवल एक उपसमष्टि है M युक्त P, का रैखिक जुड़ाव P और L. उपरोक्त निर्देशांक में, यह वह स्थिति है जहाँ $(X_{0},\dots ,X_{n-d})$ शून्य सदिश नहीं है। मामला $P\in L$ से मेल खाती है $(X_{0},\dots ,X_{n-d})$ शून्य वेक्टर होने के नाते, और इस मामले में, कोई भी Q की अनुमति है, यानी कोई भी M युक्त L संभव है।

घटता योजना के चौराहों को उड़ाना-सैद्धांतिक रूप से

होने देना $f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]$ डिग्री के सामान्य सजातीय बहुपद बनें $d$ (जिसका अर्थ है कि उनकी संबद्ध प्रक्षेपी किस्में प्रतिच्छेद करती हैं $d^{2}$ बेज़ाउट के प्रमेय द्वारा अंक)। स्कीम (गणित) की बीजगणितीय ज्यामिति की निम्नलिखित शब्दावली ब्लोइंग का एक मॉडल देती है $\mathbb {P} ^{2}$ पर $d^{2}$ अंक:

$${\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow \\{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}$$

तंतुओं को देखने से पता चलता है कि यह सच क्यों है: यदि हम एक बिंदु लेते हैं $p=[x_{0}:x_{1}:x_{2}]$ फिर पुलबैक आरेख

$${\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t]}{sf(p)+tg(p)}}\right)&\rightarrow &{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\{\textbf {Spec}}(\mathbb {C} )&\xrightarrow {[x_{0}:x_{1}:x_{2}]} &{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}$$

हमें बताता है कि जब भी फाइबर एक बिंदु होता है $f(p)\neq 0$ या $g(p)\neq 0$ और फाइबर है $\mathbb {P} ^{1}$ अगर $f(p)=g(p)=0$.

संबंधित निर्माण

सी के विस्फोट मेंⁿ ऊपर वर्णित, सम्मिश्र संख्याओं के उपयोग के बारे में कुछ भी आवश्यक नहीं था; ब्लो-अप किसी भी क्षेत्र (गणित) पर किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 'आर' का वास्तविक विस्फोट² मोबियस पट्टी में मूल परिणाम पर; तदनुसार, दो-गोले S का झटका² का परिणाम वास्तविक प्रक्षेपी तल में होता है।

सामान्य शंकु की विकृति एक ब्लो-अप तकनीक है जिसका उपयोग बीजगणितीय ज्यामिति में कई परिणामों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है। एक योजना X और एक बंद उप-योजना V को देखते हुए, कोई विस्फोट करता है

$V\times \{0\}\ {\text{in}}\ Y=X\times \mathbf {C} \ {\text{or}}\ X\times \mathbf {P} ^{1}$

तब

${\tilde {Y}}\to \mathbf {C}$

एक कंपन है। सामान्य फाइबर एक्स के लिए स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक है, जबकि केंद्रीय फाइबर दो योजनाओं का एक संघ है: एक वी के साथ एक्स का ब्लो-अप है, और दूसरा वी का सामान्य शंकु है, जिसके तंतुओं को प्रोजेक्टिव स्पेस में पूरा किया गया है।

सहानुभूति श्रेणी में ब्लो-अप भी किया जा सकता है, एक संगत लगभग जटिल मैनिफोल्ड के साथ सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड को समाप्त करके और एक जटिल ब्लो-अप के साथ आगे बढ़ना। यह विशुद्ध रूप से सामयिक स्तर पर समझ में आता है; हालाँकि, ब्लो-अप को एक सहानुभूतिपूर्ण रूप से समाप्त करने के लिए कुछ देखभाल की आवश्यकता होती है, क्योंकि कोई असाधारण विभाजक E में मनमाने ढंग से सहानुभूतिपूर्ण रूप का विस्तार नहीं कर सकता है। किसी को E के पड़ोस में सहानुभूतिपूर्ण रूप को बदलना चाहिए, या ब्लो-अप को काटकर निष्पादित करना चाहिए। Z का एक पड़ोस और सीमा को अच्छी तरह से परिभाषित तरीके से ढहाना। यह सहानुभूतिपूर्ण काटने की औपचारिकता का उपयोग करके सबसे अच्छी तरह से समझा जाता है, जिसमें से सहानुभूतिपूर्ण विस्फोट एक विशेष मामला है। सहानुभूतिपूर्ण कटौती िंग, सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड के व्युत्क्रम ऑपरेशन के साथ, एक स्मूथ डिवाइडर के साथ सामान्य शंकु के विरूपण का सिम्प्लेक्टिक एनालॉग है।

यह भी देखें

• असीम रूप से निकट बिंदु
• विलक्षणताओं का संकल्प

संदर्भ

• Fulton, William (1998). Intersection Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98549-2.
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978). Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32792-1.
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.
• McDuff, Dusa; Salamon, Dietmar (1998). Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press. ISBN 0-19-850451-9.