रेडिकल्स में समाधान

Not to be confused with Algebraic number.

रेडिकल या बीजगणितीय समाधान में एक समाधान एक बंद-रूप अभिव्यक्ति है, और अधिक विशेष रूप से एक बंद-रूप बीजगणितीय अभिव्यक्ति है, जो एक बहुपद समीकरण का समाधान है, और केवल जोड़, घटाव, गुणा, भाग (गणित) पर निर्भर करता है, ऊपर उठाना पूर्णांक शक्तियाँ, और nवें रूट की निकासी |nवाँ मूल (वर्गमूल, घनमूल और अन्य पूर्णांक मूल)।

एक प्रसिद्ध उदाहरण समाधान है

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$

द्विघात समीकरण का

$ax^{2}+bx+c=0.$

घन समीकरणों के लिए अधिक जटिल बीजगणितीय समाधान मौजूद हैं और चतुर्थक समीकरण। एबेल-रफिनी प्रमेय, और, आम तौर पर गैलोज़ सिद्धांत, बताता है कि कुछ क्विंटिक समीकरण, जैसे

$x^{5}-x+1=0,$

कोई बीजगणितीय हल नहीं है। हर उच्च डिग्री के लिए भी यही सच है। हालाँकि, किसी भी डिग्री के लिए कुछ बहुपद समीकरण होते हैं जिनका बीजगणितीय समाधान होता है; उदाहरण के लिए, समीकरण $x^{10}=2$ के रूप में हल किया जा सकता है $x=\pm {\sqrt[{10}]{2}}.$ आठ अन्य समाधान अवास्तविक जटिल संख्याएं हैं, जो बीजगणितीय भी हैं और उनका रूप है $x=\pm r{\sqrt[{10}]{2}},$ कहाँ r एकता का पाँचवाँ मूल है, जिसे दो नेस्टेड कट्टरपंथी के साथ व्यक्त किया जा सकता है। यह सभी देखें Quintic function § Other solvable quintics डिग्री 5 में कई अन्य उदाहरणों के लिए।

इवरिस्ट गैलोइस ने एक कसौटी पेश की जिससे यह तय किया जा सके कि कौन से समीकरण रेडिकल में हल किए जा सकते हैं। उसके परिणाम के सटीक सूत्रीकरण के लिए कट्टरपंथी विस्तार देखें।

बीजगणितीय समाधान बंद-रूप अभिव्यक्तियों का एक सबसेट बनाते हैं, क्योंकि बाद वाले अनुवांशिक कार्यों (गैर-बीजीय कार्यों) जैसे घातीय कार्य, लघुगणक समारोह, और त्रिकोणमितीय कार्यों और उनके व्युत्क्रमों की अनुमति देते हैं।

यह भी देखें

• क्विंटिक इक्वेशन#सॉल्वेबल क्विंटिक्स
• सेक्सेटिक इक्वेशन # सॉल्वेबल सेक्सटिक्स
• सेप्टिक समीकरण#सॉल्वेबल सेप्टिक्स