रेडिकल्स में समाधान

Not to be confused with बीजगणितीय संख्या.

रेडिकल या बीजगणितीय समाधान में एक समाधान एक संवृत रूप से व्यंजक (गणित) होती है, और अधिक विशेष रूप से एक संवृत रूप बीजगणितीय व्यंजक (गणित) होती है, जो एक बहुपद समीकरण का समाधान करता है, और केवल जोड़, घटाव, गुणा, भाग (गणित) पर संफुल्लन करता है, पूर्णांक घात को बढ़ाता है, और nवें मूल (वर्गमूल, घनमूल, और अन्य पूर्णांक मूल) का निष्कर्षण करता है।

एक सर्ववदित उदाहरण समाधान है

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$

द्विघात समीकरण का

$ax^{2}+bx+c=0.$

घन समीकरणों और चतुर्थक समीकरण। के लिए अधिक जटिल बीजगणितीय समाधान सम्मलित हैं, एबेल-रफ़िनी प्रमेय, और, सामान्यतः गैलोज़ सिद्धांत, बताता है, कि कुछ क्विंटिक समीकरण, जैसे

$x^{5}-x+1=0,$

कोई बीजगणितीय हल नहीं है। हर उच्च डिग्री के लिए भी यही सच है। चूँकि, किसी भी डिग्री के लिए कुछ बहुपद समीकरण होते हैं जिनका बीजगणितीय समाधान होता है; उदाहरण के लिए, समीकरण $x^{10}=2$ के रूप में हल किया जा सकता है $x=\pm {\sqrt[{10}]{2}}.$ आठ अन्य समाधान अवास्तविक जटिल संख्याएं हैं, जो बीजगणितीय भी हैं और उनका रूप है $x=\pm r{\sqrt[{10}]{2}},$ कहाँ r एकता का पाँचवाँ मूल है, जिसे दो नेस्टेड कट्टरपंथी के साथ व्यक्त किया जा सकता है। यह सभी देखें क्विनिक फलन § अन्य सॉल्व करने योग्य क्विंटिक्स डिग्री 5 में कई अन्य उदाहरणों के लिए।

इवरिस्ट गैलोइस ने एक कसौटी पेश की जिससे यह तय किया जा सके कि कौन से समीकरण रेडिकल में हल किए जा सकते हैं। उसके परिणाम के सटीक सूत्रीकरण के लिए कट्टरपंथी विस्तार देखें।

बीजगणितीय समाधान संवृत रूप अभिव्यक्तियों का एक सबसेट बनाते हैं, क्योंकि बाद वाले अनुवांशिक कार्यों (गैर-बीजीय कार्यों) जैसे घातीय कार्य, लघुगणक समारोह, और त्रिकोणमितीय फलन और उनके व्युत्क्रमों की अनुमति देते हैं।

यह भी देखें

• क्विंटिक इक्वेशन#सॉल्वेबल क्विंटिक्स
• सेक्सेटिक इक्वेशन # सॉल्वेबल सेक्सटिक्स
• सेप्टिक समीकरण#सॉल्वेबल सेप्टिक्स