तर्क सिद्धांत

सरल समोच्च C (काला), f का शून्य (नीला) और f का ध्रुव (लाल)। हम यहाँ है ${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=4-5.\,$

जटिल विश्लेषण में, तर्क सिद्धांत (या कॉची का तर्क सिद्धांत) एक मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन के शून्य और ध्रुवों की संख्या के बीच अंतर को फ़ंक्शन के लॉगरिदमिक व्युत्पन्न के समोच्च अभिन्न अंग से संबंधित करता है।

विशेष रूप से, यदि f(z) अंदर और कुछ बंद समोच्च C पर एक मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन है, और f में C पर कोई शून्य या ध्रुव नहीं है, तो

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=Z-P$

जहाँ Z और P क्रमशः समोच्च C के अंदर f (z) के शून्य और ध्रुवों की संख्या को दर्शाते हैं, प्रत्येक शून्य और ध्रुव को क्रमशः इसकी बहुलता (गणित) और ध्रुव (जटिल विश्लेषण) के रूप में कई बार गिना जाता है। प्रमेय का यह कथन मानता है कि समोच्च C सरल है, अर्थात स्व-चौराहों के बिना, और यह वामावर्त उन्मुख है।

अधिक आम तौर पर, मान लीजिए कि f (z) जटिल विमान में खुले सेट Ω पर एक मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन है और सी Ω में एक बंद वक्र है जो f के सभी शून्यों और ध्रुवों से बचाता है और Ω के अंदर एक बिंदु के लिए अनुबंधित स्थान है। प्रत्येक बिंदु z ∈ Ω के लिए, n(C,z) को z के चारों ओर C की वाइंडिंग संख्या होने दें। तब

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\,$

जहां पहला योग f के सभी शून्यों से अधिक है, उनकी बहुलताओं के साथ गिना जाता है, और दूसरा योग उनके क्रम के साथ गिने गए f के खंभे b पर होता है।

समोच्च अभिन्न की व्याख्या

समोच्च अभिन्न $\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz$ प्रतिस्थापन w = f(z) का उपयोग करते हुए मूल के चारों ओर पथ f(C) की घुमावदार संख्या के 2πi गुना के रूप में व्याख्या की जा सकती है:

$\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\oint _{f(C)}{\frac {1}{w}}\,dw$

अर्थात्, यह f(z) के तर्क (जटिल विश्लेषण) में कुल परिवर्तन का i गुना है क्योंकि z प्रमेय के नाम की व्याख्या करते हुए, C के चारों ओर घूमता है; यह इस प्रकार है

${\frac {d}{dz}}\log(f(z))={\frac {f'(z)}{f(z)}}$ और तर्कों और लघुगणकों के बीच संबंध।

तर्क सिद्धांत का प्रमाण

चलो जेड_Z f का शून्य हो। हम लिख सकते हैं f(z) = (z − z_Z)^kg(z) जहां k शून्य की बहुलता है, और इस प्रकार g(z_Z) ≠ 0. हमें मिलता है

$f'(z)=k(z-z_{Z})^{k-1}g(z)+(z-z_{Z})^{k}g'(z)\,\!$

और

${f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{Z}}+{g'(z) \over g(z)}.$

चूंकि जी (जेड_Z) ≠ 0, यह इस प्रकार है कि g' (z)/g(z) में z पर कोई विलक्षणता नहीं है_Z, और इस प्रकार z पर विश्लेषणात्मक है_Z, जिसका अर्थ है कि z पर f′(z)/f(z) का अवशेष (जटिल विश्लेषण)।_Z कश्मीर है।

चलो जेड_P f का ध्रुव बनें। हम लिख सकते हैं f(z) = (z − z_P)^−mh(z) जहां m ध्रुव का क्रम है, और एच (जेड_P) ≠ 0. फिर,

$f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.$

और

${f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}$

ऊपर की तरह। इससे पता चलता है कि h'(z)/h(z) की z पर कोई विलक्षणता नहीं है_P चूंकि एच (जेड_P) ≠ 0 और इस प्रकार यह z पर विश्लेषणात्मक है_P. हम पाते हैं कि का अवशेष f'(z)/f(z) z पर_P है -एम।

इन्हें एक साथ रखने पर, प्रत्येक शून्य z_Z f की बहुलता k के लिए एक सरल ध्रुव बनाता है f′(z)/f(z) अवशेषों के साथ k, और प्रत्येक पोल z_P एम के क्रम में f f′(z)/f(z) के लिए अवशेषों के साथ एक सरल ध्रुव बनाता है -m। (यहाँ, एक साधारण ध्रुव द्वारा हम मतलब एक क्रम का ध्रुव।) इसके अलावा, यह दिखाया जा सकता है कि f'(z)/f(z) में कोई अन्य ध्रुव नहीं है, और इसलिए कोई अन्य अवशेष नहीं।

अवशिष्ट प्रमेय द्वारा हमारे पास यह है कि C के बारे में अभिन्न 2πi का उत्पाद है और अवशेषों का योग है। साथ में, k का योग' प्रत्येक शून्य z के लिए_Z शून्यों की संख्या शून्यों की बहुलता है, और इसी तरह ध्रुवों के लिए, और इसलिए हमारे पास हमारा परिणाम है।

अनुप्रयोग और परिणाम

कंप्यूटर पर मेरोमोर्फिक कार्यों के शून्य या ध्रुवों को कुशलता से खोजने के लिए तर्क सिद्धांत का उपयोग किया जा सकता है। राउंडिंग एरर के साथ भी, एक्सप्रेशन ${1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz$ एक पूर्णांक के करीब परिणाम देगा; अलग-अलग समोच्च रेखाओं के लिए इन पूर्णांकों का निर्धारण करके शून्य और ध्रुवों के स्थान के बारे में जानकारी प्राप्त की जा सकती है। रीमैन परिकल्पना के संख्यात्मक परीक्षण इस तकनीक का उपयोग रीमैन शी फ़ंक्शन के शून्य की संख्या के लिए ऊपरी सीमा प्राप्त करने के लिए करते हैं|रीमैन का $\xi (s)$ महत्वपूर्ण रेखा को काटते हुए एक आयत के अंदर कार्य करें।

रूचे के प्रमेय का प्रमाण तर्क सिद्धांत का उपयोग करता है।

प्रतिक्रिया नियंत्रण सिद्धांत पर आधुनिक पुस्तकें Nyquist स्थिरता मानदंड के सैद्धांतिक आधार के रूप में कार्य करने के लिए अक्सर तर्क सिद्धांत का उपयोग करती हैं।

तर्क सिद्धांत के अधिक सामान्य सूत्रीकरण का एक परिणाम यह है कि, एक ही परिकल्पना के तहत, यदि जी Ω में एक विश्लेषणात्मक कार्य है, तो

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)g(a)-\sum _{b}n(C,b)g(b).$

उदाहरण के लिए, यदि f शून्य z वाला बहुपद है₁, ..., साथ_p एक साधारण समोच्च C के अंदर, और g(z) = z^के, फिर

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\cdots +z_{p}^{k},$

f के मूलों का घात योग सममित बहुपद है।

एक अन्य परिणाम यह है कि यदि हम जटिल समाकलन की गणना करते हैं:

$\oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz$

जी और एफ के उपयुक्त विकल्प के लिए हमारे पास एबेल-प्लाना सूत्र है:

$\sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt\,$

जो असतत योग और उसके अभिन्न के बीच संबंध को व्यक्त करता है।

सामान्यीकृत तर्क सिद्धांत

तर्क सिद्धांत का एक तत्काल सामान्यीकरण है। मान लीजिए कि क्षेत्र में जी विश्लेषणात्मक है $\Omega$. तब

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}g(z)\,dz=\sum _{a}g(a)n(C,a)-\sum _{b}g(b)n(C,b)\,$

जहां पहला योग फिर से सभी शून्यों के ऊपर होता है, जिसे उनकी बहुलताओं के साथ गिना जाता है, और दूसरा योग फिर से उनके क्रम के साथ गिने गए f के खंभे b पर होता है।

इतिहास

फ्रैंक स्मिथिस (कॉची एंड द क्रिएशन ऑफ़ कॉम्प्लेक्स फंक्शन थ्योरी, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 1997, पृष्ठ 177) की पुस्तक के अनुसार, ऑगस्टिन-लुई कॉची ने 27 नवंबर 1831 को अपने स्व-निर्वासित निर्वासन के दौरान उपरोक्त के समान एक प्रमेय प्रस्तुत किया। फ्रांस से दूर ट्यूरिन (तत्कालीन पीडमोंट-सार्डिनिया साम्राज्य की राजधानी) में। हालाँकि, इस पुस्तक के अनुसार, केवल शून्य का उल्लेख किया गया था, ध्रुवों का नहीं। कॉची द्वारा यह प्रमेय केवल कई वर्षों बाद 1874 में हस्तलिखित रूप में प्रकाशित किया गया था और इसलिए इसे पढ़ना काफी कठिन है। कॉची ने अपनी मृत्यु के दो साल पहले 1855 में जीरो और पोल दोनों पर चर्चा के साथ एक पेपर प्रकाशित किया था।

यह भी देखें

• लघुगणक व्युत्पन्न
• Nyquist स्थिरता मानदंड

संदर्भ

• Rudin, Walter (1986). Real and Complex Analysis (International Series in Pure and Applied Mathematics). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
• Churchill, Ruel Vance; Brown, James Ward (1989). Complex Variables and Applications. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-010905-6.
• Backlund, R.-J. (1914) Sur les zéros de la fonction zeta(s) de Riemann, C. R. Acad. Sci. Paris 158, 1979–1982.

बाहरी संबंध

• "Argument, principle of the", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]