श्रेणियों की समानता

श्रेणी सिद्धांत में, अमूर्त गणित की एक शाखा, श्रेणियों की समानता दो श्रेणी (गणित) के बीच एक संबंध है जो यह स्थापित करती है कि ये श्रेणियां अनिवार्य रूप से समान हैं। गणित के कई क्षेत्रों से स्पष्ट तुल्यता के कई उदाहरण हैं। एक समानता स्थापित करने में संबंधित गणितीय संरचनाओं के बीच मजबूत समानता प्रदर्शित करना शामिल है। कुछ मामलों में, ये संरचनाएं एक सतही या सहज स्तर पर असंबंधित प्रतीत हो सकती हैं, जो धारणा को काफी शक्तिशाली बनाती हैं: यह विभिन्न प्रकार की गणितीय संरचनाओं के बीच प्रमेयों का अनुवाद करने का अवसर पैदा करती है, यह जानते हुए कि उन प्रमेयों का आवश्यक अर्थ संरक्षित है अनुवाद।

यदि कोई श्रेणी किसी अन्य श्रेणी के द्वैत (श्रेणी सिद्धांत) के विपरीत (या द्वैत) के बराबर है तो कोई बोलता है श्रेणियों का एक द्वैत, और कहता है कि दो श्रेणियां द्वैत समकक्ष हैं।

श्रेणियों की समानता में शामिल श्रेणियों के बीच एक ऑपरेटर होता है, जिसके लिए व्युत्क्रम फ़ैक्टर की आवश्यकता होती है। हालांकि, एक बीजगणितीय सेटिंग में समरूपता के लिए सामान्य स्थिति के विपरीत, मज़ेदार और इसके व्युत्क्रम का सम्मिश्रण अनिवार्य रूप से पहचान मानचित्रण नहीं है। इसके बजाय यह पर्याप्त है कि प्रत्येक वस्तु इस रचना के तहत अपनी छवि के लिए 'प्राकृतिक परिवर्तन' हो। इस प्रकार कोई भी फंक्शंस को समाकृतिकता के व्युत्क्रम के रूप में वर्णित कर सकता है। वास्तव में श्रेणियों के समरूपता की एक अवधारणा है जहां व्युत्क्रम फ़ैक्टर का एक सख्त रूप आवश्यक है, लेकिन यह 'समकक्ष' अवधारणा की तुलना में बहुत कम व्यावहारिक उपयोग है।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, दो श्रेणियां C और D दी गई हैं, श्रेणियों की एक समानता में एक फ़ंक्टर F: C → D, एक फ़ंक्टर G: D → C, और दो प्राकृतिक समरूपता ε: FG→'I' शामिल हैं।_D और η: मैं_C→जीएफ। यहाँ FG: D→D और GF: C→C, F और G की संबंधित रचनाओं को दर्शाता है, और 'I'_C: C→C और 'मैं'_D: डी → डी सी और डी पर पहचान फ़ैक्टरों को दर्शाता है, प्रत्येक वस्तु और आकारिकी को स्वयं निर्दिष्ट करता है। यदि F और G प्रतिपरिवर्ती फलनकार हैं तो कोई इसके बजाय श्रेणियों के द्वैत की बात करता है।

उपरोक्त सभी डेटा को अक्सर निर्दिष्ट नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, हम कहते हैं कि श्रेणियां C और D समतुल्य हैं (क्रमशः द्वैत समतुल्य) यदि उनके बीच एक तुल्यता (क्रमशः द्वैत) मौजूद है। इसके अलावा, हम कहते हैं कि एफ श्रेणियों की एक समानता है यदि एक व्युत्क्रम कारक जी और उपरोक्त के रूप में प्राकृतिक समरूपताएं मौजूद हैं। ध्यान दें कि एफ का ज्ञान आम तौर पर जी और प्राकृतिक समरूपता के पुनर्निर्माण के लिए पर्याप्त नहीं है: कई विकल्प हो सकते हैं (नीचे उदाहरण देखें)।

वैकल्पिक लक्षण वर्णन

एक मज़ेदार एफ: सी → डी श्रेणियों के समानता उत्पन्न करता है यदि और केवल अगर यह एक साथ है:

• पूर्ण काम करनेवाला, यानी किन्‍हीं दो ऑब्‍जेक्‍ट्स के लिए c₁ और सी₂ सी का, नक्शा होम_C(सी₁,सी₂) → उसे_D(एफसी₁, एफसी₂) एफ द्वारा प्रेरित विशेषण है;
• वफ़ादार फ़ैक्टर, यानी किन्ही दो वस्तुओं के लिए c₁ और सी₂ सी का, नक्शा होम_C(सी₁,सी₂) → उसे_D(एफसी₁, एफसी₂) एफ द्वारा प्रेरित इंजेक्शन है; और
• अनिवार्य रूप से विशेषण फंक्टर | अनिवार्य रूप से विशेषण (घने), यानी डी में प्रत्येक वस्तु डी, सी में सी के लिए एफसी के रूप में एक वस्तु के लिए आइसोमॉर्फिक है।

यह एक काफी उपयोगी और सामान्य रूप से लागू मानदंड है, क्योंकि किसी को स्पष्ट रूप से व्युत्क्रम G और FG, GF और पहचान फ़ैक्टरों के बीच प्राकृतिक समरूपता का निर्माण करने की आवश्यकता नहीं है। दूसरी ओर, हालांकि उपरोक्त गुण एक स्पष्ट तुल्यता के अस्तित्व की गारंटी देते हैं (अंतर्निहित सेट सिद्धांत में पसंद के स्वयंसिद्ध का पर्याप्त रूप से मजबूत संस्करण दिया गया है), लापता डेटा पूरी तरह से निर्दिष्ट नहीं है, और अक्सर कई विकल्प होते हैं। जब भी संभव हो, लापता निर्माणों को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करना एक अच्छा विचार है। इस परिस्थिति के कारण, इन गुणों वाले फ़नकार को कभी-कभी 'श्रेणियों की कमजोर समानता' कहा जाता है। (दुर्भाग्य से यह होमोटॉपी प्रकार सिद्धांत से शब्दावली के साथ संघर्ष करता है।)

आसन्न फ़ैक्टरों की अवधारणा से भी घनिष्ठ संबंध है $F\dashv G$, जहां हम कहते हैं $F:C\rightarrow D$ का बायां जोड़ है $G:D\rightarrow C$, या इसी तरह, G, F का दाहिना सन्निकटन है। फिर C और D समतुल्य हैं (जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है कि FG से 'I' तक प्राकृतिक समरूपताएं हैं)_D और मैं_C जीएफ के लिए) अगर और केवल अगर $F\dashv G$ और F और G दोनों पूर्ण और विश्वासयोग्य हैं।

जब सहायक कारक $F\dashv G$ पूर्ण और विश्वसनीय दोनों नहीं हैं, तो हम उनके आसन्न संबंध को श्रेणियों की तुल्यता के कमजोर रूप को व्यक्त करने के रूप में देख सकते हैं। यह मानते हुए कि संयोजनों के लिए प्राकृतिक परिवर्तन दिए गए हैं, ये सभी फॉर्मूलेशन आवश्यक डेटा के स्पष्ट निर्माण की अनुमति देते हैं, और कोई विकल्प सिद्धांतों की आवश्यकता नहीं होती है। मुख्य संपत्ति जिसे यहां साबित करना है वह यह है कि एक संयोजन का देश एक समरूपता है अगर और केवल अगर सही आसन्न एक पूर्ण और वफादार फ़ैक्टर है।

उदाहरण

• श्रेणी पर विचार करें $C$ एक ही वस्तु होना $c$ और एक एकल morphism $1_{c}$, और श्रेणी $D$ दो वस्तुओं के साथ $d_{1}$, $d_{2}$ और चार morphisms: दो पहचान morphisms $1_{d_{1}}$, $1_{d_{2}}$ और दो समरूपताएं $\alpha \colon d_{1}\to d_{2}$ और $\beta \colon d_{2}\to d_{1}$. श्रेणियां $C$ और $D$ समतुल्य हैं; हम (उदाहरण के लिए) कर सकते हैं $F$ नक्शा $c$ को $d_{1}$ और $G$ की दोनों वस्तुओं को मैप करें $D$ को $c$ और सभी morphisms करने के लिए $1_{c}$.
• इसके विपरीत, श्रेणी $C$ एक वस्तु और एक आकृतिवाद के साथ श्रेणी के समतुल्य नहीं है $E$ दो वस्तुओं और केवल दो पहचान रूपों के साथ। दो वस्तुओं में $E$ समरूपी नहीं हैं क्योंकि उनके बीच कोई आकारिकी नहीं है। इस प्रकार कोई भी कार्यकर्ता $C$ को $E$ अनिवार्य रूप से विशेषण नहीं होगा।
• एक श्रेणी पर विचार करें $C$ एक वस्तु के साथ $c$, और दो morphisms $1_{c},f\colon c\to c$. होने देना $1_{c}$ पहचान morphism पर हो $c$ और सेट करें $f\circ f=1$. बिल्कुल, $C$ स्वयं के समतुल्य है, जिसे लेकर दिखाया जा सकता है $1_{c}$ फ़ंक्टर के बीच आवश्यक प्राकृतिक समरूपता के स्थान पर $\mathbf {I} _{C}$ और खुद। हालांकि, यह भी सच है $f$ से एक प्राकृतिक समरूपता प्राप्त करता है $\mathbf {I} _{C}$ खुद को। इसलिए, यह जानकारी दी गई है कि पहचान कारक श्रेणियों की समानता बनाते हैं, इस उदाहरण में अभी भी प्रत्येक दिशा के लिए दो प्राकृतिक समरूपताओं के बीच चयन कर सकते हैं।
• समुच्चयों और आंशिक कार्यों की श्रेणी नुकीले समुच्चयों और बिंदु-संरक्षण मानचित्रों की श्रेणी के समतुल्य है लेकिन समरूपी नहीं है।
• श्रेणी पर विचार करें $C$ सदिश समष्टि के परिमित-आयाम की वास्तविक संख्या सदिश समष्टि, और श्रेणी $D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )$ सभी वास्तविक मैट्रिक्स (गणित) के (बाद की श्रेणी को योगात्मक श्रेणी पर लेख में समझाया गया है)। तब $C$ और $D$ समतुल्य हैं: कारक $G\colon D\to C$ जो वस्तु को मैप करता है $A_{n}$ का $D$ वेक्टर अंतरिक्ष के लिए $\mathbb {R} ^{n}$ और मेट्रिसेस में $D$ संबंधित रेखीय मानचित्रों के लिए पूर्ण, विश्वसनीय और अनिवार्य रूप से विशेषण है।
• बीजगणितीय ज्यामिति के केंद्रीय विषयों में से एक है एफ़ाइन योजनाओं की श्रेणी और क्रमविनिमेय वलयों की श्रेणी का द्वंद्व। काम करनेवाला $G$ प्रत्येक कम्यूटेटिव रिंग को एक रिंग के अपने स्पेक्ट्रम से जोड़ता है, जो कि रिंग के प्रमुख आदर्शों द्वारा परिभाषित योजना है। इसका जोड़ $F$ प्रत्येक एफ़िन योजना से संबद्ध वैश्विक वर्गों की अपनी अंगूठी।
• कार्यात्मक विश्लेषण में पहचान के साथ क्रमविनिमेय सी*सी * - बीजगणित की श्रेणी कॉम्पैक्ट जगह हौसडॉर्फ स्पेस की श्रेणी के विपरीत रूप से समतुल्य है। इस द्वैत के तहत, हर कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस $X$ निरंतर जटिल-मूल्यवान कार्यों के बीजगणित के साथ जुड़ा हुआ है $X$, और प्रत्येक क्रमविनिमेय C*-बीजगणित इसके अधिकतम आदर्शों के स्थान से जुड़ा है। यह गेलफैंड प्रतिनिधित्व है।
• जाली सिद्धांत में, प्रतिनिधित्व प्रमेयों के आधार पर कई द्वैत हैं, जो जाली के कुछ वर्गों को टोपोलॉजी के वर्गों से जोड़ते हैं। संभवतः इस तरह का सबसे प्रसिद्ध प्रमेय बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय है, जो स्टोन द्वैत की सामान्य योजना के भीतर एक विशेष उदाहरण है। प्रत्येक बूलियन बीजगणित (संरचना) $B$ के जाली सिद्धांत के सेट पर एक विशिष्ट टोपोलॉजी के लिए मैप किया गया है $B$. इसके विपरीत, किसी भी टोपोलॉजी के लिए क्लोपेन (यानी बंद और खुला) उपसमुच्चय बूलियन बीजगणित उत्पन्न करते हैं। एक बूलियन बीजगणित (उनके समरूपता के साथ) और स्टोन रिक्त स्थान (निरंतर मानचित्रण के साथ) की श्रेणी के बीच एक द्वंद्व प्राप्त करता है। स्टोन द्वैत का एक अन्य मामला बिरखॉफ का प्रतिनिधित्व प्रमेय है जो परिमित आंशिक आदेश और परिमित वितरण जाल के बीच एक द्वैत बताता है।
• व्यर्थ टोपोलॉजी में स्थानिक स्थानों की श्रेणी को शांत स्थानों की श्रेणी के दोहरे के बराबर जाना जाता है।
• दो रिंग (गणित) R और S के लिए, उत्पाद श्रेणी R-'मॉड'×S-'मॉड' (R×S)-'मॉड' के बराबर है।
• कोई भी वर्ग उसके कंकाल (श्रेणी सिद्धांत) के समतुल्य होता है।

गुण

अंगूठे के नियम के रूप में, श्रेणियों की समानता सभी स्पष्ट अवधारणाओं और गुणों को संरक्षित करती है। यदि F : C → D एक तुल्यता है, तो निम्नलिखित कथन सभी सत्य हैं:

• सी शून्य वस्तु सी एक प्रारंभिक ऑब्जेक्ट (या टर्मिनल वस्तु , या शून्य ऑब्जेक्ट) है, अगर और केवल अगर एफसी डी का प्रारंभिक ऑब्जेक्ट (या टर्मिनल ऑब्जेक्ट, या शून्य ऑब्जेक्ट) है
• सी में आकृतिवाद α एक एकरूपता (या अधिरूपता, या आइसोमोर्फिज्म) है, अगर और केवल अगर Fα डी में एक मोनोमोर्फिज्म (या एपिमोर्फिज्म, या आइसोमोर्फिज्म) है।
• फलक H : I → C की सीमा (श्रेणी सिद्धांत) (या कोलिमिट) l है यदि और केवल यदि फलक FH : I → D की सीमा (या कोलिमिट) Fl है। यह दूसरों के बीच तुल्यकारक (गणित), उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) और सह-उत्पादों पर लागू किया जा सकता है। इसे कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) और cokernel पर लागू करते हुए, हम देखते हैं कि तुल्यता F एक नियमित श्रेणी#सटीक अनुक्रम और नियमित फ़ैक्टर है।
• C एक कार्तीय बंद श्रेणी (या एक शीर्ष) है अगर और केवल अगर D कार्तीय बंद (या एक शीर्ष) है।

द्वैत सभी अवधारणाओं को चारों ओर घुमाते हैं: वे प्रारंभिक वस्तुओं को अंतिम वस्तुओं में बदल देते हैं, मोनोमोर्फिज्म को एपिमोर्फिज्म में, गुठली को कर्नेल में, कोलिमिट्स में सीमित कर देते हैं आदि।

यदि F : C → D श्रेणियों की एक तुल्यता है, और G₁ और जी₂ F के दो व्युत्क्रम हैं, तो G₁ और जी₂ स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक हैं।

यदि एफ: सी → डी श्रेणियों का एक समकक्ष है, और यदि सी एक पूर्ववर्ती श्रेणी (या योजक श्रेणी, या एबेलियन श्रेणी) है, तो डी को इस तरह के एक पूर्ववर्ती श्रेणी (या योजक श्रेणी, या एबेलियन श्रेणी) में बदल दिया जा सकता है जिस तरह से F एक योगात्मक फ़ंक्टर बन जाता है। दूसरी ओर, योज्य श्रेणियों के बीच कोई भी समानता आवश्यक रूप से योज्य है। (ध्यान दें कि बाद वाला बयान पूर्ववर्ती श्रेणियों के बीच समानता के लिए सही नहीं है।)

श्रेणी C का एक 'स्वत: तुल्यता' एक तुल्यता F: C → C है। C की स्वतः तुल्यता संरचना के अंतर्गत एक समूह (गणित) बनाती है यदि हम दो स्वतः तुल्यताओं पर विचार करते हैं जो समान होने के लिए स्वाभाविक रूप से समरूप हैं। यह समूह सी की आवश्यक समरूपता को दर्शाता है।

यह भी देखें

• गणितीय संरचनाओं की समतुल्य परिभाषाएँ

संदर्भ

• equivalence of categories at the nLab
• "Equivalence of categories", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the working mathematician. New York: Springer. pp. xii+314. ISBN 0-387-98403-8.