मौलटन तल

मौलटन विमान। नीचे और दाईं ओर झुकी हुई रेखाएँ मुड़ी हुई होती हैं जहाँ वे y-अक्ष को पार करती हैं।

घटना ज्यामिति में, मौलटन विमान एक एफाइन प्लेन (घटना ज्यामिति) का एक उदाहरण है जिसमें डेसार्गेस के प्रमेय का पालन नहीं होता है। इसका नाम अमेरिकी खगोलशास्त्री वन रे मौलटन के नाम पर रखा गया है। मौलटन तल के बिंदु केवल वास्तविक तल R के बिंदु हैं² और रेखाएँ नियमित रेखाएँ भी हैं, इस अपवाद के साथ कि ऋणात्मक ढलान वाली रेखाओं के लिए, जब वे y-अक्ष को पार करती हैं तो ढलान दोगुनी हो जाती है।

औपचारिक परिभाषा

मौलटन प्लेन एक घटना संरचना है ${\mathfrak {M}}=\langle P,G,{\textrm {I}}\rangle$, कहाँ $P$ बिंदुओं के समूह को दर्शाता है, $G$ लाइनों का सेट और ${\textrm {I}}$ घटना संबंध निहित है:

$P:=\mathbb {R} ^{2}\,$

$G:=(\mathbb {R} \cup \{\infty \})\times \mathbb {R} ,$

$\infty$ एक तत्व के लिए सिर्फ एक औपचारिक प्रतीक है $\not \in \mathbb {R}$. इसका उपयोग लंबवत रेखाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जिन्हें आप असीम रूप से बड़ी ढलान वाली रेखाओं के रूप में सोच सकते हैं।

आपतन संबंध को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

के लिए $p=(x,y)\in P$ और $g=(m,b)\in G$ अपने पास

$p\,{\textrm {I}}\,g\iff {\begin{cases}x=b&{\text{if }}m=\infty \\y={\frac {1}{2}}mx+b&{\text{if }}m\leq 0,x\leq 0\\y=mx+b&{\text{if }}m\geq 0{\text{ or }}x\geq 0.\end{cases}}$

आवेदन

मौलटन तल एक सजातीय तल है जिसमें देसार्गेस प्रमेय धारण नहीं करता है। संबंधित प्रक्षेपी तल फलस्वरूप गैर-डिसार्गेसियन भी है। इसका मतलब यह है कि ऐसे प्रोजेक्टिव प्लेन हैं जिनके लिए आइसोमोर्फिक नहीं है $PG(2,F)$ किसी भी डिवीजन रिंग के लिए|(तिरछा) फील्ड एफ। यहां $PG(2,F)$ प्रक्षेपी तल है $P(F^{3})$ (तिरछा) फ़ील्ड F पर 3-आयामी वेक्टर स्पेस द्वारा निर्धारित।

संदर्भ

• Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projective Geometry : From Foundations to Applications, Cambridge University Press, pp. 76–78, ISBN 978-0-521-48364-3
• Moulton, Forest Ray (1902), "A Simple Non-Desarguesian Plane Geometry", Transactions of the American Mathematical Society, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 3 (2): 192–195, doi:10.2307/1986419, ISSN 0002-9947, JSTOR 1986419
• Richard S. Millman, George D. Parker: Geometry: A Metric Approach with Models. Springer 1991, ISBN 9780387974125, pp. 97-104