टोपोलॉजिकल कॉम्बिनेटरिक्स

टोपोलॉजिकल साहचर्य का गणित अनुशासन टोपोलॉजी और बीजगणितीय टोपोलॉजी का अनुप्रयोग है। कॉम्बिनेटरिक्स में समस्याओं को हल करने के लिए बीजगणित-टोपोलॉजिकल तरीके।

इतिहास

मिश्रित टोपोलॉजी के अनुशासन ने टोपोलॉजी में कॉम्बिनेटरियल अवधारणाओं का इस्तेमाल किया और 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में यह बीजगणितीय टोपोलॉजी के क्षेत्र में बदल गया।

1978 में स्थिति उलट गई थी - बीजगणितीय टोपोलॉजी से विधियों का उपयोग कॉम्बिनेटरिक्स में एक समस्या को हल करने के लिए किया गया था - जब लेज़्लो लोवाज़ ने केसर ग्राफ को साबित किया, इस प्रकार टोपोलॉजिकल कॉम्बिनेटरिक्स के नए क्षेत्र की शुरुआत हुई। लोवाज़ के प्रमाण ने बोरसुक-उलम प्रमेय का उपयोग किया और इस प्रमेय ने इस नए क्षेत्र में एक प्रमुख भूमिका निभाई। इस प्रमेय के कई समकक्ष संस्करण और अनुरूप हैं और इसका उपयोग उचित विभाजन समस्याओं के अध्ययन में किया गया है।

ग्राफ सिद्धांत के लिए होमोलॉजी (गणित) विधियों के एक अन्य अनुप्रयोग में, लोवाज़ ने एंड्रस फ्रैंक के एक अनुमान के अप्रत्यक्ष और निर्देशित दोनों संस्करणों को साबित किया: एक के-कनेक्टेड ग्राफ दिया गया।के-कनेक्टेड ग्राफ जी, ' 'के' अंक $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V(G)$, और k धनात्मक पूर्णांक $n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}$ वह योग तक $|V(G)|$, एक विभाजन मौजूद है $\{V_{1},\ldots ,V_{k}\}$ का $V(G)$ ऐसा है कि $v_{i}\in V_{i}$, $|V_{i}|=n_{i}$, और $V_{i}$ एक जुड़ा हुआ सबग्राफ फैलाता है।

1987 में बोरसुक-उलम प्रमेय का उपयोग करके सावधान अलोन द्वारा हार के विभाजन की समस्या को हल किया गया था। इसका उपयोग निर्णय वृक्ष में कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत और आंडेरा-कार्प-रोसेनबर्ग अनुमान का अध्ययन करने के लिए भी किया गया है। अन्य क्षेत्रों में पोसेट टोपोलॉजी और ब्रुहाट ऑर्डर शामिल हैं।

इसके अतिरिक्त, अंतर टोपोलॉजी के तरीकों में अब असतत मोर्स थ्योरी में एक कॉम्बीनेटरियल एनालॉग है।

यह भी देखें

• स्पर्नर की लेम्मा
• असतत बाहरी कलन
• सामयिक ग्राफ सिद्धांत
• मिश्रित टोपोलॉजी
• परिमित सामयिक स्थान

संदर्भ

• de Longueville, Mark (2004), "25 years proof of the Kneser conjecture - The advent of topological combinatorics" (PDF), EMS Newsletter, Southampton, Hampshire: European Mathematical Society, pp. 16–19, retrieved 2008-07-29.

अग्रिम पठन

• Björner, Anders (1995), "Topological Methods", in Graham, Ronald L.; Grötschel, Martin; Lovász, László (eds.), Handbook of Combinatorics (PDF), vol. 2, The MIT press, ISBN 978-0-262-07171-0.
• Kozlov, Dmitry (2005), Trends in topological combinatorics, arXiv:math.AT/0507390, Bibcode:2005math......7390K.
• Kozlov, Dmitry (2007), Combinatorial Algebraic Topology, Springer, ISBN 978-3-540-71961-8.
• Lange, Carsten (2005), Combinatorial Curvatures, Group Actions, and Colourings: Aspects of Topological Combinatorics (PDF), Ph.D. thesis, Berlin Institute of Technology.
• Matoušek, Jiří (2003), Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry, Springer, ISBN 978-3-540-00362-5.
• Barmak, Jonathan (2011), Algebraic Topology of Finite Topological Spaces and Applications, Springer, ISBN 978-3-642-22002-9.
• de Longueville, Mark (2011), A Course in Topological Combinatorics, Springer, ISBN 978-1-4419-7909-4.