ज्यामितीय जाली

matroids और जाली (आदेश) के गणित में, एक ज्यामितीय जाली एक परिमित सेट एटम (आदेश सिद्धांत) अर्ध-मॉड्यूलर जाली है, और एक matroid जाली परिमितता की धारणा के बिना एक परमाणु अर्ध-मॉड्यूलर जाली है। जियोमेट्रिक लैटिस और मैट्रोइड लैटिस, क्रमशः Matroid # Flats के परिमित और अनंत matroids के लैटिस बनाते हैं, और प्रत्येक ज्यामितीय या matroid जाली इस तरह से matroid से आती है।

परिभाषा

एक जाली (आदेश) एक आंशिक रूप से आदेशित सेट है जिसमें कोई भी दो तत्व होते हैं $x$ और $y$ कम से कम ऊपरी सीमा होती है, जिसे ज्वाइन या अंतिम कहा जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है $x\vee y$ , और सबसे बड़ी निचली सीमा, जिसे मीट या सबसे कम कहा जाता है, द्वारा दर्शाया जाता है $x\wedge y$ .

निम्नलिखित परिभाषाएं सामान्य रूप से पॉसेट्स पर लागू होती हैं, केवल लैटिस नहीं, सिवाय जहां अन्यथा कहा गया हो।

न्यूनतम तत्व के लिए $x$ , कोई तत्व नहीं है $y$ ऐसा है कि $y<x$ .
तत्व $x$ अन्य तत्व को कवर करना $y$ (के रूप में लिखा गया है $x:>y$ या $y<:x$ ) अगर $x>y$ और कोई तत्व नहीं है $z$ दोनों से अलग $x$ और $y$ ताकि $x>z>y$ .
एक न्यूनतम तत्व के आवरण को परमाणु (आदेश सिद्धांत) कहा जाता है।
एक जाली परमाणुवादी (आदेश सिद्धांत) है यदि प्रत्येक तत्व परमाणुओं के कुछ सेट का सर्वोच्च है।
एक पोसेट को ग्रेडेड पोसेट तब कहा जाता है जब उसे रैंक फ़ंक्शन दिया जा सकता है $r(x)$ इसके तत्वों को पूर्णांकों में मैप करना, जैसे कि $r(x)>r(y)$ जब कभी भी $x>y$ , और भी $r(x)=r(y)+1$ जब कभी भी $x:>y$ .

जब एक वर्गीकृत पोसेट में एक निचला तत्व होता है, तो कोई यह मान सकता है कि व्यापकता को खोए बिना, इसका रैंक शून्य है। इस मामले में, परमाणु रैंक एक वाले तत्व हैं।

एक श्रेणीबद्ध जालक अर्ध-मॉड्यूलर जालक होता है, यदि, प्रत्येक के लिए $x$ और $y$ , इसका रैंक फ़ंक्शन पहचान का पालन करता है^[1]

r(x)+r(y)\geq r(x\wedge y)+r(x\vee y).\,

एक मैट्रॉइड जाली एक जाली है जो परमाणु और अर्ध-मॉड्यूलर दोनों है।^[2]^[3] एक ज्यामितीय जाली एक परिमित मैट्रॉइड जाली है।^[4]

कई लेखक केवल परिमित मैट्रॉइड लैटिस पर विचार करते हैं, और दोनों के लिए एक दूसरे के लिए ज्यामितीय जाली और मैट्रोइड लैटिस शब्दों का उपयोग करते हैं।^[5]

लैटिस बनाम मैट्रोइड्स

ज्यामितीय जाली (परिमित, सरल) matroids के बराबर हैं, और matroid lattices परिमितता की धारणा के बिना सरल matroids के बराबर हैं (अनंत matroids की उचित परिभाषा के तहत; ऐसी कई परिभाषाएं हैं)। पत्राचार यह है कि मैट्रॉइड के तत्व जाली के परमाणु हैं और जाली का एक तत्व x मैट्रॉइड के फ्लैट से मेल खाता है जिसमें मैट्रॉइड के वे तत्व होते हैं जो परमाणु होते हैं $a\leq x.$ एक ज्यामितीय जाली की तरह, एक मैट्रॉइड को मैट्रोइड रैंक के साथ संपन्न किया जाता है, लेकिन यह फ़ंक्शन मेट्रॉइड तत्वों के एक सेट को एक जाली तत्व को इसके तर्क के रूप में लेने के बजाय एक संख्या में मैप करता है। मैट्रॉइड का रैंक फ़ंक्शन मोनोटोनिक होना चाहिए (एक सेट में एक तत्व जोड़ने से इसकी रैंक कभी कम नहीं हो सकती है) और यह सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि यह सेमीमॉड्यूलर रैंक वाले लैटिस के समान असमानता का पालन करता है:

r(X)+r(Y)\geq r(X\cap Y)+r(X\cup Y)

matroid तत्वों के X और Y सेट के लिए। किसी दिए गए रैंक के अधिकतम तत्व सेट को 'फ्लैट्स' कहा जाता है। दो फ्लैटों का चौराहा फिर से एक फ्लैट है, जो फ्लैटों के जोड़े पर सबसे बड़ी निचली बाध्य कार्रवाई को परिभाषित करता है; कोई भी फ्लैटों की एक जोड़ी के कम से कम ऊपरी बाउंड को उनके संघ के (अद्वितीय) अधिकतम सुपरसेट के रूप में परिभाषित कर सकता है जिसमें उनके संघ के समान रैंक है। इस तरह, एक मैट्रॉइड के फ्लैट एक मैट्रोइड जाली बनाते हैं, या (यदि मैट्रॉइड परिमित है) एक ज्यामितीय जाली।^[4]

इसके विपरीत यदि $L$ एक मैट्रॉइड जाली है, कोई भी अपने परमाणुओं के सेट पर रैंक फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकता है, परमाणुओं के एक सेट के रैंक को सेट के सबसे बड़े निचले बाउंड के जाली रैंक के रूप में परिभाषित कर सकता है। यह रैंक फ़ंक्शन आवश्यक रूप से मोनोटोनिक और सबमॉड्यूलर है, इसलिए यह एक मैट्रॉइड को परिभाषित करता है। यह मैट्रॉइड आवश्यक रूप से सरल है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक दो-तत्व सेट में रैंक दो है।^[4]

ये दो निर्माण, एक जाली से एक साधारण मैट्रॉइड और एक मैट्रॉइड से एक जाली के, एक दूसरे के विपरीत होते हैं: एक ज्यामितीय जाली या एक साधारण मैट्रॉइड से शुरू होकर, और एक के बाद एक दोनों निर्माण करते हुए, एक जाली या मैट्रॉइड देता है मूल के लिए आइसोमोर्फिक है।^[4]

द्वैत

ज्यामितीय जाली के लिए द्वैत की दो अलग-अलग प्राकृतिक धारणाएँ हैं $L$ : दोहरी matroid, जो इसके आधार के आधार पर matroid के आधार के पूरक (सेट सिद्धांत) सेट करता है $L$ , और द्वैत (आदेश सिद्धांत), वह जाली जिसमें समान तत्व होते हैं $L$ विपरीत क्रम में। वे समान नहीं हैं, और वास्तव में दोहरी जाली आम तौर पर एक ज्यामितीय जाली नहीं होती है: परमाणु होने की संपत्ति ऑर्डर-रिवर्सल द्वारा संरक्षित नहीं होती है। Cheung (1974) एक ज्यामितीय जाली के आसन्न को परिभाषित करता है $L$ (या इससे परिभाषित मैट्रॉइड) एक न्यूनतम ज्यामितीय जाली है जिसमें दोहरी जाली है $L$ आदेश एम्बेडिंग है|ऑर्डर-एम्बेडेड। कुछ मैट्रोइड्स में संलग्नक नहीं होते हैं; एक उदाहरण वामोस मैट्रोइड है।^[6]

अतिरिक्त गुण

एक ज्यामितीय जाली का प्रत्येक अंतराल (दिए गए निचले और ऊपरी बाध्य तत्वों के बीच जाली का सबसेट) स्वयं ज्यामितीय है; एक ज्यामितीय जाली का अंतराल लेना संबंधित मैट्रोइड के एक माथेरॉइड माइनर बनाने के अनुरूप है। ज्यामितीय जाली जाली के पूरक हैं, और अंतराल संपत्ति के कारण वे अपेक्षाकृत पूरक भी हैं।^[7] प्रत्येक परिमित जाली एक ज्यामितीय जाली का उप-वर्ग है।^[8]

संदर्भ

↑ Birkhoff (1995), Theorem 15, p. 40. More precisely, Birkhoff's definition reads "We shall call P (upper) semimodular when it satisfies: If a≠b both cover c, then there exists a d∈P which covers both a and b" (p.39). Theorem 15 states: "A graded lattice of finite length is semimodular if and only if r(x)+r(y)≥r(x∧y)+r(x∨y)".
↑ Maeda, F.; Maeda, S. (1970), Theory of Symmetric Lattices, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 173, New York: Springer-Verlag, MR 0282889.
↑ Welsh, D. J. A. (2010), Matroid Theory, Courier Dover Publications, p. 388, ISBN 9780486474397.
↑ ^4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 Welsh (2010), p. 51.
↑ Birkhoff, Garrett (1995), Lattice Theory, Colloquium Publications, vol. 25 (3rd ed.), American Mathematical Society, p. 80, ISBN 9780821810255.
↑ Cheung, Alan L. C. (1974), "Adjoints of a geometry", Canadian Mathematical Bulletin, 17 (3): 363–365, correction, ibid. 17 (1974), no. 4, 623, doi:10.4153/CMB-1974-066-5, MR 0373976.
↑ Welsh (2010), pp. 55, 65–67.
↑ Welsh (2010), p. 58; Welsh credits this result to Robert P. Dilworth, who proved it in 1941–1942, but does not give a specific citation for its original proof.

बाहरी संबंध

[1] Birkhoff (1995), Theorem 15, p. 40. More precisely, Birkhoff's definition reads "We shall call P (upper) semimodular when it satisfies: If a≠b both cover c, then there exists a d∈P which covers both a and b" (p.39). Theorem 15 states: "A graded lattice of finite length is semimodular if and only if r(x)+r(y)≥r(x∧y)+r(x∨y)".

[2] Maeda, F.; Maeda, S. (1970), Theory of Symmetric Lattices, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 173, New York: Springer-Verlag, MR 0282889.

[3] Welsh, D. J. A. (2010), Matroid Theory, Courier Dover Publications, p. 388, ISBN 9780486474397.

[w10-51-4] 4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 Welsh (2010), p. 51.

[5] Birkhoff, Garrett (1995), Lattice Theory, Colloquium Publications, vol. 25 (3rd ed.), American Mathematical Society, p. 80, ISBN 9780821810255.

[6] Cheung, Alan L. C. (1974), "Adjoints of a geometry", Canadian Mathematical Bulletin, 17 (3): 363–365, correction, ibid. 17 (1974), no. 4, 623, doi:10.4153/CMB-1974-066-5, MR 0373976.

[7] Welsh (2010), pp. 55, 65–67.

[8] Welsh (2010), p. 58; Welsh credits this result to Robert P. Dilworth, who proved it in 1941–1942, but does not give a specific citation for its original proof.

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