ताप क्षमता के बीच संबंध

ऊष्मप्रवैगिकी में, स्थिर आयतन पर ताप क्षमता, $C_{V}$, और निरंतर दबाव पर ताप क्षमता, $C_{P}$, व्यापक गुण हैं जिनमें तापमान से विभाजित ऊर्जा का परिमाण होता है।

संबंध

ऊष्मप्रवैगिकी के नियम इन दो ताप क्षमताओं के बीच निम्नलिखित संबंधों को दर्शाते हैं (गैस्केल 2003:23):

$C_{P}-C_{V}=VT{\frac {\alpha ^{2}}{\beta _{T}}}\,$ :${\frac {C_{P}}{C_{V}}}={\frac {\beta _{T}}{\beta _{S}}}\,$

यहाँ $\alpha$ थर्मल विस्तार का गुणांक है:

$\alpha ={\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}\,$

$\beta _{T}$ इज़ोटेर्माल संपीड्यता है (बल्क मापांक का व्युत्क्रम):

$\beta _{T}=-{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}\,$

और $\beta _{S}$ isentropic संपीड्यता है:

$\beta _{S}=-{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{S}\,$

स्थिर आयतन और स्थिर दबाव पर विशिष्ट ताप क्षमता (गहन संपत्ति) में अंतर के लिए एक संबंधित अभिव्यक्ति है:

$c_{p}-c_{v}={\frac {T\alpha ^{2}}{\rho \beta _{T}}}$

जहां ρ लागू परिस्थितियों में पदार्थ का घनत्व है।

उष्मा क्षमता अनुपात के लिए संगत व्यंजक वही रहता है क्योंकि उष्मागतिकी प्रणाली के आकार पर निर्भर मात्राएँ, चाहे वह प्रति द्रव्यमान या प्रति मोल आधार पर हों, अनुपात में रद्द हो जाती हैं क्योंकि विशिष्ट ताप क्षमता गहन गुण होते हैं। इस प्रकार:

${\frac {c_{p}}{c_{v}}}={\frac {\beta _{T}}{\beta _{S}}}\,$

अंतर संबंध एक व्यक्ति को स्थिर आयतन पर ठोस पदार्थों के लिए ऊष्मा क्षमता प्राप्त करने की अनुमति देता है जो आसानी से मापी जाने वाली मात्राओं के संदर्भ में आसानी से नहीं मापा जाता है। अनुपात संबंध ताप क्षमता अनुपात के संदर्भ में आइसेंट्रोपिक संपीड्यता को व्यक्त करने की अनुमति देता है।

व्युत्पत्ति

अगर गर्मी की एक असीम रूप से छोटी मात्रा $\delta Q$ एक सिस्टम को क्वासिस्टेटिक प्रक्रिया के तरीके से आपूर्ति की जाती है, तो ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम के अनुसार, सिस्टम का एन्ट्रापी परिवर्तन निम्न द्वारा दिया जाता है:

$dS={\frac {\delta Q}{T}}\,$

तब से

$\delta Q=CdT\,$

जहाँ C ताप क्षमता है, यह इस प्रकार है:

$TdS=CdT\,$

गर्मी की क्षमता इस बात पर निर्भर करती है कि गर्मी की आपूर्ति होने पर सिस्टम के बाहरी चर कैसे बदलते हैं। यदि सिस्टम का एकमात्र बाहरी चर आयतन है, तो हम लिख सकते हैं:

$dS=\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}dT+\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}dV$

इससे निम्न है:

$C_{V}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}\,$

dS को dT और dP के रूप में ऊपर बताए अनुसार व्यक्त करने पर व्यंजक प्राप्त होता है:

$C_{P}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{P}\,$

के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति पा सकते हैं $C_{P}-C_{V}$ उपरोक्त अभिव्यक्ति में dS के लिए dV और dT के संदर्भ में dV व्यक्त करके।

$dV=\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}dT+\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}dP\,$

का परिणाम

$dS=\left[\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}+\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}\right]dT+\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}dP$

और यह इस प्रकार है:

$\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{P}=\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}+\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}\,$

इसलिए,

$C_{P}-C_{V}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}=VT\alpha \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}\,$

आंशिक व्युत्पन्न $\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}$ उपयुक्त मैक्सवेल संबंध का उपयोग करके उन चरों के संदर्भ में फिर से लिखा जा सकता है जिनमें एन्ट्रॉपी शामिल नहीं है। ये संबंध मौलिक उष्मागतिक संबंध से अनुसरण करते हैं:

$dE=TdS-PdV\,$

यह इस प्रकार है कि हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा का अंतर $F=E-TS$ है:

$dF=-SdT-PdV\,$

इस का मतलब है कि

$-S=\left({\frac {\partial F}{\partial T}}\right)_{V}\,$

और

$-P=\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)_{T}\,$

T और V के संबंध में F के दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता का तात्पर्य है

$\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}\,$

किसी को लिखने की अनुमति देना:

$C_{P}-C_{V}=VT\alpha \left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}\,$

आर.एच.एस. स्थिर आयतन पर व्युत्पन्न होता है, जिसे मापना मुश्किल हो सकता है। इसे निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है। सामान्य रूप में,

$dV=\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}dP+\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}dT\,$

आंशिक व्युत्पन्न के बाद से $\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}$ dV = 0 के लिए केवल dP और dT का अनुपात है, उपरोक्त समीकरण में dV = 0 रखकर और इस अनुपात को हल करके इसे प्राप्त किया जा सकता है:

$\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}=-{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}}{\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}}}={\frac {\alpha }{\beta _{T}}}\,$

जो अभिव्यक्ति देता है:

$C_{P}-C_{V}=VT{\frac {\alpha ^{2}}{\beta _{T}}}\,$

ताप क्षमता के अनुपात के लिए अभिव्यक्ति निम्नानुसार प्राप्त की जा सकती है:

${\frac {C_{P}}{C_{V}}}={\frac {\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{P}}{\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}}}\,$

अंश में आंशिक व्युत्पन्न दबाव w.r.t के आंशिक व्युत्पन्न के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। तापमान और एन्ट्रापी। अगर संबंध में

$dP=\left({\frac {\partial P}{\partial S}}\right)_{T}dS+\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{S}dT\,$

हम रखतें है $dP=0$ और अनुपात के लिए हल करें ${\frac {dS}{dT}}$ हमने प्राप्त $\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{P}$. ऐसा करने से मिलता है:

$\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{P}=-{\frac {\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{S}}{\left({\frac {\partial P}{\partial S}}\right)_{T}}}\,$

कोई इसी तरह आंशिक व्युत्पन्न को फिर से लिख सकता है $\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}$ dV को dS और dT के रूप में व्यक्त करके, dV को शून्य के बराबर रखकर और अनुपात के लिए हल करके ${\frac {dS}{dT}}$. जब उपरोक्त एंट्रॉपी के आंशिक डेरिवेटिव के अनुपात के रूप में व्यक्त गर्मी क्षमता अनुपात में अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करता है, तो यह निम्नानुसार होता है:

${\frac {C_{P}}{C_{V}}}={\frac {\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{S}}{\left({\frac {\partial P}{\partial S}}\right)_{T}}}{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial S}}\right)_{T}}{\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{S}}}\,$

दो डेरिवेटिव को स्थिर S पर एक साथ लेना:

${\frac {\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{S}}{\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{S}}}=\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{S}\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S}=\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{S}\,$

स्थिर T पर दो डेरिवेटिव एक साथ लेना:

${\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial S}}\right)_{T}}{\left({\frac {\partial P}{\partial S}}\right)_{T}}}=\left({\frac {\partial V}{\partial S}}\right)_{T}\left({\frac {\partial S}{\partial P}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}\,$

इसमें से कोई लिख सकता है:

${\frac {C_{P}}{C_{V}}}=\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{S}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}={\frac {\beta _{T}}{\beta _{S}}}\,$

आदर्श गैस

यह एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए एक व्युत्पत्ति है $C_{P}-C_{V}\,$ आदर्श गैस के लिए

एक आदर्श गैस में अवस्था का समीकरण होता है: $PV=nRT\,$ कहाँ

पी = दबाव

वी = मात्रा

n = मोल्स की संख्या

आर = सार्वभौमिक गैस स्थिरांक (गैस स्थिरांक)

टी = तापमान

राज्य के आदर्श गैस समीकरण को देने के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है:

$V=nRT/P\,$ या $\,nR=PV/T$ राज्य के उपरोक्त समीकरण से निम्नलिखित आंशिक व्युत्पन्न प्राप्त होते हैं:

$\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}\ ={\frac {nR}{P}}\ =\left({\frac {VP}{T}}\right)\left({\frac {1}{P}}\right)={\frac {V}{T}}$

$\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}\ =-{\frac {nRT}{P^{2}}}\ =-{\frac {PV}{P^{2}}}\ =-{\frac {V}{P}}$

तापीय प्रसार गुणांक के लिए निम्नलिखित सरल व्यंजक प्राप्त होते हैं $\alpha$:

$\alpha ={\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}\ ={\frac {1}{V}}\left({\frac {V}{T}}\right)$

$\alpha =1/T\,$

और इज़ोटेर्माल संपीड्यता के लिए $\beta _{T}$:

$\beta _{T}=-{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}\ =-{\frac {1}{V}}\left(-{\frac {V}{P}}\right)$

$\beta _{T}=1/P\,$

कोई अब गणना कर सकता है $C_{P}-C_{V}\,$ पहले से प्राप्त सामान्य सूत्र से आदर्श गैसों के लिए:

$C_{P}-C_{V}=VT{\frac {\alpha ^{2}}{\beta _{T}}}\ =VT{\frac {(1/T)^{2}}{1/P}}={\frac {VP}{T}}$

आदर्श गैस समीकरण से प्रतिस्थापन अंत में देता है:

$C_{P}-C_{V}=nR\,$

जहाँ n = विचाराधीन थर्मोडायनामिक प्रणाली में गैस के मोल्स की संख्या और R = सार्वभौमिक गैस स्थिरांक। प्रति मोल के आधार पर, दाढ़ ताप क्षमता में अंतर के लिए अभिव्यक्ति आदर्श गैसों के लिए बस R बन जाती है:

$C_{P,m}-C_{V,m}={\frac {C_{P}-C_{V}}{n}}={\frac {nR}{n}}=R$

यह परिणाम सुसंगत होगा यदि विशिष्ट अंतर सीधे सामान्य अभिव्यक्ति से प्राप्त किया गया हो $c_{p}-c_{v}\,$.

यह भी देखें

• ताप क्षमता अनुपात

संदर्भ

• David R. Gaskell (2008), Introduction to the thermodynamics of materials, Fifth Edition, Taylor & Francis. ISBN 1-59169-043-9.