पॉट्स मॉडल

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, पॉट्स मॉडल, आइसिंग मॉडल का एक सामान्यीकरण, एक क्रिस्टलीय जाली पर इंटरेक्टिंग स्पिन (भौतिकी) का एक मॉडल है। पॉट्स मॉडल का अध्ययन करके, लौह ्स के व्यवहार और ठोस-अवस्था भौतिकी की कुछ अन्य घटनाओं के बारे में जानकारी प्राप्त की जा सकती है। पॉट्स मॉडल की ताकत इतनी अधिक नहीं है कि यह इन भौतिक प्रणालियों को अच्छी तरह से मॉडल करे; बल्कि यह है कि एक आयामी मामला वास्तव में हल करने योग्य है, और इसमें एक समृद्ध गणितीय सूत्रीकरण है जिसका बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है।

मॉडल का नाम रेनफ्रे पॉट्स के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने अपने 1951 के पीएचडी के अंत के करीब मॉडल का वर्णन किया था। थीसिस। मॉडल प्लानर पॉट्स या ZN मॉडल से संबंधित था, जिसका सुझाव उन्हें उनके सलाहकार सिरिल हिल ने दिया था। चार-राज्य पॉट्स मॉडल को कभी-कभी एश्किन-टेलर मॉडल के रूप में जाना जाता है, जूलियस अश्किन और एडवर्ड टेलर के बाद, जिन्होंने 1943 में एक समकक्ष मॉडल माना।

पॉट्स मॉडल XY मॉडल, हाइजेनबर्ग मॉडल (शास्त्रीय) और एन-वेक्टर मॉडल सहित कई अन्य मॉडलों से संबंधित है, और सामान्यीकृत है। अनंत-श्रेणी पॉट्स मॉडल को एक्सवाई मॉडल के रूप में जाना जाता है। जब स्पिनों को एक गैर-एबेलियन समूह|गैर-एबेलियन तरीके से इंटरैक्ट करने के लिए लिया जाता है, तो मॉडल प्रवाह ट्यूब मॉडल से संबंधित होता है, जिसका उपयोग क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में रंग परिसीमन पर चर्चा करने के लिए किया जाता है। पॉट्स मॉडल के सामान्यीकरण का उपयोग धातुओं में अनाज के विकास और फोम में मोटे होने स्क्वाट मॉडल के लिए भी किया गया है। जेम्स ग्लेज़ियर और फ्रेंकोइस ग्रेनर द्वारा इन विधियों का एक और सामान्यीकरण, जिसे सेलुलर पॉट्स मॉडल के रूप में जाना जाता है, फोम और जैविक रूपजनन में स्थिर और गतिज घटना का अनुकरण करने के लिए उपयोग किया गया है।

परिभाषा

पॉट्स मॉडल में स्पिन होते हैं जो जाली (समूह) पर रखे जाते हैं; जाली को आमतौर पर दो-आयामी आयताकार यूक्लिडियन अंतरिक्ष जाली के रूप में लिया जाता है, लेकिन अक्सर इसे अन्य आयामों और जाली संरचनाओं के लिए सामान्यीकृत किया जाता है।

मूल रूप से, डोंब ने सुझाव दिया कि स्पिन में से एक लेता है $q$ संभावित मान, कोणों पर, वृत्त के बारे में समान रूप से वितरित

$\theta _{s}={\frac {2\pi s}{q}},$

कहाँ $s=0,1,...,q-1$ और यह कि इंटरेक्शन हैमिल्टनियन यांत्रिकी द्वारा दिया गया है

$H_{c}=J_{c}\sum _{\langle i,j\rangle }\cos \left(\theta _{s_{i}}-\theta _{s_{j}}\right)$

निकटतम पड़ोसी जोड़े पर चल रहे योग के साथ $\langle i,j\rangle$ सभी जाली साइटों पर, और $J_{c}$ एक युग्मन स्थिरांक है, जो अंतःक्रिया शक्ति का निर्धारण करता है। इस मॉडल को अब वेक्टर पॉट्स मॉडल या क्लॉक मॉडल के रूप में जाना जाता है। पॉट्स ने चरण संक्रमण के लिए दो आयामों में स्थान प्रदान किया $q=3,4$. सीमा में $q\to \infty$, यह XY मॉडल बन जाता है।

जिसे अब मानक पॉट्स मॉडल के रूप में जाना जाता है, पॉट्स द्वारा उपरोक्त मॉडल के अपने अध्ययन के दौरान सुझाया गया था और इसे एक सरल हैमिल्टनियन द्वारा परिभाषित किया गया है:

$H_{p}=-J_{p}\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})\,$

कहाँ $\delta (s_{i},s_{j})$ क्रोनकर डेल्टा है, जो जब भी एक के बराबर होता है $s_{i}=s_{j}$ और शून्य अन्यथा। $q=2$ h> मानक पॉट्स मॉडल ईज़िंग मॉडल और 2-स्टेट वेक्टर पॉट्स मॉडल के बराबर है $J_{p}=-2J_{c}$. $q=3$ h> मानक पॉट्स मॉडल तीन-राज्य वेक्टर पॉट्स मॉडल के बराबर है $J_{p}=-{\frac {3}{2}}J_{c}$.

एक सामान्य सामान्यीकरण एक बाहरी चुंबकीय क्षेत्र शब्द का परिचय देना है $h$, और पैरामीटर को रकम के अंदर ले जाना और उन्हें पूरे मॉडल में अलग-अलग करने की अनुमति देना:

$\beta H_{g}=-\beta \left(\sum _{(i,j)}J_{ij}\delta (s_{i},s_{j})+\sum _{i}h_{i}s_{i}\right)\,$

कहाँ $\beta ={\frac {1}{kT}}$ उलटा तापमान, $k$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक और $T$ तापमान।

अलग-अलग कागजात थोड़े अलग सम्मेलनों को अपना सकते हैं, जो बदल सकते हैं $H$ और संबद्ध विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) योगात्मक या गुणात्मक स्थिरांक द्वारा।

भौतिक गुण

चरण संक्रमण

एक भौतिक प्रणाली के एक मॉडल के रूप में इसकी सादगी के बावजूद, पोट्स मॉडल चरण संक्रमण के अध्ययन के लिए एक मॉडल प्रणाली के रूप में उपयोगी है। उदाहरण के लिए, मानक फेरोमैग्नेटिक पॉट्स मॉडल के लिए $2d$, सभी वास्तविक मूल्यों के लिए एक चरण संक्रमण मौजूद है $q\geq 1$, महत्वपूर्ण बिंदु के साथ $\beta J=\log(1+{\sqrt {q}})$. चरण संक्रमण निरंतर (दूसरा क्रम) है $1\leq q\leq 4$ और असंतत (पहला क्रम) के लिए $q>4$. क्लॉक मॉडल के लिए, इस बात का सबूत है कि संबंधित चरण संक्रमण अनंत क्रम बीकेटी संक्रमण हैं,और एक सतत चरण संक्रमण देखा जाता है जब $q\leq 4$.रिसाव सिद्धांत प्रॉब्लम्स और कॉम्बिनेटरिक्स में पाए जाने वाले सभी बहुपद और रंगीन बहुपद के मॉडल के संबंध के माध्यम से आगे का उपयोग पाया जाता है। के पूर्णांक मानों के लिए $q\geq 3$, मॉडल 'इंटरफेसियल सोखना' की घटना को प्रदर्शित करता है दो अलग-अलग राज्यों में विपरीत सीमाओं को ठीक करते समय पेचीदा महत्वपूर्ण गीलापन गुणों के साथ.

यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल के साथ संबंध

पॉट्स मॉडल का फोर्टुइन-पीटर कस्टेलिन रैंडम क्लस्टर मॉडल, सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक अन्य मॉडल के साथ घनिष्ठ संबंध है। इस संबंध को समझने से छोटे स्तर पर मॉडल के संख्यात्मक अन्वेषण के लिए कुशल मार्कोव चेन मोंटे कार्लो विधियों को विकसित करने में मदद मिली है $q$, और मॉडल के महत्वपूर्ण तापमान के कठोर प्रमाण का नेतृत्व किया।

विभाजन समारोह के स्तर पर $Z_{p}=\sum _{\{s_{i}\}}e^{-H_{p}}$, स्पिन कॉन्फ़िगरेशन पर योग को बदलने के लिए संबंध राशि $\{s_{i}\}$ एज ओवर कॉन्फ़िगरेशन में $\omega ={\Big \{}(i,j){\Big |}s_{i}=s_{j}{\Big \}}$ यानी एक ही रंग के निकटतम पड़ोसी जोड़े के सेट। पहचान का उपयोग करके परिवर्तन किया जाता है $e^{J_{p}\delta (s_{i},s_{j})}=1+v\delta (s_{i},s_{j})$ साथ $v=e^{J_{p}}-1$. यह विभाजन समारोह को फिर से लिखने की ओर जाता है

$Z_{p}=\sum _{\omega }v^{\#{\text{edges}}(\omega )}q^{\#{\text{clusters}}(\omega )}$

जहां क्लस्टर बंद सेगमेंट के संघ के जुड़े हुए घटक हैं $\cup _{(i,j)\in \omega }[i,j]$. यह खुले किनारे की संभावना के साथ यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल के विभाजन समारोह के समानुपाती है $p={\frac {v}{1+v}}=1-e^{-J_{p}}$. यादृच्छिक क्लस्टर फॉर्मूलेशन का एक फायदा यह है कि $q$ प्राकृतिक पूर्णांक के बजाय मनमाना जटिल संख्या हो सकती है।

माप-सैद्धांतिक विवरण

एक आयामी पॉट्स मॉडल को परिमित प्रकार के एक सबशिफ्ट के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और इस प्रकार इस औपचारिकता से जुड़ी सभी गणितीय तकनीकों तक पहुंच प्राप्त होती है। विशेष रूप से, इसे ट्रांसफर ऑपरेटरों की तकनीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। (हालांकि, अर्नस्ट इसिंग ने ईज़िंग मॉडल को हल करने के लिए दहनशील तरीकों का इस्तेमाल किया, जो पॉट्स मॉडल के पूर्वज हैं, उनके 1924 पीएचडी थीसिस में)। यह खंड इस समाधान के पीछे, माप सिद्धांत पर आधारित गणितीय औपचारिकता को विकसित करता है।

जबकि नीचे दिया गया उदाहरण एक-आयामी मामले के लिए विकसित किया गया है, कई तर्क, और लगभग सभी अंकन, किसी भी संख्या के आयामों को आसानी से सामान्यीकृत करते हैं। कुछ औपचारिकताएं भी संबंधित मॉडलों को संभालने के लिए काफी व्यापक हैं, जैसे कि XY मॉडल, हाइजेनबर्ग मॉडल (शास्त्रीय) और एन-वेक्टर मॉडल।

राज्यों के स्थान की टोपोलॉजी

चलो क्यू = {1, ..., क्यू} प्रतीकों का एक सीमित सेट हो, और चलो

$Q^{\mathbf {Z} }=\{s=(\ldots ,s_{-1},s_{0},s_{1},\ldots ):s_{k}\in Q\;\forall k\in \mathbf {Z} \}$

सेट क्यू से मूल्यों के सभी द्वि-अनंत स्ट्रिंग्स का सेट हो। इस सेट को पूर्ण शिफ्ट कहा जाता है। पॉट्स मॉडल को परिभाषित करने के लिए, या तो यह संपूर्ण स्थान, या इसका एक निश्चित उपसमुच्चय, पूरी पारी का एक सबशिफ्ट, उपयोग किया जा सकता है। शिफ्ट्स को यह नाम इसलिए मिला है क्योंकि इस स्थान पर एक प्राकृतिक ऑपरेटर मौजूद है, शिफ्ट ऑपरेटर τ : Q^Z → Q^Z, के रूप में अभिनय

$\tau (s)_{k}=s_{k+1}$

इस सेट में एक प्राकृतिक उत्पाद टोपोलॉजी है; इस टोपोलॉजी का आधार (टोपोलॉजी) सिलेंडर सेट हैं

$C_{m}[\xi _{0},\ldots ,\xi _{k}]=\{s\in Q^{\mathbf {Z} }:s_{m}=\xi _{0},\ldots ,s_{m+k}=\xi _{k}\}$

अर्थात, सभी संभावित स्ट्रिंग्स का सेट जहां k+1 स्पिन दिए गए मूल्यों के विशिष्ट सेट से सटीक रूप से मेल खाते हैं ξ₀, ..., एक्स_k. सिलेंडर सेट के लिए स्पष्ट प्रतिनिधित्व यह देखते हुए प्राप्त किया जा सकता है कि मूल्यों की स्ट्रिंग पी-एडिक नंबर | क्यू-एडिक नंबर से मेल खाती है, हालांकि क्यू-एडिक नंबरों की प्राकृतिक टोपोलॉजी उपरोक्त उत्पाद टोपोलॉजी से बेहतर है।

सहभागिता ऊर्जा

चक्रणों के बीच अन्योन्यक्रिया तब एक सतत फलन (टोपोलॉजी) V : Q द्वारा दी जाती है^Z → R इस टोपोलॉजी पर। कोई भी निरंतर कार्य करेगा; उदाहरण के लिए

$V(s)=-J\delta (s_{0},s_{1})$

निकटतम पड़ोसियों के बीच बातचीत का वर्णन करने के लिए देखा जाएगा। बेशक, अलग-अलग कार्य अलग-अलग इंटरैक्शन देते हैं; तो एस का एक समारोह₀, एस₁ और एस₂ अगले-निकटतम पड़ोसी इंटरैक्शन का वर्णन करेगा। एक फ़ंक्शन वी स्पिन के एक सेट के बीच अंतःक्रियात्मक ऊर्जा देता है; यह हैमिल्टनियन नहीं है, लेकिन इसे बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। फलन V का तर्क एक अवयव ∈ Q है^Z, यानी स्पिन की एक अनंत स्ट्रिंग। उपरोक्त उदाहरण में, फ़ंक्शन वी ने अनंत स्ट्रिंग में से केवल दो घुमावों को चुना है: मान s₀ और एस₁. सामान्य तौर पर, फ़ंक्शन V कुछ या सभी घुमावों पर निर्भर हो सकता है; वर्तमान में, केवल वे ही जो परिमित संख्या पर निर्भर करते हैं, सटीक रूप से हल करने योग्य हैं।

फ़ंक्शन एच को परिभाषित करें_n: क्यू^Z → आर के रूप में

$H_{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}V(\tau ^{k}s)$

इस फ़ंक्शन को दो भागों में देखा जा सकता है: कॉन्फ़िगरेशन की आत्म-ऊर्जा [एस₀, एस₁, ..., एस_nस्पिन का ], साथ ही इस सेट की अंतःक्रियात्मक ऊर्जा और जाली में अन्य सभी स्पिन। इस फलन की n → ∞ सीमा तंत्र की हैमिल्टनियन है; परिमित n के लिए, इन्हें कभी-कभी 'परिमित अवस्था हैमिल्टन' कहा जाता है।

विभाजन समारोह और उपाय

इसी परिमित-राज्य विभाजन समारोह (सांख्यिकीय यांत्रिकी) द्वारा दिया गया है

$Z_{n}(V)=\sum _{s_{0},\ldots ,s_{n}\in Q}\exp(-\beta H_{n}(C_{0}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}]))$

सी के साथ₀ ऊपर परिभाषित सिलेंडर सेट होने के नाते। यहाँ, β = 1/kT, जहाँ k बोल्ट्जमैन का स्थिरांक है, और T तापमान है। गणितीय उपचारों में β = 1 सेट करना बहुत आम है, क्योंकि यह अंतःक्रियात्मक ऊर्जा को पुनः स्केल करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। यह विभाजन फ़ंक्शन इंटरेक्शन V के एक फ़ंक्शन के रूप में लिखा गया है ताकि जोर दिया जा सके कि यह केवल इंटरेक्शन का एक फ़ंक्शन है, न कि स्पिन के किसी विशिष्ट कॉन्फ़िगरेशन का। विभाजन फलन, हेमिल्टनियन के साथ, बोरेल σ-बीजगणित पर एक माप (गणित) को निम्नलिखित तरीके से परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है: एक सिलेंडर सेट का माप, यानी आधार का एक तत्व, द्वारा दिया जाता है

$\mu (C_{k}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}])={\frac {1}{Z_{n}(V)}}\exp(-\beta H_{n}(C_{k}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}]))$

इसके बाद पूर्ण σ-बीजगणित तक गणनीय योगात्मकता का विस्तार किया जा सकता है। यह माप संभाव्यता माप है; यह कॉन्फ़िगरेशन स्थान (भौतिकी) Q में दिए गए कॉन्फ़िगरेशन की संभावना देता है^{जेड</सुप>. इस तरह से हैमिल्टनियन से निर्मित संभाव्यता माप के साथ विन्यास स्थान को समाप्त करके, विन्यास स्थान एक विहित पहनावा में बदल जाता है।}

विभाजन फ़ंक्शन के संदर्भ में अधिकांश थर्मोडायनामिक गुणों को सीधे व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा किसके द्वारा दी जाती है

$A_{n}(V)=-kT\log Z_{n}(V)$

एक अन्य महत्वपूर्ण संबंधित मात्रा सामयिक दबाव है, जिसे परिभाषित किया गया है

$P(V)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log Z_{n}(V)$

जो समाधान के ट्रांसफर ऑपरेटर के अग्रणी eigenvalue के लघुगणक के रूप में दिखाई देगा।

मुक्त क्षेत्र समाधान

सबसे सरल मॉडल वह मॉडल है जहां कोई अंतःक्रिया नहीं होती है, और इसलिए V = c और H_n= सी (सी निरंतर और किसी भी स्पिन कॉन्फ़िगरेशन से स्वतंत्र)। विभाजन समारोह बन जाता है

$Z_{n}(c)=e^{-c\beta }\sum _{s_{0},\ldots ,s_{n}\in Q}1$

यदि सभी राज्यों की अनुमति है, अर्थात, राज्यों के अंतर्निहित सेट को पूर्ण शिफ्ट द्वारा दिया जाता है, तो योग का तुच्छ रूप से मूल्यांकन किया जा सकता है

$Z_{n}(c)=e^{-c\beta }q^{n+1}$

यदि पड़ोसी घुमावों को केवल कुछ विशिष्ट विन्यासों में ही अनुमति दी जाती है, तो राज्य का स्थान परिमित प्रकार के एक सबशिफ्ट द्वारा दिया जाता है। विभाजन समारोह तब के रूप में लिखा जा सकता है

$Z_{n}(c)=e^{-c\beta }|{\mbox{Fix}}\,\tau ^{n}|=e^{-c\beta }{\mbox{Tr}}A^{n}$

जहां कार्ड प्रमुखता या एक सेट की गिनती है, और फिक्स पुनरावृत्त शिफ्ट फ़ंक्शन के निश्चित बिंदु (गणित) का सेट है:

${\mbox{Fix}}\,\tau ^{n}=\{s\in Q^{\mathbf {Z} }:\tau ^{n}s=s\}$

क्यू × क्यू मैट्रिक्स ए आसन्न मैट्रिक्स है जो निर्दिष्ट करता है कि पड़ोसी स्पिन मूल्यों की अनुमति है।

इंटरेक्टिंग मॉडल

इंटरेक्टिंग मॉडल का सबसे सरल मामला ईज़िंग मॉडल है, जहाँ स्पिन केवल दो में से एक मान ले सकता है, s_n∈ {−1, 1} और केवल निकटतम पड़ोसी स्पिन इंटरैक्ट करते हैं। सहभागिता क्षमता द्वारा दी गई है

$V(\sigma )=-J_{p}s_{0}s_{1}\,$

इस क्षमता को मैट्रिक्स तत्वों के साथ 2 × 2 मैट्रिक्स में कैप्चर किया जा सकता है

$M_{\sigma \sigma '}=\exp \left(\beta J_{p}\sigma \sigma '\right)$

सूचकांक σ, σ' ∈ {-1, 1} के साथ। विभाजन समारोह तब द्वारा दिया जाता है

$Z_{n}(V)={\mbox{Tr}}\,M^{n}$

घुमावों की मनमानी संख्या और मनमाना परिमित-श्रेणी अंतःक्रिया के लिए सामान्य समाधान समान सामान्य रूप द्वारा दिया जाता है। इस मामले में, मैट्रिक्स एम के लिए सटीक अभिव्यक्ति थोड़ी अधिक जटिल है।

पॉट्स मॉडल जैसे मॉडल को हल करने का लक्ष्य विभाजन फ़ंक्शन के लिए एक सटीक बंद-रूप अभिव्यक्ति देना है और गिब्स राज्यों या संतुलन राज्यों के लिए अभिव्यक्ति एन → ∞, थर्मोडायनामिक सीमा की सीमा में है।

अनुप्रयोग

सिग्नल और इमेज प्रोसेसिंग

पॉट्स मॉडल में सिग्नल पुनर्निर्माण में अनुप्रयोग हैं। मान लें कि हमें 'आर' में एक टुकड़ावार स्थिर सिग्नल जी का शोर अवलोकन दिया गया है^एन. शोर प्रेक्षण सदिश f से 'R' में g पुनर्प्राप्त करने के लिएⁿ, कोई संबंधित प्रतिलोम समस्या, L के मिनिमाइज़र की तलाश करता है^p-पॉट्स फंक्शनल P_γ(यू) द्वारा परिभाषित किया गया है

$P_{\gamma }(u)=\gamma \|\nabla u\|_{0}+\|u-f\|_{p}^{p}=\gamma \#\{i:u_{i}\neq u_{i+1}\}+\sum _{i=1}^{n}|u_{i}-f_{i}|^{p}$

कूदने का दंड $\|\nabla u\|_{0}$ टुकड़े-टुकड़े निरंतर समाधान और डेटा अवधि को बल देता है $\|u-f\|_{p}^{p}$ न्यूनतम करने वाले उम्मीदवार u को डेटा f से जोड़ता है। पैरामीटर γ> 0 नियमितता और डेटा निष्ठा के बीच संतुलन को नियंत्रित करता है। एल के सटीक न्यूनीकरण के लिए तेज़ एल्गोरिदम हैं¹ और एल²-पॉट काम कर रहे हैं। इमेज प्रोसेसिंग में, पॉट्स फंक्शनल सेगमेंटेशन समस्या से संबंधित है। हालाँकि, दो आयामों में समस्या एनपी-हार्ड है।

यह भी देखें

• रैंडम क्लस्टर मॉडल
• महत्वपूर्ण तीन-राज्य पॉट्स मॉडल
• चिरल पॉट्स मॉडल
• स्क्वायर-जाली आइसिंग मॉडल
• न्यूनतम मॉडल (भौतिकी)
• जेड एन मॉडल

बाहरी संबंध

• Haggard, Gary; Pearce, David J.; Royle, Gordon. "Code for efficiently computing Tutte, Chromatic and Flow Polynomials".