यूक्लिडियन संबंध
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गणित में, यूक्लिडियन संबंध द्विआधारी संबंधों का एक वर्ग है जो यूक्लिड के तत्वों में "स्वयंसिद्ध 1" को औपचारिक रूप देता है,की "परिमाण में समान हैं और वे एक दूसरे के बराबर हैं।"
परिभाषा
एक समुच्चय X पर एक द्विआधारी संबंध R यूक्लिडियन है (कभी-कभी सही यूक्लिडियन कहा जाता है) यदि यह निम्नलिखित को संतुष्ट करता है: X में प्रत्येक a, b, c के लिए, यदि a, b और c से संबंधित है, तो b, c से संबंधित है।[1] इसे संकेत तर्क में लिखने के लिए:
दोहरे रूप से, X पर एक संबंध R को यूक्लिडियन छोड़ दिया जाता है यदि X में प्रत्येक a, b, c के लिए, यदि b a से संबंधित है और c a से संबंधित है, तो b c से संबंधित होगा :
गुण
परिभाषा के पूर्ववर्ती में ∧ की क्रमविनिमेयता के कारण, aRb ∧ aRc का तात्पर्य bRc ∧ cRb से भी है, जब R सही यूक्लिडियन है। इसी प्रकार, bRa ∧ cRa का तात्पर्य bRc ∧ cRb से है, जब R को यूक्लिडियन छोड़ दिया जाता है।
- यूक्लिडियन होने का गुण सकर्मक संबंध से भिन्न है। उदाहरण के लिए, ≤ सकर्मक है, लेकिन सही यूक्लिडियन नहीं है,[2] जबकि xRy 0 ≤ x ≤ y + 1 ≤ 2 द्वारा परिभाषित संक्रामक नहीं है,[3] लेकिन प्राकृतिक संख्या पर सही यूक्लिडियन है।
- सममित संबंधों के लिए सकर्मकता राइट यूक्लिडियन और लेफ्ट यूक्लिडियन सभी के सामान होता हैं। हालाँकि, एक गैर-सममित संबंध भी सकर्मक और सही यूक्लिडियन दोनों हो सकता है, उदाहरण के लिए, xRy को y=0 द्वारा परिभाषित किया गया है।
- एक संबंध जो सही यूक्लिडियन और स्वतुल्य संबंध दोनों है और सममित भी है, तो वह तुल्य संबंध भी होगा।[1][4] इसी प्रकार से प्रत्येक बायाँ यूक्लिडियन और स्वतुल्य संबंध एक तुल्यता है।
- एक सही यूक्लिडियन संबंध की सीमा हमेशा इसके डोमेन का एक उपसमुच्चय होती है।[5] अपनी सीमा के संबंध में सही यूक्लिडियन संबंध का प्रतिबंध हमेशा रिफ्लेक्सिव होता है, और इसलिए एक समानता भी होता है।[6] इसी तरह एक बाएं यूक्लिडियन संबंध का डोमेन इसकी सीमा का एक उपसमुच्चय है, और एक बाएं यूक्लिडियन संबंध का इसके डोमेन के लिए प्रतिबंध एक समानता है।
- एक संबंध R बाएँ और दाएँ यूक्लिडियन दोनों है, यदि, और केवल यदि, R का डोमेन और श्रेणी सहमत हैं, और R उस सेट पर एक तुल्यता संबंध है।[7]
- एक सही यूक्लिडियन संबंध हमेशा सकर्मक संबंध होता है,[8] के रूप में एक वाम यूक्लिडियन संबंध है।[9]
- एक जुड़ा हुआ संबंध सही यूक्लिडियन संबंध हमेशा सकर्मक होता है;[10] और इसलिए एक जुड़ा हुआ वाम यूक्लिडियन संबंध है।[11]
- यदि X में कम से कम 3 तत्व हैं, तो X पर एक जुड़ा हुआ सही यूक्लिडियन संबंध R प्रतिसममित संबंध नहीं हो सकता है,[12] और न ही X पर बायें यूक्लिडियन संबंध को जोड़ा जा सकता है।[13] 2-तत्व समुच्चय पर X = {0, 1}, उदा. संबंध xRy y=1 द्वारा परिभाषित जुड़ा हुआ है, सही यूक्लिडियन और एंटीसिमेट्रिक है, और x=1 द्वारा परिभाषित xRy जुड़ा हुआ है, बाएं यूक्लिडियन और एंटीसिमेट्रिक है।
- एक समुच्चय X पर एक संबंध R सही यूक्लिडियन है, और केवल यदि, प्रतिबंध R′ := आर|ran(R) एक समानता है और X\ran(R) में प्रत्येक x के लिए, वे सभी तत्व जिनसे x R के अंतर्गत संबंधित है, R के अंतर्गत समतुल्य हैं′.[14] इसी प्रकार, X पर R को यूक्लिडियन छोड़ दिया जाता है यदि, और केवल यदि, R′ := आर|dom(R) एक समानता है और एक्स\डोम (आर) में प्रत्येक एक्स के लिए, आर के तहत एक्स से संबंधित सभी तत्व आर के तहत समकक्ष हैं′.
- एक बायाँ यूक्लिडियन संबंध बायाँ-अद्वितीय संबंध है| बायाँ-अद्वितीय यदि, और केवल यदि, यह प्रतिसममित संबंध है। इसी तरह, एक सही यूक्लिडियन संबंध सही अद्वितीय है, और केवल अगर, यह विरोधी सममित है।
- बायाँ यूक्लिडियन और बायाँ अद्वितीय संबंध रिक्त रूप से सकर्मक है, और ऐसा ही एक दायाँ यूक्लिडियन और दायाँ अद्वितीय संबंध है।
- एक वाम यूक्लिडियन संबंध वाम अर्ध-प्रतिवर्ती संबंध है|अर्ध-प्रतिवर्ती। वाम-अद्वितीय संबंधों के लिए, विलोम भी धारण करता है। द्वैत रूप से, प्रत्येक सही यूक्लिडियन संबंध सही अर्ध-रिफ्लेक्सिव है, और प्रत्येक सही अद्वितीय और सही अर्ध-रिफ्लेक्टिव संबंध सही यूक्लिडियन है।[15]
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 Fagin, Ronald (2003), Reasoning About Knowledge, MIT Press, p. 60, ISBN 978-0-262-56200-3.
- ↑ e.g. 0 ≤ 2 and 0 ≤ 1, but not 2 ≤ 1
- ↑ e.g. 2R1 and 1R0, but not 2R0
- ↑ xRy and xRx implies yRx.
- ↑ Equality of domain and range isn't necessary: the relation xRy defined by y=min{x,2} is right Euclidean on the natural numbers, and its range, {0,1,2}, is a proper subset of its domain of the natural numbers.
- ↑ If y is in the range of R, then xRy ∧ xRy implies yRy, for some suitable x. This also proves that y is in the domain of R.
- ↑ The only if direction follows from the previous paragraph. — For the if direction, assume aRb and aRc, then a,b,c are members of the domain and range of R, hence bRc by symmetry and transitivity; left Euclideanness of R follows similarly.
- ↑ If xRy ∧ ¬yRx ∧ yRz ∧ ¬zRy holds, then both y and z are in the range of R. Since R is an equivalence on that set, yRz implies zRy. Hence the antecedent of the quasi-transitivity definition formula cannot be satisfied.
- ↑ A similar argument applies, observing that x,y are in the domain of R.
- ↑ If xRy ∧ yRz holds, then y and z are in the range of R. Since R is connected, xRz or zRx or x=z holds. In case 1, nothing remains to be shown. In cases 2 and 3, also x is in the range. Hence, xRz follows from the symmetry and reflexivity of R on its range, respectively.
- ↑ Similar, using that x, y are in the domain of R.
- ↑ Since R is connected, at least two distinct elements x,y are in its range, and xRy ∨ yRx holds. Since R is symmetric on its range, even xRy ∧ yRx holds. This contradicts the antisymmetry property.
- ↑ By a similar argument, using the domain of R.
- ↑ Only if: R′ is an equivalence as shown above. If x∈X\ran(R) and xR′y1 and xR′y2, then y1Ry2 by right Euclideaness, hence y1R′y2. — If: if xRy ∧ xRz holds, then y,z∈ran(R). In case also x∈ran(R), even xR′y ∧ xR′z holds, hence yR′z by symmetry and transitivity of R′, hence yRz. In case x∈X\ran(R), the elements y and z must be equivalent under R′ by assumption, hence also yRz.
- ↑ Jochen Burghardt (Nov 2018). Simple Laws about Nonprominent Properties of Binary Relations (Technical Report). arXiv:1806.05036v2. Lemma 44-46.
